Диссертация (1150739), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Находясь в условиях теоремы 2.1 и использую неравенство 6 12 ( + ), вычислимпроизводную функции (˜).˜ ˜ + 2 () ˜ + 2˜˙ < − + max(||,||)‖˜‖2 + 2‖ ‖ max(||,||)‖˜‖2 + ˜ () 6√ √︀˜˜6 −1 + |˜()||||()|+ 4 () () 6 −¯ + |˜()||||()|+ 2 () () . (4.14)˜Введем следующие обозначения: = |˜()||||()|.Неравенство (4.14) может быть переписано в виде ˙ 6 −¯ + + 2 () () . Интегрируя его на промежутке ( , +1 ) и учитывая√оценку выхода через функцию Ляпунова |˜( )| 6 κ , получаем следующее неравенство:+1 6 −¯ℎ +где 1 =+1 −¯ℎ 2 ( ) ( )2 ( ) ( ) −¯ℎ− +−¯¯¯¯√︀2∆2 max ( )−¯ℎ6 + ℎ 1 +1 +,¯κ.1Используя неравенство√ 6 12 ( + ), мы получаем следующую оценку:(1 − ℎ 1 /2)+1 6 (˜−¯ℎ + ℎ 1 /2) +2∆2 max ( ).¯35Тогда +1 6 + Γ∆2 , где=˜−¯ℎ + ℎ 1 /22max ( ),Γ=.1 − ℎ 1 /2¯(1 − ℎ 1 /2)Будем требовать, чтобы неравенство < 1 было выполнено.
Это условие совпадает снеравенством (3.9) в формулировке теоремы.Значение lim →∞ sup (˜( )) не превосходит Γ. Из положительной определенности матрицы следует неравенство min ( )‖˜( )‖2 6 (˜( )), где max ( ), min ( ) наибольшее инаименьшее собственныечисла матрицы соответственно. Таким образом: lim →∞ ‖˜( )‖ 6√︁Γ ∆ , где = min ( ) . Или более подробно√︃ =2max ( ).min ( )( − ℎ κ)Запишем оценку на ошибку дискретизации (): ‖˜() − ˜( )‖ 6 ℎ ‖˜( )‖, которая эквивалентно оценке ‖˜()‖ 6 (ℎ + 1)‖˜( )‖.Учитывая выкладки выше, мы получаем оценку на вектор состояния lim→∞ ‖˜()‖ 6 (ℎ + 1)∆ = ˜∆ , где√︃˜ =2max ( )(˜ ℎ + − 1).min ( ) ( − ˜ ℎ κ + κ)Теорема 4.1 доказана.4.3Дискретный регулятор с статическим квантизаторомРассмотрим систему (4.8), (4.9) с дискретным регулятором и статическим квантизатором() = ((− − )( ) + ( )), 6 6 +1 , где = ℎ моменты времени с шагомдискретизации ℎ.Начальная система (4.8), (4.9) может быть представлена в виде˜() + ()˜˜˜˜ ( )) = ˜ ˜( ) + ∆,˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = (˜(4.15)где ˜ =(︃ )︃˜ =(︃ )︃.36Теорема 4.2.
Рассмотрим систему (3.8) с дискретным по времени управлением и квантизатором . Выберем шаг дискретизации, чтобы выполнялось неравенство:˜˜ ℎ − ‖‖κ‖˜˜ <0( )˜−ℎ + ‖‖κ‖‖˜‖(4.16)√κ коэффициент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜| 6 κ , – константаЛипшица правой части системы (3.8). Тогда lim→∞ ‖˜()‖ 6 ˜∆, где√︃˜ =2max ( )(˜ ℎ + − 1).min ( ) ( − ˜ ℎ κ + κ)˜ ˜( ) мыДоказательство. Приведем систему (4.15) к виду (4.10).
Вводя обозначение: ˜ = получаем:˜() + ˜˜ () + (,)˜˜˜ ˜( ).˜˙ () = ˜+ (,)+ ∆, ˜() = ˜ ˜(), ˜() = .Если рассмотреть ошибку квантизации ∆ в качестве ограниченной функции возмущения (), мы можем применить теорему 4.1 и получить финальный результат, сформулированный вусловии теоремы.Теорема 4.2 доказана.4.4Управление нелинейными системами в форме Лурье с динамическимквантизаторомПусть () = ( ) динамический квантизатор с масштабирующим параметром > 0.Рассмотрим систему (4.8), (4.9) с регулятором () = ((− − )() + ()).Исходная система (4.8), (4.9) может быть представлена в виде˜() + ()˜˜˜˜ (˜˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = ()),где ˜ =(︃ )︃(4.17)(︃ )︃˜ =.Зафиксируем параметр .Лемма 4.1.
