Диссертация (1150739), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Система (3.17) - (3.18) может быть представлена в виде˜ () + (˜˜˜˙ () = ˜˜ () + ,) + ( ,),(3.20)˜ ˜ ( ).˜ () = ˜ ˜ (), () = (3.21)˜ () + (,)˜˜ ,). Это ЛипВведем следующее обозначение: (˜ ,) = ˜˜ () + + (шицева функция с константой :˜ + ‖‖‖˜ ‖‖˜ ‖˜ + ‖‖˜ max(||,||)‖‖+˜| (1 ,) − (2 ,)| 6 (‖‖∑︁˜+ ‖‖ max(||,||) +(2| | + | |))‖1 − 2 ‖ = ‖1 − 2 ‖.=1˜ ˜ () − ˜ (), где () = ˜ () −Управление () можно представить в виде () = ˜ ( ) – ошибка дискретизации. Ошибка () удовлетворяет следующему неравенству | ()| =∫︀ ∫︀˜ ( , )‖ + ‖ ()‖ .
Применяя лемму Гронуолла — Белл‖˜ (,) ‖ 6 ( − )‖мана, получаем оценку на ():˜ ( , )‖‖ (+1 )‖ 6 ‖Обозначим ℎ = ℎ −1.Тогда ‖ (+1 )‖ 6 ℎ − 1.(3.22)√︀ ℎ .Для исходной системы (3.17) - (3.18) выберем квадратичную функцию Ляпунова =∑︀˜ ˜ .=1 Находясь в условиях теоремы 2.3, вычислим производную ().26˙ < − −∑︁˜ ˜ 6 − +˜ =1∑︀=1∑︁˜ ()|.|˜ ()||||(3.23)=1˜ ()|. Неравенство (3.23) переписывается в виде ˙ 6 −1 +Обозначим = |˜ ()||||∑︀ , ˙ = ˙ .
Зафиксируем : ˙ 6 −1 + . Далее по аналогии с Теоремой 3.1.=1Интегрируя его на промежутке ( , +1 ) и учитывая оценку выхода через функцию Ляпу√︀нова |˜( )| 6 κ , получаем следующее неравенство:+1 6 ˜ −1 ℎ +где 1 =√︁+1 −1 ℎ− ˜6 ˜ −1 ℎ + ℎ 1 +1 ,11(3.24)κ.1Найдем условия, при который неравенство +1 6 выполняется.√︂+1Обозначим =, = exp−ℎ , = ℎ 1 . В этих обозначениях, неравенство (3.23)может быть переписано как 6 1 + . Если < 2, < 1 − , тогда неравенства 6 1и 6 1 + выполняются.
Это условия на шаг дискретизации ℎ (3.9) сформулированный вусловии теоремы. Следовательно, ‖˜ ( )‖ → 0 экспоненциально для = 1...Запишем оценку на ошибку дискретизации (): ‖˜()− ˜( )‖ 6 ℎ ‖˜( )‖, что эквивалентно оценке ‖˜()‖ 6 (ℎ + 1)‖˜( )‖. Отсюда следует экспоненциальная устойчивость решениясистемы ˜() → 0, ∀ ∈ ( ,+1 ).3.3Пример. Три мобильных роботаПроиллюстрируем применение теоремы 3.2 на примере модели трехколесного мобильногоробота, состоящий из трех роботов.Считая, что робот движется при малых скоростях, можно ограничиться кинематическоймоделью тележек, ведущей и ведомых. Она будет выглядеть следующим образом [52]:˙ 1 () = cos(1 ()), ˙ 1 () = cos(2 ()),˙ 2 () = sin(1 ()),˙ 2 () = sin(2 ()),˙ 1 () = ,˙ 2 () = (),(3.25)˙1 () = cos(3 ()),˙2 () = sin(3 ()),˙ 3 () = (),27где (),() управления, – фиксированная угловая скорость, – фиксированная линейнаяскорость.Система (3.25) может быть представлена в виде˙ 1 () = + (cos(1 ()) − 1),˙ 2 () = 1 () + (sin(1 ()) − 1 ()),˙ 1 () = + (cos(2 ()) − 1),˙ 2 () = 2 () + (sin(2 ()) − 2 ()),(3.26)˙ 2 () = ().˙1 () = + (cos(3 ()) − 1),˙2 () = 3 () + (sin(3 ()) − 3 ()),˙ 3 () = (),Таким образом, при малых значениях угла (), = 1,2,3, движением вдоль осей 1 (), 1 (), 1 ()можно пренебречь.Введем следующие обозначения:1 () = 2 () − 2 (),2 () = 2 () − 2 (),(3.27)1 () = 1 () − 3 (),2 () = 1 () − 2 (),(3.28)1 () = sin(1 ()) − sin(2 ()) + 2 () − 1 (),(3.29)2 () = sin(1 ()) − sin(3 ()) + 3 () − 1 ().(3.30)В этих обозначениях можно записать новую систему:˙ 1 () = 1 () + 1 (1 , ), ˙ 2 () = 2 () + 2 (2 , )˙1 () = 1 (),(3.31)˙2 () = 2 (),где ( (), ) = 2 cos1 () + +1 () ()sin− (), = 1,2.22(3.32)+1 ()Обозначим () = cos 1 ()+и перепишем выражение (3.32) следующим образом2 ((), ) = 2 () sin ()− (), = 1,2.2(3.33)Нелинейность (3.33) удовлетворяет следующим неравенствам:− 2 2 6 6 0, = 1,2(3.34)2820ξ100−10−20−10−50510εРисунок 3.1 — Нелинейность в секторедля всех > 0 (смотри Рис.3.1).Проверим, что выполнены условия Теоремы 3.2.
