Диссертация (1150654), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для диаграммы кулоновской отдачи (рис.2.1) мы получаем выражение:(1)∆gaa11 i=(E − εa )2 M 2πZdωX ha | p~ | nihn | p~ | ainE − ω − εn + iηn 0,(2.1.2)где ηn = εn − εF и εF это энергия Ферми, которая выбирается так, чтобыбыть выше, чем одноэлектронная энергия замкнутой оболочки и ниже, чемэнергии одноэлектронного валентного состояния. Используя соотношение11= P ∓ πiδ(x)x ± i0x(2.1.3)и формулу (2.1.1) в первом порядке, мы получаем∆ECoul1 X1 X2=| ha | p~ | ni | −| ha | p~ | ni |2 .2M ε >ε2M ε <εnFn(2.1.4)FЭто выражение можно разделить на две части, одноэлектронную и двух-— 18 —электронную:(one−el)∆ECoul = ∆ECoul(one−el)∆ECoul(two−el)+ ∆ECoul,1 X1 X2=| ha | p~ | ni | −| ha | p~ | ni |2 ,2M ε >02M ε <0n(2.1.5)(2.1.6)n(two−el)∆ECoul1=−MX| ha | p~ | ci |2 .(2.1.7)0<εc <εFЭти формулы дают нам точное выражение для кулоновского вклада в отдачу в рамках полностью релятивистского подхода в нулевом порядке по 1/Z.Чтобы отделить члены, отвечающие приближению Брейта, мы представимодноэлектронный вклад в следующем виде:(one−el)∆ECoul11 X2=ha | p~ | ai −| ha | p~ | ni |2 .2MM ε <0(2.1.8)nПервый член этого уравнения определяет нормальный массовый сдвиг в нулевом порядке по 1/Z, а второй член определяет КЭД часть кулоновского(two−el)вклада в отдачу.
Выражением ∆ECoulопределяется специфический мас-совый сдвиг в нулевом порядке по 1/Z. Следовательно, мы можем написать1ha | p~2 | ai,2M1 X(0)∆ESMS = −| ha | p~ | ci |2 ,M 0<ε <εcFX1(0,Coul)∆EQED = −| ha | p~ | ni |2 ,M ε <0(0)∆ENMS =(2.1.9)(2.1.10)(2.1.11)nгде верхний индекс (0) соответствует нулевому порядку по 1/Z. Проводясхожие вычисления вкладов с одним поперечным фотоном в эффект отдачиядра (рис. 2.1) и сохраняя только члены, которые соответствуют приближению Брейта, мы получаем(0)∆ERNMS = −1~ · p~ + p~ · D)~ | ai,ha | (D2M(2.1.12)— 19 —Рис.
2.1: Диаграммы Фейнмана, определяющие эффект отдачи ядра в низшем релятивистском приближении. Точечная пунктирная линия соответствуют кулоновскому взаимодействию, которое приводит к NMS и SMS вкладам, штриховая пунктирная линия сутьвзаимодействие с одним поперечным фотоном, что приводит к RNMS и RSMS вкладам.(0)∆ERSMS =1MX~ | ai + ha | D~ | cihc | p~ | ai).(ha | p~ | cihc | D(2.1.13)0<εc <εFТеперь перейдем к поправкам на межэлектронное взаимодействие к эффекту отдачи ядра. В первом порядке по 1/Z поправки на межэлектронноевзаимодействие к NMS и SMS вкладам определяются диаграммами Фейнмана, представленными на рисунке (2.1). В этих диаграммах, волнистая линиясоответствует электрон-электронному взаимодействию, рассматриваемому вприближении Брейта:V (1, 2) = VC (1, 2) + VB (1, 2)hαi~1 · α~2 1 ~α~−α+ (∇1 · α~ 1 )(∇2 · α~ 2 )r12 .=r12r122(2.1.14)(2.1.15)На рис.