Пусть выполнены предположения (1)-(3). Зафиксируем произвольный параметр > 0 и предположим, что достаточно большое по сравнению с ∆, таким образом будет37выполнено√︀√︀ ( ) > ( )Θ˜∆(1 + ),где Θ˜ =2‖ ‖(4.18)> 0, = − ‖‖‖‖ max (||, ||) − ‖‖ max (||,||).Следовательно эллипсоиды1 () = {˜ : ˜ ˜ 6 ( ) 2 2 }(4.19)2 () = {˜ : ˜ ˜ 6 ( )Θ2˜∆2 (1 + )2 2 }(4.20)и– инвариантные области для системы (4.17). Более того, все решения системы (4.17) начинающиеся в эллипсоиде (4.19) попадают в меньший (4.20) за конечное время.Доказательство. Для системы (4.17) вводим квадратичную функцию Ляпунова (˜) = ˜ ˜.Воспользовавшись неравенством (4.4) и (4.5) из определения квантизатора, вычислим производную функции (˜) с параметром = , учитывая условия (1) - (3).˙ < − + max(||,||)‖˜‖2 +(︂ )︂˜˜+ 2‖ ‖ max(||,||)‖˜‖ + 2 (− )626 −|˜|2 + 2|˜|‖ ‖∆ = −|˜|(|˜| − Θ˜∆)Учитывая неравенства (4.4) и (4.5) получаем оценку на вектор состояния Θ˜∆(1 + ) 6|˜| 6 .
Более того будет выполнено˙ 6 −|˜|Θ˜∆.Определим множества1 () = {˜ : |˜| 6 }и2 () = {˜ : |˜| 6 Θ˜∆(1 + )}.Учитывая неравенство (4.18), получаем цепочку вложений:(4.21)382 () ⊂ 2 () ⊂ 1 () ⊂ 1 ().Благодаря неравенству (4.21), получаем что эллипсоиды 1 (), 2 () инвариантны. Действительно, если во начальный момент времени 0 значение ˜(0 ) принадлежит эллипсоиду 1 ()и если взять в качестве = ( ) 2 − ( )Θ2˜∆2 (1 + )2Θ2˜∆2 (1 + )(4.22)тогда значение ˜(0 + ) гарантированно принадлежит эллипсоиду 2 ().Теорема 4.3.
Предположим что достаточно большое по сравнению с ∆, таким образомбудет выполнено неравенство{︂}︂ √︃‖ ‖ ( )> 2 max 1,,∆ ( )(4.23)where = − ‖‖‖‖ max (||, ||) − ‖‖ max (||,||) .Тогда, существует гибридный квантованный алгоритм управления, который делает систему (4.17) глобально ассимптотически устойчивой.Доказательство. Этап "zooming-out".
Положим = 0 и (0) = 1. Затем будем увеличивать ()кусочно-постоянным образом так, чтобы скорость роста была больше чем у функции ‖ exp ‖.Например, зафиксируем параметр > 0 и положим () = 1 для ∈ [0, ), () = exp2‖‖ для ∈ [, 2 ), и так далее. Затем, наступит момент времени > 0, что будет выполнено⃒⃒ √︃⃒ () ⃒ ( )⃒⃒⃒ () ⃒ 6 ( ) − 2∆.Применяя неравенство (4.4), мы получаем⃒ (︂)︂⃒ √︃⃒ () ⃒ ( )⃒⃒⃒ () ⃒ 6 ( ) − ∆.что эквивалентно√︃| (())| 6 ( ) () − ∆(). ( )39Более того, учитывая условия (4.4, 4.5) мы имеем⃒ √︃⃒⃒ (0 ) ⃒ ( )⃒⃒⃒ (0 ) ⃒ 6 ( ) .следовательно (0 ) ∈ 1 ((0 )).Этап "zooming-in".
Выберем > 0 таким образом, чтобы неравенство (4.18) выполнялось;это можно сделать, благодаря (4.23). В начальный момент времени выполнено (0 ) ∈ 1 ((0 ).Применим регулятор. Пусть () = (0 ) для ∈ [0 , 0 + ), где определена в формуле (4.22).Тогда (0 + ) ∈ 2 ((0 ). Для ∈ [0 + , 0 + 2 ) положим () = Ω(0 ) гдеΩ= ( )Θ ∆(1 + ). ( )Неравенство Ω < 1 выполняется благодаря (4.18), и следовательно (0 + ) < (0 ).Кроме этого выполнено равенство 2 ((0 )) = 1 ((0 + )). А для 6 0 + выполнено(0 +2 ) ∈ 2 ((0 + )).
Повторяя эту процедуру мы получаем желаемый алгоритм управления.Действительно, () → 0 для → ∞, и из полученных выше результатов, следует () → 0 для → ∞.40Глава 5. Оптимизация нелинейных каскадных систем в форме Лурье приограниченных внешних возмущениях5.1Постановка задачиДаны две динамические системы в форме Лурье с интегратором()˙= () + (1 ) + 1 (), 1 () = (),(5.1)()˙= () + (2 ) + () + 2 (), 2 () = (),(5.2)()˙= (,) + (),(5.3)где (), () – -мерные векторы состояния объекта, 1 (), 2 () – скалярные выходы, – × матрица, – × 1 матрица, – 1 × матрица, (), (,) – непрерывные нелинейности лежащие в секторе, () – ограниченные возмущения, ‖ ()‖ 6 ∆ .
