Диссертация (1150739), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Все еще актуальным является ограничение на возможностисвязи. Ограниченная пропускная способность канала приводит к невозможности получать полностью всю информацию о системе. Одни из способов учесть рассматриваемые влияния насистему является квантизация сигнала. Можно представить квантизатор как устройство, которое преобразует непрерывный сигнал в кусочно-постоянный, принимая значения из конечногомножества [22–26].Используя квантизатор, пространство состояний системы можно разделить на конечноечисло областей квантования, каждое из которых соответствует фиксированному значению вквантизаторе.
В таком случае динамика системы может сильно поменяться, и поэтому можноговорить тогда о гибридной системе, то есть, системе, описывающей связь между непрерывнойи дискретной динамикой. Появляется задача стабилизации систем управления с квантизацией повыходу или по состоянию. В рассматриваемой работе решается задача синхронизации нелинейных каскадных систем с квантизацией по выходу. Существующие подходы применены к линейным системам [27–30].
Как показано в работе Brockett R. W. и Liberzon D. [31], если линейнаясистема может быть стабилизирована с помощью закона обратной связи, то она также можетбыть глобально стабилизирована с помощью гибридного управления с квантизатором. Эта задача решается в два этапа. Первый этап состоит в увеличении диапазона квантизатора, покасостояние системы не сможет быть оценено. На этом этапе система незамкнута. Второй этапвключает в себя применение обратной связи и в то же время уменьшение ошибки квантизаторатаким образом, чтобы состояние системы стремилось к нулю.Следующей задачей, рассматриваемой в диссертационной работе, является задача оптимизации оценки ошибки выхода в нелинейной каскадной системе. В работе предложено решатьее на основе метода инвариантных множеств, которая сводится к оптимизации объема инвариантного эллипсоида.
В диссертационной работе рассматриваются ограниченные возмущения, и6поэтому подходы, которые используется при решении таких задач как ∞ - оптимизация или, не могут быть применены.Метод инвариантных множеств часто используется в различных задачах теории гарантированого оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах приналичии неопределенностей. Если к тому же выбрать в качестве инвариантных множеств эллипсоиды, то, благодаря их простой структуре и прямой связи с квадратичными функциямиЛяпунова, можно использовать аппарат линейных матричных неравенств (LMI) [32; 33].Исходя из вышесказанного, целью диссертационной работы является построение и анализрегуляторов, обеспечивающих пассификацию и синхронизацию каскадных нелинейных системс возмущениями.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:1. получить условия синхронизации и пассификации каскадных нелинейных систем с помощью метода бэкстеппинга; исследовать влияние ограниченных возмущений в каскадной системе;2. получить условия синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора;3. получить условия синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора с возмущениями и квантизатором (статическим и динамическим);4. оптимизировать оценку ошибки вектора состояния нелинейной каскадной системы, полученную в п.
1;В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.Во второй главе рассматривается задача пассификации и синхронизации нелинейных каскадных систем в форме Лурье. Строится пассифицирующий регулятор на основе метода бэкстеппинга. Кроме того, исследуются вопросы влияния ограниченных возмущений, и применяютсяполученные результаты к сетевым системам Лурье.В третьей главе рассматриваются нелинейные каскадные системы в форме Лурье с дискретизацией.
Выводятся условия экспоненциальной синхронизации.В четвёртой главе рассматриваются нелинейные каскадные системы в форме Лурье с квантизацией по уровню. Решается задача синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регулятора с возмущениями и квантизатором.В пятой главе диссертационной работы оптимизируется оценка ошибки выхода нелинейной каскадной системы на основе метода инвариантных эллипсоидов.В шестой главе представлено описание универсальной лабораторной установки, с помощью которой были применены полученные результаты на практике. Кроме этого, установкапозволяет исследовать не только представленные в настоящей работе алгоритмы, но и другие, атакже дистанционно управлять мобильными роботами.В Заключении перечислены основные результаты работы.По теме диссертации опубликовано 12 работ [34–45], в том числе 4 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации7основных научных результатов диссертаций, 3 работ в изданиях из баз цитирования Web ofScience и Scopus.
Основные результаты представлены на 10 всероссийских и международныхконференциях.8Глава 1. Предварительные сведения1.1Метод пассификацииСформулируем необходимые результаты по пассивным системам [46].Дана система()˙= () + (),(1.1)() = ()где ∈ R – вектор состояния, ∈ R – управляющее воздействие, ∈ R – выход системы.Матрицы , и – постоянные с соответствующими размерностями.Определение 1.1. Для заданного вектора ∈ R система (1.1) называется пассивной, еслисуществует неотрицательная функция () такая, что∫︁ (()) 6 ((0)) +() () (1.2)0для любого решения () системы (1.1) [46].Определение 1.2.
