Диссертация (1150751), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , L, i = 0, . . . , Lc , j = 0, . . . , Lci , (1.30)∂tεrapslгде ε = τrap /τsl ∼ τrap /θ — малый параметр, Jcij, Jcij— интегральные операторы быстрых и медленных процессов, соответственно. Решение системы уравнений (1.30) строится в виде обобщенного ряда Энскога–Чепмена по параметру ε [7]:∑)(r) (fcij (r, u, t) =εr fcij u, ρλ , ∇ρλ , ∇2 ρλ , .
. . .(1.31)r20Таким образом, пространственная и временная зависимость коэффициентов ряда определяется макропараметрами ρλ (r, t) и их градиентами всехпорядков. Представление функции распределения в виде (1.31) накладывает ограничения на значения градиентов параметров ρλ .
Здесь макропараметры ρλ (r, t) выбираются в соответствии с аддитивными инвариантами наиболее частых столкновений [38]. Аддитивные инварианты —величины, удовлетворяющие микроскопическим законам сохранения пристолкновении частиц. Эти инварианты являются независимыми собственными функциями линеаризованного оператора столкновений, соответствующими нулевому собственному значению. Система аддитивных инвариантов включает микроскопические признаки, сохраняющиеся при лю(1)(2,3,4)бом столкновении: масса ψcij = mc , импульс ψcij = mc ucx , mc ucy , mc ucz ,(5)полная энергия ψcij = mc u2c /2 + εcij + εc и дополнительные инварианты(µ)наиболее частых столкновений ψ̃cij .Макропараметры ρλ вводятся через аддитивные инварианты по следующим формулам:∑ ∫ (λ)ρλ (r, t) =ψcij fcij (r, u, , t) duc ,λ = 1..5,(1.32)cijρ̃µ (r, t) =∑∫(µ)ψ̃cij fcij (r, u, t) duc ,µ = 1..M.(1.33)cijМакропараметры ρλ ( λ = 1..5 ) представляют собой плотность газа, макроскопическую скорость и полную энергию, ρ̃µ ( µ = 1..M ) являются дополнительными макропараметрами.
Система уравнений для макропараметров получается из уравнений (1.30) после умножения на аддитивныеинварианты, интегрирования по скоростям и суммирования по c, i, j исодержит не только уравнения сохранения:∫∂ρλ ∑(λ)+ψcij uc · ∇fcij duc = 0,λ = 1..5,(1.34)∂tcijно и уравнения релаксации∫∑ ∫ (µ)∂ ρ̃µ ∑(µ)sl+ψ̃cij uc · ∇fcij duc =ψ̃cij Jcijduc ,∂tcijcijµ = 1..M.(1.35)Правые части (1.35) характеризуют изменение макроскопических величин ρ̃µ за счет медленных (неравновесных процессов), т.е. их релаксациюк состоянию равновесия.21Условия нормировки метода Энскога–Чепмена:∑ ∫ (λ) (0)ψcij fcij duc = ρλ ,λ = 1..5,∑∫cijcij(λ) (r)ψcij fcij duc = 0,∑∫∑∫(1.36)r ≥ 1,(µ) (0)ψ̃cij fcij duc = ρ̃µ ,λ = 1..5,µ = 1..M,(1.37)(1.38)cij(µ) (r)ψ̃cij fcij duc = 0,r ≥ 1,µ = 1..M.(1.39)cijФункция распределения нормируется относительно макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам наиболее частых столкновений.Таким образом, функция распределения нулевого приближения целикомопределяет набор макроскопических параметров газа, а приближения более высоких порядков не вносят вклада в определяющие макропараметры.В каждом приближении метода Энскога–Чепмена для отыскания(r)функции распределения fcij решаются интегральные уравнения; в данной работе мы ограничиваемся рассмотрением 0-го и 1-го приближения.Для случая многотемпературного описания течений данная процедура(r)нахождения функции распределения fcij описана в следующих разделах.1.3.
Скорости медленных процессов вмногокомпонентной неравновесной смесиразреженных газов в многотемпературномприближенииВ данном разделе строится модель скорости реакций в многокомпонентных смесях разреженных газов в многотемпературном приближении.1.3.1. Внутренняя энергия молекулМолекулы и атомы обладают внутренней структурой и соответствующей внутренней энергией.
В работе не рассматривается электронное возбуждение, и поэтому атомы считаются бесструктурными частицами, а22молекулы предполагаются находящимися в основном электронном состоянии. Вращательная энергия молекул в простейшем приближении считается не зависящей от колебательной энергии молекул (модель жесткогоротатора) и задается следующим образом:εcij=εcjj(j + 1)h2== hcB c j(j + 1),28π Ic(1.40)где Ic — момент инерции молекулы химического сорта c относительнооси вращения, c — скорость света, Bec — спектроскопическая постоянная.Многотемпературное приближение, используемое в работе, предполагаетмодель жесткого ротатора, поэтому более сложные модели, учитывающиезависимость вращательной энергии от колебательной, здесь не рассматcриваются, и справедливо равенство εcij = εj .Колебательная энергия считается независимой от вращательногоуровня. Простейшие потенциалы взаимодействия, экспоненциальный потенциал и потенциал Морзе, соответствуют моделям гармонического иангармонического осцилляторов.
