Диссертация (1150751), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Показано, чтомодификация формулы Ландау–Теллера дает более точное описание скорости колебательной релаксации, нежели обычная формула Ландау–Теллера.Таким образом, предложенная в работе модификация формулыЛандау–Теллера, использующая времена VT релаксации, рассчитанныепо введенному определению, может быть использована в существующихвычислительных программах в силу ее простоты и более высокой точности по сравнению со стандартной формулой Ландау–Теллера. При расчете скорости физико-химических процессов по строгим формулам кинетической теории учет вязких поправок, в особенности к скорости VTрелаксации, важен в течениях кислорода при высоких числах Маха.100Глава 4МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХПРОЦЕССОВ В МЕТОДЕ ПРЯМОГОСТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ(ПСМ)В данной главе рассматривается моделирование физико-химическихпроцессов в методе прямого статистического моделирования (ПСМ), также известном как метод Direct Simulation Monte Carlo (DSMC).
МетодПСМ был разработан Г. Бердом в 1960х годах [67, 70] и долгое время не использовался на практике в силу его высокой вычислительнойсложности. С развитием компьютерной техники метод стал более популярен, и сейчас широко используется при моделировании большого количества различных реальных течений, таких как высокотемпературныйвход в атмосферу, течения в микроканалах [67, 107, 109]. В силу широкойобласти применения метода ПСМ вопрос о корректном моделированиифизико-химических процессов является особенно актуальным, так какметод ПСМ может использоваться в более широком диапазоне условий,чем континуальные методы.4.1.
Метод ПСМОсновная идея метода ПСМ заключается в моделировании движения большого числа модельных частиц, каждая из которых соответствуетнескольким реальным молекулам или атомам. При этом процесс движения разбивается на две части:1. Бесстолкновительная — частицы в течение времени ∆t движутсяпо прямым траекториям с постоянной скоростью.2. Столкновительная — частицы не движутся, случайным образом выбираются пары частиц, которые сталкиваются.
На основе заданного потенциала взаимодействия рассчитываются их скорости после101столкновения, после чего снова рассматривается бесстолкновительная часть движения с новыми скоростями.Макропараметры течения (температура, скорость, плотность) рассчитываются на основе суммирования микроскопических признаков частиц(энергия, скорость, количество частиц) в расчетных ячейках.Существует множество различных способов реализации столкновительной части метода, такие как как Time-Counter [71], No TimeCounter [67, 71], Null Collision [121]. В данной работе особенности реализации алгоритма ПСМ не рассматриваются, и основное внимание уделяется вопросу применения в методе ПСМ реалистичных моделей сеченийнеупругих процессов.
Подробную информацию о способах реализации алгоритма ПСМ можно найти в [67].Стоит отметить эффективность метода ПСМ в плане возможностипараллельной реализации [8, 109], в том числе на графических процессорах [19]. Это позволяет с высокой точностью производить расчеты сбольшим числом модельных частиц в областях со сложной геометрией.4.2. Моделирование переходов внутренней энергии вметоде ПСМРасчет высокотемпературных сильнонеравновесных течений требует корректного моделирования неупругих столкновений, во время которых происходят переходы внутренней энергии. Для моделирования переходов внутренней энергии при столкновении двух частиц возможно использование двух основных методов [67]:1. Рассчитываются вероятности всех возможных неупругих процессов,которые могут произойти при данном столкновении, сумму этих вероятностей обозначим Pinel .
С вероятностью 1 − Pinel происходитупругое столкновение, с вероятностью Pinel — неупругое (конкретный неупругий процесс выбирается в соответствии с его вероятностью). На практике метод реализуется путем генерации равномернораспределенного случайного числа R ( 0 ≤ R ≤ 1 ). В случае, еслиR > Pinel , происходит упругое столкновение, в противном случае —102неупругое. Подобным образом моделируется и то, какое конкретнонеупругое столкновение произойдет.2.
Считается, что все процессы являются неупругими, энергия после столкновения перераспределяется между различными степенями свободы (поступательной, вращательной, колебательной) в соответствии с вероятностями процессов.Существенным недостатком второго подхода является то, что он не даетсогласия с релаксационными уравнениями Джинса и Ландау–Теллера [67,93], а также то, что для данного подхода не выполняется принцип детального баланса [67], поэтому далее в работе рассматривается первый подход.При этом в случае, если внутренняя энергия частицы изменилась послестолкновения, то в данном столкновительном этапе частица в неупругихстолкновениях уже не может участвовать [102].4.2.1.
