Диссертация (1150739), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По определению∑︀ =1 < 0.−1 22пассивности тре-Применяя теорему 2.1 и очевидное неравенство 2 6 + , ∀ > 0, получаемследующую цепочку неравенств:∑︁∑︁∑︁2˜ ( ) max(||,||)‖‖‖˜− 6 − ( )‖ ‖2 + 2‖‖‖ +=1=1=1+2∑︁2 ( ) max(||,||)‖ ‖ + 2=1∑︁‖ ‖‖Φ( , )‖‖ ‖ −=1∑︁ .=1Обозначим:˜ max ( ) max(||,||)‖‖˜ + 2max ( ) max(||,||).Γ = − min ( ) + 2‖‖Оценим третье слагаемое, стоящее в предыдущем неравенстве.∑︁‖ ‖‖Φ( , )‖‖ ‖ 6 max ( )(| |‖ − ‖‖ ‖)=16 max ( )∑︁(2| | + | |)‖ ‖2 .=1В итоге, учитывая предположения в формулировке теоремы 4.2, получаем финальное неравенство∑︁∑︁∑︁∑︁∑︁22− 6Γ ‖ ‖ +2max ( )(2| | + | |)‖ ‖ − < 0.=1=1=1=1=118Таким образом, пассивность системы (2.22), (2.23) доказана.
Асимптотическая устойчивость следует автоматически, если в качестве функции Ляпунова рассмотреть функцию запаса , а такжеучитывая управление . Теорема 2.3 доказана.2.5Пример. Синхронизация двух мобильных роботовПроиллюстрируем применение теоремы на примере модели трехколесного мобильного робота.Считая, что робот движется при малых скоростях, можно ограничиться кинематическоймоделью тележек, ведущей и ведомой.
Она будет выглядеть следующим образом [52; 53]:˙1 = cos(1 ),˙1 = cos(2 ),˙2 = sin(1 ),˙2 = sin(2 ),˙1 = ,˙2 = ,(2.31)где – управление, – фиксированная угловая скорость, – фиксированная линейная скорость.Выделив соответствующим образом нелинейность, систему (2.31) можно представить ввиде˙1 = + (cos(1 ) − 1),˙1 = + (cos(2 ) − 1),˙2 = 1 + (sin(1 ) − 1 ),˙2 = 2 + (sin(2 ) − 2 ),˙1 = ,˙2 = .Таким образом, при малых значениях угла движением вдоль осей 1 , 1 можно пренебречь.Введем следующие обозначения: := 2 − 2 , := 1 − 2 , := sin(1 ) − sin(2 ) + 2 − 1 .В этих обозначениях можно записать новую систему:˙ = + ,(2.32)˙ = .(2.33)Для применения теоремы нужно проверить выполнение предположений (1) - (3).
Покажем, чтосуществует обратная связь в виде = , которая стабилизирует систему (2.32). Действительно,линейная часть системы (2.32) будет асимптотически устойчива при = и < 0. Длянелинейной части выполнено неравенство 0 6 (sin() − )/ 6 1,3.
Т. е. нелинейность лежит всекторе с константами = 0, = 1,3. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова = * ,19где > 0 –скаляр. Тогда ˙ 6 ||2 2( + ) < 0 при < −. Применяя метод бэкстеппинга,синтезируем управление: = −( − ) + .(2.34)Тогда из теоремы следует, что замкнутая система (2.32)–(2.34) будет устойчива, а система(2.32),(2.33) будет обладать свойством гиперминимально-фазовости.Рассматриваемый в настоящей работе пример был промоделирован с конкретными параметрами: = 1, = −5; скорость движения тележки = 10 см/с (см.
рис. 2.1, 2.2).20Рисунок 2.1 — Система (2.32)–(2.34)Рисунок 2.2 — Система (2.32)–(2.34) c учетом ограниченного возмущения21Глава 3. Пассификация и синхронизация каскадных систем с дискретизацией3.1Каскадная система в форме Лурье3.1.1Постановка задачиДаны две динамические системы в форме Лурье с интегратором()˙= () + (1 ), 1 () = (),(3.1)()˙= () + (2 ) + (), 2 () = (),(3.2)()˙= (,) + (),(3.3)где (), () – -мерные векторы состояния объекта, 1 (), 2 () – скалярные выходы, () –скалярный вход подсистемы (3.2), получаемой из подсистемы (3.3), входом которой являетсяуправление (), – × матрица, – × 1 матрица, – 1 × матрица, (), (,) –непрерывные нелинейности лежащие в секторе.