Передаточные функции, каждой из системравны /. Степень знаменателя равна 1, степень числителя равна 0, > 0. Существует обратнаясвязь в виде = , < 0, которая стабилизирует линейную систему. Нелинейности лежатв соответствующем секторе. Рассмотрим функцию Ляпунова ( ) = . Соответственно,производная будет выглядить как:˙ = 2 ( + ) 6 2( )2 (1 + max(||,||)).Неравенство выполнено при < 0. Использую метод бэкстеппинга, вычислим управление () = −( ( ) − ( )) + ( ), = 1,2.(3.35)Представим систему (3.31), (3.35) в следующем в виде:˙ () = () + () + (,()),˜ ( ),() = где =[︃ ]︃[︃, =0 0 0]︃,=[︃ ]︃01, =[︃ ]︃0[︁]︁˜ = − ., (3.36)292.5e (t)1ε1(t)2e2(t)1.5ε (t)210.50−0.5−1−1.5−2−2.50510152025t3035404550Рисунок 3.2 — Ошибки и , = 1,2 для системы (3.31), (3.35).с шагом дискретизации ℎ = 0.15Рассмотрим квардратичную функцию Ляпунова ( ) = .
Для применения Теоремы 3.2, вычислим параметр < 0:˜ + ( ,)) +˙ = (( + )˜ + ( ,)) 6+ (( + )˜ + max(|0|,| − 2|))6 2(max ( + )(3.37)= .Определим скорость движения тележки как = 0.1 m/s. Следовательно = 2(max(−,0.1) + 0.2) < 0.(3.38)Выберем , чтобы неравенство (3.38) выполнялось: = −5, = 0.6, следовательно = −0.6.Матрица равна ‖ ‖ = 60.9306. Мы можем оценить параметр κ :‖ ‖ 6 κ√︀√︀ 6 κ ‖ ‖‖ ‖.(3.39)√︀Таким образом κ = 1/ ‖ ‖ = 0.1281.
Рис. 3.7 иллюстрирует результаты теоремы 3.2.На рисунках (3.2) - (3.6) мы можем видеть моделирование системы (3.31) для различныхшагов дискретизации.305e1(t)ε1(t)4e2(t)3ε2(t)210−1−2−3−4−50510152025t3035404550Рисунок 3.3 — Ошибки и , = 1,2 для системы (3.31), (3.35).с шагом дискретизации ℎ = 1.326e (t)1ε1(t)e (t)42ε2(t)20−2−4−60510152025t3035404550Рисунок 3.4 — Ошибки и , = 1,2 для системы (3.31), (3.35).с шагом дискретизации ℎ = 1.5318e (t)1ε1(t)6e2(t)ε (t)2420−2−4−6−801020304050t60708090100Рисунок 3.5 — Ошибки и , = 1,2 для системы (3.31), (3.35).с шагом дискретизации ℎ = 1.8150e (t)1ε1(t)40e2(t)30ε2(t)20100−10−20−30−40−50050100150200250t300350400450500Рисунок 3.6 — Ошибки и , = 1,2 для системы (3.31), (3.35).с шагом дискретизации ℎ = 1.820.04L(h)0.020−0.02−0.0400.050.1h0.150.2˜ ‖‖˜ ℎ − ‖‖κ˜ ‖‖˜ − min{ − −ℎ , 2}Рисунок 3.7 — Функция (ℎ) = ‖‖κотносительно шага дискретизации ℎ.32Глава 4.
