Диссертация (1150739), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Цель управления будет выглядеть следующимобразом: lim→∞ () = 0.Для получения условий достижения цели сделаем следующие предположения.121. Пусть линейная система ()˙ = ()−(), () = () гиперминимально-фазовая, т.е. матричная функция Γ() = lim→∞ () невырожденна и положительно определена[7], где () = ( − )−1 = ()/() – передаточная функция системы.Для случая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя () равна .Числитель () гурвицев степени − 1 с положительными коэффициентами. В соответствии с теоремой о пассификации существует управление () = , такое что системастабилизируема;2.
(,) лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора, зависящие отнелинейности;3. (,) также лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора,зависящие от нелинейности;Из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации [16] следует, что минимальное расстояние 0 между корнями числителя передаточной функции и мнимой осьюбудет положительным. Выберем параметры и таким образом,чтобы0 < < 0 ,(︃)︃˜˜ =‖‖‖ max(||,||) + 2‖ ‖ max(||,||) < min , где , – положительно2‖‖‖определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова () = , min – наименьшеесобственное число данной матрицы.Для синтеза управления () воспользуемся методом бэкстеппинга [7].()˙= () + (,) − (), () = (),(2.6)()˙= () + (,) + (,) + ().(2.7)Лемма 2.1. Рассмотрим систему()˙= () − (), () = (),(2.8)()˙= () + ()(2.9)с состоянием (,) ∈ R+1 , выходом (,) ∈ R2 .
Для системы (2.8) выполнено предположение (1).Тогда существуют числа , , такие, что система (2.8),(2.9) будет строго пассивна, азамкнутая система()˙= () − (), () = (),(2.10)()˙= () + ()(2.11)с управлением () = 1 + 2 , где 1 = , 2 = − − асимптотически устойчива.Доказательство. Для доказательства вычислим передаточную функцию системы (2.8),(2.9),принимая за новый выход переменную ¯ = 2 + 1 .¯() =1 () + 2 ().() − () − ()(2.12)13По теореме [7] −1 корней многочлена 1 ()+2 () приближаются к корням многочлена (), а оставшийся корень равен ≈ −2 /1 при достаточно большом значении параметра2 . Таким образом, получаем гурвицев многочлен степени .
Т. е. условие гиперминимальнофазовости выполнено.Для доказательства устойчивости замкнутой системы (2.10), (2.11) представим ее в с следующим виде:(︃ )︃˙˙(︃ )︃(︃=−)︃ (︃ )︃ 0(︃ )︃(︁)︁ = 1,(︃ )︃(︁)︁ () = 1 2.+(︃ )︃01,(2.13)(2.14)(2.15)Введем обозначения:˜ =(︃ )︃, ˜ =(︃ )︃.В этих обозначениях система (2.13) записывается в виде˜() + (),˜˜˙ () = ˜˜() = ˜ ˜()(2.16)c соответствующим управлением () = ˜.В соответствии с теоремой о пассификации [7] существует положительно определенная˜ )˜ + (˜ +матрица = > 0 и число такие, что выполнено неравенство (˜ + ˜ )˜ < −, ˜ = ˜ .Зафиксируем .
Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова () = . Покажем,что если выполнены условия выше, то неравенство ˙ () < 0 будет верно.˜ )˜ + (˜ + ˜ )˜ ) < −.˙ = ˙ + ˙ = ( (˜ + (2.17)Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения (1)-(3). Тогда существуют числа , , такиечто система (2.6),(2.7) будет пассивна с квадратичной функцией запаса (˜) = ˜ ˜, а замкнутая система с управлением () = (− − ) + асимптотически устойчива.Доказательство.
Система (2.1) рассматривается на временной полуоси [0, ∞) c начальнымусловием (0) = 0 . Легко видеть, что правая часть рассматриваемой системы глобально липшицева по : |1 () + (1 ) − 2 () + (2 )| 6 (‖‖ + ‖‖‖‖ max(||,||))|1 − 2 |. Тогдадля любых начальных условий (0) = 0 решение системы (2.1) определено на полуоси [0, ∞).Для доказательства асимптотической устойчивости представим систему (2.6),(2.7) в виде14(︃ )︃˙˙(︃=(︁() = 1 2−)︃ (︃ )︃0(︃ )︃)︁ (︃+)︃(,) +(︃ )︃01(,) +(︃ )︃01,(2.18)Или, в других обозначениях,˜() + (,)˜˜˜˜ ˜,˜˙ () = ˜+ ()+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = (2.19)где˜ =(︃ )︃, ˜ =(︃ )︃.˜ такие,По лемме 2.1 существует положительно определенная матрица = > 0 и вектор ˜˜ )˜ + (˜ + ˜˜ )˜ < −, ˜ = ˜ .что выполняется неравенство (˜ + Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова (˜) = ˜ ˜.
Получим теперь условия на˜ Далее следуетпараметры, чтобы было выполнено условие ˙ (˜) < 0. Зафиксируем параметр .цепочка неравенств.˙ < − + 2‖ ‖ max(||,||)‖˜‖2 + max(||,||)‖˜‖2 66 − ‖˜‖2 + max(||,||)‖˜‖2 + 2‖ ‖ max(||,||)‖˜‖2 = −‖˜‖2 , (2.20)˜где = 2‖‖‖‖‖‖. Следовательно, если выполнено условие˜2‖‖‖‖‖‖ max(||,||) + 2‖ ‖ max(||,||) < ,то ˙ (˜) < 0, а это неравенство совпадает с неравенством в предположении (3). Проинтегрировав∫︀ неравенство (2.20) получим: 0 < (˜()) 6 (˜(0)) − 0 ‖˜‖2 < 0 при достаточно большом .Следовательно, lim→∞ () = 0.