Систему (3.1) будем называть ведущей (master),систему (3.2) - ведомой (slave). (), 6 6 +1 – управляющее воздействие для системы(3.2), (3.3), где = ℎ моменты времени с шагом дискретизации ℎ.Цель управления - синхронизировать две системы (3.1),(3.2) с нелинейным интегратором(3.3), т. е.
выбрать функцию управления () таким образом, чтобы () − () → 0 при → ∞.3.1.2Построение дискретного регулятораВводим ошибку синхронизации () = () − (), а также ошибку синхронизации повыходу () = 1 () − 2 () = (). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему:()˙= () + (,) − (), () = (),(3.4)()˙= (,) + (),(3.5)где (,) = (1 ) − (2 ) - новая нелинейность. Цель управления будет выглядеть следующимобразом: lim→∞ () = 0.Для синтеза управления () воспользуемся методом бэкстеппинга [7].()˙= () + (,) − (), () = (),(3.6)()˙= () + (,),(3.7)22где () = () + (,) + ().Рассмотрим систему (3.6), (3.7) с дискретным регулятором () = (− − )( ) +( ).Ее можно представить в виде˜() + ()˜˜˜˜ ˜( ).˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = 3.1.3(3.8)Условия пассификации и асимптотической стабилизацииДля получения условий достижения цели сделаем следующие предположения.1.
Пусть линейная система ()˙ = () − (), () = () гиперминимально-фазовая,т. е. матричная функция Γ() = lim→∞ () невырожденна и положительно определена [7], где () = ( − )−1 = ()/() – передаточная функция системы.Для случая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя () равна .Числитель () гурвицев степени − 1 с положительными коэффициентами. В соответствии с теоремой о пассификации существует управление () = , такое что системастабилизируема;2.
(,) лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора, зависящие отнелинейности;3. (,) также лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора,зависящие от нелинейности;Из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации [16] следует, что минимальное расстояние 0 между корнями числителя передаточной функции и мнимой осьюбудет положительным. Выберем параметры и таким образом,чтобы0 < < 0 ,(︃)︃˜˜ =2‖‖‖‖‖‖ max(||,||) + 2‖ ‖ max(||,||) < min , где , – положительноопределенная матрица в квадратичной функции Ляпунова () = , min – наименьшеесобственное число данной матрицы.3.1.4Условия экспоненциальной синхронизацииТеорема 3.1. Дана система (3.8) с дискретным регулятором. Пусть выполняются условия (1) (3).
Выберем шаг дискретизации так, чтобы выполнялось неравенство(ℎ) 6 0,(3.9)23˜˜ ℎ − ‖‖κ‖˜˜ − min{ − −ℎ , 2}, κ – коэффициент оценки выгде (ℎ) = ‖‖κ‖‖‖√хода системы через функцию Ляпунова: |˜| 6 κ , – константа Липшица правой частисистемы (3.8). Тогда рассматриваемая система будет экспоненциально устойчива.Это означает экспоненциальное стремление к нулю ошибки синхронизации.Доказательство. Рассматривается система (3.8) с дискретным регулятором.˜() + ()˜˜Введем следующее обозначение: (˜,) = ˜+ (,).Это Липшицева функ˜ + ‖‖‖˜ ‖‖˜ ‖˜ + ‖‖˜ max(||,||)‖‖˜ +ция с константой : |(˜1 ,) − (˜2 ,)| 6 (‖‖˜ max(||,||))‖˜˜ ˜()−(),˜‖‖1 −˜2 ‖ = ‖˜1 −˜2 ‖. Представим управление () в виде () = где () = ˜() − ˜( ) – ошибка дискретизации.