Пассификация и синхронизация каскадных систем с квантизациейпо уровню4.1Постановка задачиДаны две динамические системы в форме Лурье с интегратором()˙= () + (1 ) + 1 (), 1 () = (),(4.1)()˙= () + (2 ) + () + 2 (), 2 () = (),(4.2)()˙= (,) + (),(4.3)где (), () – -мерные векторы состояния объекта, 1 (), 2 () – скалярные выходы, – × матрица, – × 1 матрица, – 1 × матрица, (), (,) – непрерывные нелинейности лежащие в секторе, () – ограниченные возмущения, ‖ ()‖ 6 ∆ .
Систему (4.1) будем называтьведущей (master), систему (4.2) - ведомой (slave).Рассмотрим регулятор с квантизатором ()˜ = (()).Пусть ∈ R квантуемая переменная. Под квантизатором мы будем понимать кусочнопостоянную функцию : R −→ , где конечное подмножество из R .
Это приводит к разбиению множества R на конечное число областей квантования в виде ∈ R : () = , ∈ .Когда переменная не принадлежит объединению областей квантования, квантизатор насыщается. Более подробно: мы предполагаем что существуют положительные вещественные числа и ∆ такие, что выполняются следующие условия:если|| 6 ,(4.4)|() − | 6 ∆(4.5)тои|| > ⇒ |()| > − ∆.Мы будем называть и ∆ как диапазон и ошибку квантования соответственно ( [54]).Для алгоритма управления, представленного ниже, мы будем использовать динамическийквантователь в виде () = ( ) где > 0 – масштабирующий параметр. Диапазон квантователя – и ошибка квантования – ∆.33Цель управления - синхронизировать две системы (4.1),(4.2) с нелинейным интегратором(4.3), т. е.
выбрать функцию управления () таким образом, чтобы () − () → 0 при → ∞.Вводим ошибку синхронизации () = () − (), а также ошибку синхронизации повыходу () = 1 () − 2 () = (). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему:()˙= () + ((),) − (), () = ()(4.6)()˙= (,) + ()(4.7)где (,) = (1 ) − (2 ) – новая нелинейность. Цель управления будет выглядеть следующимобразом: lim→∞ () = 0.Для синтеза управления () воспользуемся методом бэкстеппинга [20].()˙= () + (,) − (), () = ()(4.8)()˙= () + (,) + (,) + ()(4.9)где () – управление.4.2Дискретный регулятор с возмущениямиДля начала получим вспомогательную теорему.
Рассмотрим систему (4.8), (4.9) с ограниченным возмущением ‖ ()‖ 6 ∆ и с дискретным регулятором () = (− − )( ) +( ), 6 6 +1 , где = ℎ моменты времени с шагом дискретизации ℎ.Изначальная система (4.8), (4.9) может быть представлена в виде(︃где () =˜() + ()˜˜˜˜˙ () = ˜+ (,)+ (,)+ (),(4.10)˜ ˜( ),˜() = ˜ ˜(), () = (4.11)1 () − 2 ()0)︃– ограниченное возмущение, ˜ =(︃ )︃, ˜ =(︃ )︃.Теорема 4.1. Рассмотрим систему (4.10)-(4.11) с дискретным регулятором и возмущением ().Пусть выполнены условия 1 – 3. Выберем шаг дискретизации так, чтобы выполнялось следующее неравенство:˜˜ ℎ − ‖‖κ‖˜˜ − < 0 ˜−ℎ + ‖‖κ‖‖˜‖(4.12)34√κ коэффициент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜| 6 κ , – константаЛипшица правой части системы (4.10)-(4.11).
Тогда lim→∞ ‖˜()‖ 6 ˜∆ , где√︃˜ =2max ( )(˜ ℎ + − 1).min ( ) ( − ˜ ℎ κ + κ)˜() + ()˜˜Доказательство. Вводим следующее обозначение: (˜,) = ˜+ (,)+ ().˜˜˜˜ +Это Липшицева функция с константой : |(1 ,) − (2 ,)| 6 (‖‖ + ‖‖‖‖‖‖˜ max(||,||)‖‖˜ + ‖‖˜ max(||,||) + ∆ )‖1 − 2 ‖ = ‖1 − 2 ‖. Представим управление‖‖˜ ˜() − (),˜() в виде () = где () = ˜() − ˜( ) ошибка дискретизации. Для функции ()∫︀ ∫︀ выполнено неравенство: |()| = ‖ (˜,) ‖ 6 ( − )‖(˜ , )‖ + ‖()‖ . Применяялемму Гронуолла — Беллмана, получаем оценку на ():‖(+1 )‖ 6 ‖(˜ , )‖Обозначим ℎ =√‖(+1 )‖ 6 ℎ .˜ ℎ −1.˜ ℎ − 1.(4.13)Перепишем с учетом этого обозначения оценку на функциюДля начальной системы (4.10) мы выберем квадратичную фукнцию Ляпунова (˜) =√˜ ˜.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