Систему (5.1) будем называтьведущей (master), систему (5.2) - ведомой (slave).Согласно процедуре попятного синтеза, предположим, что для объекта (5.2) существуетнекое управление ().Наша цель состоит в оптимизации оценки ошибки выхода в системе с ограниченнымивнешними возмущениями на основе техники LMI и методе инвариантых эллипсоидов, а также всравнении результатов с оценками полученными из классического результата на основе функцииЛяпунова [34].5.1.1Построение пассифицирующего регулятораВводим ошибку синхронизации () = () − (), а также ошибку синхронизации повыходу () = 1 () − 2 () = (). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему:()˙= () + (,) − () + (), () = (),(5.4)()˙= (,) + (),(5.5)где (,) = (1 ) − (2 ) - новая нелинейность.
Цель управления будет выглядеть следующимобразом: lim→∞ () = 0.Для синтеза управления () воспользуемся методом бэкстеппинга.()˙= () + (,) − () + (), () = (),(5.6)()˙= () + (,) + (,) + (),(5.7)41где () – новое управление.5.1.2Условия пассификации и асимптотической стабилизацииДля получения условий достижения цели сделаем следующие предположения.1. Пусть линейная система ()˙ = () − (), () = () гиперминимально-фазовая,т. е. матричная функция Γ() = lim→∞ () невырожденна и положительно определена, где () = ( − )−1 = ()/() – передаточная функция системы. Дляслучая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя () равна . Числитель () гурвицев степени − 1 с положительными коэффициентами.
В соответствиис теоремой о пассификации существует управление () = , такое что система стабилизируема;2. (,) лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора, зависящие отнелинейности;3. (,) также лежит в секторе, т.
е. 6 (,)/ 6 , где , – параметры сектора,зависящие от нелинейности;Из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации следует, что минимальное расстояние 0 между корнями числителя передаточной функции и мнимой осью будет положитель˜ным. Выберем параметры и такимчтобы 0 < < 0 , 2‖‖‖‖‖‖ max(||,||) +(︃ образом,)︃˜ =2‖ ‖ max(||,||) < min , где , – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова () = , min – наименьшее собственное число данной матрицы.5.1.3Основной результатПредставим систему (5.6),(5.7) в виде(︃ )︃˙˙(︃=+−)︃ (︃ )︃ 0(︃)︃ (︃ )︃1 00 0(︁() = 1(︃+)︃(,) +,0(︃ )︃ (︃ )︃ (︃)︃ (︃ )︃)︁ 0,=20 1(︃ )︃01(,) +(︃ )︃01(5.8)42Или, в других обозначениях,˜() + (,)˜˜˜˜˙ () = ˜+ ()+ (,)+ ˜(),(5.9)˜ ˜.˜() = ˜ ˜(), () = (5.10)Теорема 5.1.
Пусть выполнены предположения (1) - (3). Эллипсоид (1.5) является инвариантным для системы (5.6),(5.7), если его матрица ≻ 0 удовлетворяет LMI⎛⎜⎜⎜⎜⎝⎞( )−1max(,)00( )−1max(,)00⎟0 ⎟⎟ 6 0.0 ⎟⎠(5.11)̂︀ + ̂︀ + + ˜˜ + ˜˜, ̂︀ = ˜ + ˜ ˜ .˜при некоторых , , > 0, где = ̂︀ задачиСледствие 5.1. Решение → (5.12)при ограничении⎛⎜⎜⎜⎜⎝⎞( )−1max(,)00( )−1max(,)00⎟0 ⎟⎟ 6 0,0 ⎟⎠(5.13)̂︀ = ˜ + ˜ ˜ ,˜ =̂︀ + ̂︀ + + ˜˜ + ˜˜ определяет матрицу ̂︀ ограничивающего эллипсоида для выхода = ˜() системы (5.6),(5.7).
Минимизация проводится поматричной переменной = ∈ R× , параметрам , , 6 0.Следствие 5.2. Если положить, что нелинейности в интеграторе нет, (,) ≡ 0, то приходимк результату, полученному в работе [55].Влияние внешних возмущений () можно охарактеризовать с помощью инвариантных эллипсоидов. Поэтому нас будут интересовать минимальные (в некотором смысле) инвариантныеэллипсоиды, содержащие выход () рассматриваемой системы. Можно рассмотреть различныекритерии инимальности эллипсоида. Например функцию det , пропорциональную объему эллипсоида Υ , или функцию ‖ ‖, соответствующую значению наибольшей полуосиэллипсоида Υ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