Отсюда немедленно следует асимптотическая устойчивость потеореме Ляпунова.Заметим, что квадратичная функция (˜) = ˜ ˜, играющая роль функции Ляпунова,может выступить в качестве функции запаса, когда у системы есть вход. Для доказательствапассивности системы (2.19) покажем что выполнено свойство ЯКП.˜ = ˜ , что является вторым услоДействительно, по лемме 2.1 выполнено равенство вием в свойстве ЯКП, а неравенство (2.20) играет роль первого условия.
Справедливость неравенства (2.20) следует также из леммы 2.1 и, в частности, из теоремы о пассификации [7]. Такимобразом, пассивность системы (2.19) автоматически следует из леммы 1.2.Теорема 2.1 доказана.15Замечание 2.1. Заметим, что стандартными способами интегратор можно расширить доцепи интеграторов 1 , 2 , . . . , которая будет иметь вид:˙ 1 = 2 ,˙ 2 = 3 ,...˙ =∑︁ + .=12.3Влияние возмущенийПереходим к учету влияния возмущений на исходную систему (2.1)-(2.3). Ее можно переписать в виде˜() + ˜ ˜() + (), ˜() = ˜ ˜(),˜˙ () = ˜(︃где () =)︃1 () − 2 ()0– ограниченное возмущение, ˜ =(︃ )︃˜ =(2.21)(︃ )︃.Теорема 2.2.
Дана система (2.21) c ограниченным возмущением ‖√︁()‖ 6 ∆ . Пусть выполнены()‖ 6 ˜∆ , где ˜ =три предположения (1)-(3). Тогда lim→∞ ‖˜max ( ) 1.min ( ) Доказательство. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова (˜) = ˜ ˜ с положительноопределенной матрицей = . Находясь в условиях предположений (1)-(3), имеем цепочкунеравенств√ √︀˙ 6 − + () ˜ + ˜ () 6 − + 2 () ().Таким образом, выполнено неравенство ˙ (˜) < 0 для любого ˜ за исключением√︀√︀−1множества {˜ : (˜) > sup () ()} и значение lim→∞ sup (˜()) не превышает ∆2 max ( )/ 2 . Из положительной определенности матрицы следует неравенствоmin ( )‖˜()‖2 6 (˜()), где max ( ), min ( ) – наибольшее и наименьшее собственное числоматрицы соответственно.
Таким√︁ образом, получаем ограниченность решений системы (2.21):( ) 1lim→∞ ‖˜()‖ 6 ˜∆ , где ˜ = max.min ( ) Теорема 2.2 доказана.162.4Пассификация сетевых систем ЛурьеРассмотрим взаимосвязанных систем с интегратором˙ () = () + ( ) + () +∑︁ ( () − ()), () = (),(2.22)=1(2.23)˙ () = ( ,) + (),где (), = 1,...,, = 1,..., – функции, описывающие взаимосвязь между системами, ∈ R1 .Кроме этого рассмотрим ведущую систему (master)˙0 () = 0 () + (0 ), 0 () = 0 ().(2.24)Цель управления - синхронизировать все системы относительно ведущей, т. е.
() −0 () → 0 при → ∞, = 1,...,.Положив () = () − 0 (), получим уравнения относительно ошибок:˙ () = () + ( ,) − () +∑︁ ( () − ()), () = (),(2.25)=1(2.26)˙ () = ( ,) + ().Введем обозначения ˜ =(︃ )︃(︃ )︃, ˜ =.По аналогии с теоремой 2.1 синтезируем регулятор с помощью метода бэкстеппинга. Та-ким образом, () = () + ( ,) + ().Теорема 2.3. Пусть для систем (2.22), (2.23) выполнены предположения (1)-(3), а функции (), = 1,...,, = 1,..., глобально липшицевы:′′ () : ‖ () − ( )‖ 6 ‖ − ‖, > 0.(2.27)Пусть также выполнены неравенства:˜ max ( ) max(||,||)‖‖˜ + 2max ( ) max(||,||)+− min ( ) + 2‖‖∑︁+ 2max ( )(2| | + | |) < 0, = 1,...,, (2.28)=1(︃˜=где )︃, – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова (˜ ) = ˜ ˜ , min , max – наименьшее и наибольшее собственное число данной матрицы,то существуют числа , , такие что система (2.22), (2.23) со входом будет пассивна с17квадратичной функцией (˜) =∑︀˜ ˜=1 запаса и замкнутая система с управлением () =(− − ) + асимптотически устойчива.Доказательство.
4.2Рассмотрим системы (2.22), (2.23). Их можно представить в виде(︃ )︃˙˙(︃=−0)︃ (︃ )︃(︃+)︃( ,) +(︃ )︃01( ,)++(︃ )︃01 +(︃ )︃10Φ( , ). (2.29)Или, в других обозначениях:˜ () + ˜ () + (˜˜˙ () = ,) + ( ,) +где Φ( , ) =∑︀=1(︃ )︃10˜ (),Φ( , ), ˜ () = (2.30) ( − ).Рассмотрим функцию запаса в виде =буется, чтобы было выполнено неравенство∑︀−=1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