Модель ангармонического осцилляторадает следующее выражение для энергий колебательных уровней:))2((11εi+ ...,(1.41)= ωec i +− ωec xce i +hc22где ωec , ωec xce — спектроскопические постоянные. Модель гармонического осциллятора является частным случаем модели ангармонического осциллятора и приписывает следующие значения энергии колебательнымуровням:)(εi1c= ωe i +.(1.42)hc2Так как точка отсчета энергии является произвольной, то энергию колебательных уровней можно отсчитывать не от дна потенциальной ямы, аот энергии нулевого колебательного уровня.
В таком случае выражениедля колебательной энергии, рассчитанной по модели ангармоническогоосциллятора, принимает видεi= ωec (1 − αc ) i − ωec αc i2 ,(1.43)hcгде αc = ωec xce /ωec — коэффициент ангармоничности. Также можно определить частоту колебаний:νc = cωec .(1.44)23Для модели гармонического осциллятора выражение для колебательнойэнергии в случае ее отсчета от энергии нулевого колебательного уровняимеет видεi= ωec i.(1.45)hcВ рамках многотемпературного приближения энергия колебательныхуровней отсчитывается от энергии нулевого колебательного уровня.Наиболее достоверные данные о спектроскопических постоянныхданы в [11,12,82].
В таблице 1.1 приведены спектроскопические константыдля основных электронных состояний молекул азота и кислорода.cωecωec xceBcDc /hcN2 2358.57 14.32 1.998 78710O2 1580.19 11.98 1.445 41260Таблица 1.1. Спектроскопические постоянные основных электронных состояний молекул азота и кислорода [82, 142]; размерность всех величин — см −1 .Число колебательных уровней Lc молекулы сорта c рассчитываетсяисходя из условияεcLc ≤ Dc , εcLc +1 > Dc ,(1.46)где εcLc — энергия колебательного уровня Lc , Dc — энергия диссоциациимолекулы химического сорта c . Значения величины Dc /hc приведены втаблице 1.1. Из аналогичного соотношения рассчитывается число вращательных уровней RLc :εcRLc ≤ Dc ,εcRLc +1 > Dc ,(1.47)где εcRLc — энергия вращательного уровня RLc .
Для молекул азота имеем199 вращательных уровней, для молекул кислорода — 171. Если спектрколебательной энергии молекул считается гармоническим, молекулы азота имеют 33 колебательных уровня, а молекулы кислорода — 26; в случае,если спектр молекул считается ангармоническим, молекулы азота имеют47 колебательных уровней, а молекулы кислорода — 36.241.3.2. Физико-химические процессы и иерархия характерныхвременРассмотрим течение многокомпонентной смеси газов со следующими физико-химическими процессами, протекающими при столкновенияхчастиц:- обмены поступательной энергией:Acij (uc ) + Adkl (ud ) ⇄ Acij (u′c ) + Adkl (u′d ),(1.48)- обмены вращательной энергией:Acij (uc ) + Adkl (ud ) ⇄ Acij ′ (u′c ) + Adkl′ (u′d ),(1.49)- обмены колебательной энергией:Acij (uc ) + Adkl (ud ) ⇄ Aci′ j ′ (u′c ) + Adk′ l′ (u′d ),(1.50)- бимолекулярные химические обменные реакции:Acij (uc ) + Adkl (ud ) ⇄ Ac′ i′ j ′ (u′c ) + Ad′ k′ l′ (u′d ),(1.51)- реакции диссоциации–рекомбинации:Acij (uc ) + Adkl (ud ) ⇄ Ac′ (u′c ) + Af ′ (u′f ) + Adkl (u′d ).(1.52)Выделим также отдельные частные случаи обменов колебательной энергией (1.50):- VV 1 -обмены колебательной энергией между молекулами одногосорта:c = d,(1.53)- VV 2 -обмены колебательной энергией между молекулами разныхсортов:c ̸= d,(1.54)- VT-переходы колебательной энергии в поступательную:k ′ = k, l′ = l.(1.55)25Многотемпературное описание течения газа справедливо, если характерные времена приведенных процессов удовлетворяют следующему соотношению:τel < τrot < τV V1 ≪ τV V2 < τV T < τreact ∼ θ,(1.56)где τV V1 — среднее время между столкновениями с VV 1 -обменами колебательной энергией, τV V2 — среднее время между столкновениями сVV 2 -обменами колебательной энергией, τV T — время VT релаксации,τreact — время химической релаксации.При данной иерархии времен релаксации система аддитивных инвариантов быстрых процессов, помимо обычного набора инвариантов, соответствующего законам сохранения массы, количества движения и энергии:(1)ψcij = mc ,(2,3,4)ψcij= mc ucx , mc ucy , mc ucz ,(5)ψcij = mc u2c /2 + εcij + εc , (1.57)включают в себя величины αc , не зависящие от скорости и внутреннейэнергии и произвольно зависящие от химического сорта c :(µ)ψcij = αc ,µ = 1, .
. . , L,(1.58)а также число колебательных квантов в каждом молекулярном сорте(µ)ψcij = i,µ = L + 1, . . . , L + Lm ,(1.59)где Lm — число молекулярных компонентов в смеси. Инварианты αc(чаще всего их полагают равными 1) отражают тот факт, что химическиереакции в быстром процессе заморожены, а инварианты (1.59) — что приVV 1 столкновениях сохраняется общее число колебательных квантов всистеме, то есть m -квантовые VV 1 -обмены имеют видAc (i) + Ac (k) = Ac (i ± m) + Ac (k ∓ m) .(1.60)Существование инварианта (1.59) было впервые отмечено в [169] для случая однокомпонентного газа.Если пренебречь ангармоничностью колебательного спектра, то инвариант (1.59) может быть заменен на инвариант(µ)ψcij = εci ,µ = L + 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