Для () выполняется неравенство |()| =∫︀ ∫︀ ‖ (˜,) ‖ 6 ( − )‖(˜ , )‖ + ‖()‖ . Применяя лемму Гронуолла — Беллмана,получаем оценку на ():‖(+1 )‖ 6 ‖(˜ , )‖Обозначим дробь: ℎ =√‖(+1 )‖ 6 ℎ . ℎ −1. ℎ − 1.(3.10)Отсюда следует оценка на ошибку дискретизацииДля исходной системы (3.8) выберем квадратичную функцию Ляпунова (˜) = ˜ ˜.Находясь в условиях теоремы 2.1, вычислим производную (˜).˜ ˜ 6 −1 + |˜˜˙ < − + max(||,||)‖˜‖2 + 2‖ ‖ max(||,||)‖˜‖2 − ˜ ()||||()|.(3.11)˜Обозначим: = |˜()||||()|.Таким образом неравенство (3.11) переписывается в виде ˙ 6 −1 + . Интегрируя его на промежутке ( , +1 ) и учитывая оценку выхода через√функцию Ляпунова |˜( )| 6 κ , получаем следующее неравенство:+1 6 ˜−1 ℎ +где 1 =√︀+1 −1 ℎ− ˜6 ˜−1 ℎ + ℎ 1 +1 ,11(3.12)κ.1Найдем условия, √︁при который неравенство +1 6 выполняется.+1Обозначим =, = exp−ℎ , = ℎ 1 .
В этих обозначениях, неравенство (3.11)может быть переписано как 6 1 + . Если < 2, < 1 − , тогда неравенства 6 1и 6 1 + выполняются. Это условия на шаг дискретизации ℎ (3.9) сформулированный вусловии теоремы. Следовательно, ‖˜( )‖ → 0 экспоненциально.Запишем оценку на ошибку дискретизации (): ‖˜()− ˜( )‖ 6 ℎ ‖˜( )‖, что эквивалентно оценке ‖˜()‖ 6 (ℎ + 1)‖˜( )‖. Отсюда следует экспоненциальная устойчивость решениясистемы ˜() → 0, ∀ ∈ ( ,+1 ).Теорема 3.1 доказана.243.2Сетевые каскадные системыРассмотрим каскадных динамических систем в форме Лурье с интеграторами˙ () = () + ( ) + () +∑︁+ ( () − ()),(3.13)(3.14)=1˙ () = ( ,) + (), () = (),(3.15)где (), = 1,...,, = 1,..., – функции, описывающие взаимосвязь между системами, ∈R1 .
Кроме этого рассмотрим ведущую систему (master):˙0 () = 0 () + (0 ), 0 () = 0 ().(3.16)где (), 0 () – -мерные векторы состояния объекта, (), 0 () скалярные выходы, – × матрица, – ×1 матрица, 1× матрица, (), (,) – непрерывные нелинейности лежащиев секторе, (), 6 6 +1 – управляющее воздействие, где = ℎ моменты времени сшагом дискретизации ℎ.Цель управления - синхронизировать все системы относительно ведущей, т. е. () −0 () → 0 при → ∞, = 1,...,.Положив () = () − 0 () и () = () − 0 () = (), получим уравнения относительно ошибок:˙ () = () + ( ,) − () +∑︁ ( () − ()), () = (),(3.17)=1(3.18)˙ () = ( ,) + (),где ( ,) = ( + 0 ()) − (0 ()) новая нелинейность.По аналогии с теоремой 3.1 синтезируем регулятор с помощью метода бэкстеппинга.Таким образом, () = () + ( ,) + (). Цель управления принимает вид:lim→∞ () = 0.Введем обозначения ˜ =(︃ )︃, ˜ =(︃ )︃.Теорема 3.2.
Рассмотрим систему (3.17) - (3.18) с дискретным регулятором. Пусть выполненыпредположения (1) - (3) и неравенство˜ max ( ) max(||,||)‖‖˜ + 2max ( ) max(||,||)+− min ( ) + 2‖‖∑︁+ 2max ( )(2| | + | |) < 0, = 1,...,, (3.19)=125(︃˜=где )︃, – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова (˜ ) = ˜ ˜ , min , max — наименьшее и наибольшее собственные числа данной матрицы.Функции (), = 1,...,, = 1,..., глобально липшицевы:′′ () : ‖ () − ( )‖ 6 ‖ − ‖, > 0.Пусть шаг дискретизации удовлетворяет следующим неравенствам (ℎ) 6 0,˜ ‖‖˜ ℎ − ‖‖κ˜ ‖‖˜ − min{ − −ℎ , 2}, κ коэффициентдля = 1.., где (ℎ) = ‖‖κ√оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜ | 6 κ , – константа Липшицаправой части системы (3.17) - (3.18).Тогда рассматриваемая система будет экспоненциально устойчива.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