Модель Ларсена–БоргнаккеОдной из наиболее распространенных моделей, используемых в методе ПСМ для моделирования переходов вращательной энергии в поступательную (RT-переходы) и колебательной энергии в поступательную(VT-переходы), является модель Ларсена–Боргнакке [73]. Модель такжебыла обобщена на VV-обмены колебательной энергией [6]. ВероятностьRT-перехода PRT и вероятность VT-перехода PV T тогда определяютсякак11, PV T =.(4.1)PRT =ZRZVЧисла ZR , ZV связаны с количеством столкновений, необходимым дляустановления равновесия соответствующей внутренней степени свободы [74, 140, 181]:ZR = ϕrot ζ rot , ZV = ϕvibr ζ vibr .(4.2)Здесь ϕrot , ϕvibr — корректирующие множители, введение которых позволяет добиться совпадения результатов, получаемых методом ПСМ, срешениями релаксационных уравнений Джинса и Ландау–Теллера, видмножителей зависит от конкретного потенциала упругих столкновенийи используемой процедуры моделирования неупругих взаимодействий.103Величины ζ rot , ζ vibr являются числами столкновений, необходимых дляустановления вращательного и колебательного равновесия, соответственно.
Они могут быть константами (в таком случае обычно принимаютζ rot = 5 ), но для корректного описания высокотемпературных теченийнеобходимы температуро-зависимые модели. На практике для вычисления величины ζ rot обычно используют формулу Паркера (2.20) (анализ других моделей вращательной релаксации в методе ПСМ приведенв [179]), а величину ζ vibr определяют как отношение времени VT релаксации τV T к характерному времени τel между упругими столкновениями.τV Tζ vibr =.(4.3)τelВ случае, если происходит переход внутренней энергии в поступательную, внутренняя энергия после столкновения выбирается случайнымобразом в соответствии с равновесным распределением.
После определения внутренней энергии молекулы после столкновения, на основаниизакона сохранения энергии рассчитывается величина относительной скорости после столкновения, а ее направление берется в соответствии с используемым потенциалом взаимодействия частиц. В качестве потенциалавзаимодействия в методе ПСМ обычно берется достаточно простая модель переменных твердых сфер (VHS) [67] или модель переменных мягких сфер (VSS) [122], хотя применение более реалистичных потенциаловвзаимодействия является не более сложным с вычислительной точки зрения [160].К преимуществам модели Ларсена–Боргнакке стоит отнести ее простоту и численную эффективность, а также возможность обобщения намногоатомные молекулы и электронные степени свободы.
При этом онадает физически достоверные результаты в широком диапазоне параметров течения. Однако существенным недостатком является то, что внутренняя энергия частиц после столкновения не зависит от внутренней энергии частиц до столкновения, и, как следствие, модель не учитывает реальные эффекты неупругих переходов. Также модель требует вычислениятемпературы (для расчета величин ζ rot , ζ vibr ) внутри расчетной ячейкии не является строго микроскопической. Для вычисления поправки ϕvibrтакже требуется вычисление колебательной температуры внутри ячейкии решение нелинейного уравнения [94].1044.2.2. Поуровневые моделиПоуровневые модели обычно применяются для расчета вероятностей VT-переходов в силу их большего влияния на параметры течения(и, как следствие, более высоким требованиям к точности применяемыхмоделей), RT-переходы же моделируются на основании модели Ларсена–Боргнакке [107].Рассмотрим общий принцип реализации поуровневых моделей напростейшем случае: VT-переходе при столкновении молекулы M , находящейся на колебательном уровне i (с колебательной энергией εi ), сатомом A .
Пусть относительная скорость до столкновения равна g , априведенная масса сталкивающихся частиц — mr . Возможные значенияпост-столкновительного колебательного уровня i′ молекулы M должныудовлетворять закону сохранения энергии, т.е. должно выполняться соотношениеmr g 2′+ εi .(4.4)εi ≤2Вероятность PV T того, что произойдет VT-переход, определяется как∑PV T =Pi→i′ ,(4.5)iгде Pi→i′ — вероятность перехода с колебательного уровня i на колебательный уровень i′ , суммирование производится по всем возможным пост-столкновительным уровням, определяемым соотношением (4.4).Вероятность PRT RT- перехода рассчитывается по модели Ларсена–Боргнакке, описанной в предыдущем подразделе.
Тогда, соответственно,для вероятности Pinel (вероятность неупругого столкновения) имеемPinel = PRT + PV T .(4.6)Алгоритм выбора типа столкновения (упругое, неупругое с RT-переходом,неупругое с VT-переходом) реализуется следующим образом [93]. Интервал [0, 1] разбивается на подинтервалы[0, PRT ) , [PRT , PRT + PV T ) , [PRT + PV T , 1] ,(4.7)генерируется равномерно распределенное случайное число R ( 0 ≤ R ≤1 ). Если R попадает в первый интервал, происходит RT-переход, ес-105ли во второй — VT-переход, если в третий — столкновение является упругим. Если происходит VT-переход, то колебательный уровеньi′ выбирается аналогичным образом (путем выбрасывания случайногочисла R и разбиения промежутка [0, 1] ) среди всех возможных постстолкновительных состояний в соответствии с их нормированными вероятностями Pi→i′ /PV T .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