Для заданного вектора ∈ R система (1.1) называется строго пассивной,если существуют неотрицательная функция () и положительная для ̸= 0 функция ()такие, что∫︁ (()) 6 ((0)) +(︀)︀() () − (()) (1.3)0для любого решения () системы (1.1) [46].Замечание 1.1. Пассивные системы являются частным случаем диссипативных систем [47;48].Неравенства (1.2), (1.3) имеют простой физический смысл: «функция запаса () являетсяаналогом полной энергии для систем общего вида, произведение входных и выходных величин выражает измеренную мощность, поступившую в систему, а функция () оценивает снизускорость рассеяния энергии в системе» [49, стр. 57].Определение 1.3.
Передаточная функция () = ( − )−1 называется гиперминимально-фазовой, если её числитель det( − ) () является устойчивым многочленомс положительным старшим коэффициентом > 0.Лемма 1.1 (о пассификации [13]). Пусть ̸= 0 и задан некоторый вектор ∈ R . Тогда длясуществования матрицы ∈ R× и вектора * ∈ R таких, что > 0, * + * < 0, = ,(1.4)9где * = − * , необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция () = ( − )−1 была гипер-минимально-фазовой.Пассивность тесно связана с устойчивостью: при ≡ 0 пассивная система с положительноопределенной функцией запаса устойчива по Ляпунову.Определение 1.4. Система ˙ = () + (), = ℎ() обладает свойством ЯКБ (ЯкубовичаКалмана-Попова) [7], если существует неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция : R → R+ , (0) = 0 такая, что(∇ ()) () 6 0, (∇ ()) () = ℎ() .Лемма 1.2.
Система ˙ = () + (), = ℎ() пассивна с непрерывно-дифференцируемойфункцией запаса тогда и только тогда, когда она обладает свойством ЯКП [7].1.2Метод бэкстеппингаМетод бэкстеппинга [7] основан на следующем утверждении.Утверждение 1.1. Если система ˙ = (,), ˙ = определена в R и локально асимптотическистабилизируема в точке = * с помощью управления = (), то алгоритм управления= (,) + 0 ( − ()),где 0 < 0, обеспечивает (локальную) асимптотическую устойчивость исходной системы вточке (,) = (* ,0).1.3Метод инвариантных эллипсоидовОпределение 1.5.
Инвариантным эллипсоидом для динамической системы называется эллипсоидΥ = { ∈ R : −1 6 ∆ }, ≻ 0,(1.5)обладающий следующим свойством: любая траектория системы, исходящая из точки,лежащей в Υ , в любой момент времени принадлежит этому эллипсоиду [32].Лемма 1.3. (Лемма Шура). [50]10Пусть(︃=)︃∈ R(+)(+) ,(1.6)где = ∈ R× , ∈ R× , а = ∈ R× невырожденная матрица. Тогда < 0 ⇔ ≻ 0, − −1 ⪰ 0.(1.7)Лемма 1.4. (S -процедура). [51]Пусть заданы однородные квадратичные формы () = , = 0, 1,..., , где ∈R , = ∈ R× , и числа 0 , 1 ,..., .
Если существуют действительные числа > 0, =1,..., такие, что0 ⪯∑︁ , 0 >=1∑︁ ,(1.8)=1то неравенства () 6 , = 1,..., ,(1.9)0 () 6 0 .(1.10)влекут неравенствоОбратно, если из (1.10) следует (1.9) и выполняется любое из условий: а) = 1 ; б) = 2, > 3и существуют числа 1 , 2 и вектор 0 ∈ R такие, что1 1 + 2 2 ≻ 0, 1 (0 ) < 1 , 2 (0 ) < 2 ,то найдутся > 0, = 1,..., , такие что выполняются соотношения (1.8) .(1.11)11Глава 2.
Пассификация и синхронизация каскадных систем2.1Постановка задачиДаны две динамические системы в форме Лурье с интегратором()˙= () + (1 ) + 1 (), 1 () = (),(2.1)()˙= () + (2 ) + () + 2 (), 2 () = (),(2.2)()˙= (,) + (),(2.3)где (), () – -мерные векторы состояния, 1 (), 2 () – скалярные выходы, () – скалярныйвход подсистемы (2.2), получаемой из подсистемы (2.3), входом которой является управление(), – × матрица, – × 1 матрица, – 1 × матрица, (), (,) – непрерывныенелинейности, лежащие в секторе, () – ограниченные возмущения являющиеся измеримымиограниченными функциями, ‖ ()‖ 6 ∆ , = 1,2, 6 0.
Систему (2.1) будем называть ведущей(master), систему (2.2) - ведомой (slave).Цель управления - синхронизировать две системы (2.1),(2.2) с нелинейным интегратором(2.3), т. е. выбрать функцию управления () таким образом, чтобы 1 () − 2 () → 0 при → ∞.Вспомогательная задача – пассификация системы (2.1) – (2.3). () – управляющее воздействиедля системы (2.2), (2.3).2.2Условия пассификации и асимптотической стабилизацииДля решения задачи рассмотрим сначала систему с нулевым возмущением () ≡0 для = 1,2. Вводим ошибку синхронизации () = () − (), а также ошибку синхронизации по выходу () = 1 () − 2 () = (). С учетом этих обозначений можно ввести новуюсистему:()˙= () + (,) − (), () = (),(2.4)()˙= (,) + (),(2.5)где (,) = (1 ) − (2 ) – новая нелинейность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