(2.2) мы представляем лишь те диаграммы, которые дают ненулевыевклады в случае литиеподобных ионов с одним электроном поверх замкнутой (1s)2 оболочки, и держим в уме то, что для диаграмм a, b, g, и h существуют соответствующие симметричные аналоги, поэтому полный ответ дляних необходимо умножить на 2. Стоит отметить, что существуют также подобные диаграммы для случая, когда точечная пунктирная линия заменяется на штриховую пунктирную линию в диаграммах на рис. (2.2), определяя— 20 —abcdefghРис.
2.2: Диаграммы Фейнмана, определяющие поправки на межэлектронное взаимодействие для NMS и SMS вкладов в первом порядке по 1/Z.— 21 —тем самым поправки на межэлектронное взаимодействие для RNMS и RSMSвкладов. Вычисление диаграммы a и ее симметричного аналога, а такжесоответствующих диаграмм с поперечным фотоном, посредством формулы(2.1.1) приводит к следующим выражениям (подробный вывод приводитсяво второй части Приложения):(1,a)∆ENMS(εn 6=εa )1 X X1=hac | V | ncihn | p~2 | ai,M ε >0 0<ε <ε εa − εnn(1,a)∆ERNMSc(2.1.16)F(εn 6=εa )1 X X1~ · p~ + p~ · D)~ | ai=−hac | V | nc ihn | (DM ε >0 0<ε <ε εa − εnncF(2.1.17)(1,a)∆ESMS(εn 6=εa )2 X X=−M ε >0 0<ε <εncXF0<εc0 <εF1hac | V | ncihn | p~ | c0 ihc0 | p~ | ai,εa − εn(2.1.18)(εn 6=εa )X2 X X1=hac | V | nciM ε >0 0<ε <ε 0<ε <ε εa − εnncFFc000 ~00~× hn | p~ | c ihc | D | ai + hn | D | c ihc | p~ | ai ,(1,a)∆ERSMS(2.1.19)где подразумевается скалярное произведение векторов.
Для других диаграмм (b-h) приведем только выражения для NMS и SMS вкладов:(1,b)∆ENMS(εn 6=εa )1 X X1=−hac | V | cnihn | p~2 | ai,M ε >0 0<ε <ε εa − εnn(1,b)∆ESMSc(εn 6=εa )2 X X=M ε >0 0<ε <εncFXF(2.1.20)0<εc0 <εF1hac | V | cnihn | p~ | c0 ihc0 | p~ | ai,εa − εn(2.1.21)— 22 —(1,c)∆ENMS = 0,(1,c)∆ESMS1 X=M ε >ε(2.1.22)1 ha | p~ | nihc | p~ | aihnc0 | V | cc0 iεn − εcF 0<εc <εF 0<εc0 <εF00+ha | p~ | cihn | p~ | aihcc | V | nc i , (2.1.23)nXX(1,d)∆ENMS = 0,(1,d)∆ESMS1 X=−M ε >εn(1,e)∆ENMS =(2.1.24)1 ha | p~ | nihc | p~ | aihnc0 | V | c0 ciεn − εcF 0<εc <εF 0<εc0 <εF00+ha | p~ | cihn | p~ | aihcc | V | c ni , (2.1.25)XX1 XM ε >εXnF0<εc <εF1hac | V | naihn | p~2 | ci,εn − εc(1,e)∆ESMS = 0,(1,f )∆ENMS1 X=M ε >εnFXhac | V | ani0<εc <εF(2.1.26)(2.1.27)1hn | p~2 | ci,εc − εn(2.1.28)(1,f )(2.1.29)(1,g)(2.1.30)∆ESMS = 0,∆ENMS = 0,— 23 —(1,g)∆ESMS2 X=−M 0<ε <εc+FX0<εc0 <εFX ha | p~ | c0 ihn | p~ | cihc0 c | V | nai(2.1.31)εa + εn − εc − εc0ε >εnFn0 6=εa +εc )X X (εn +εXha | p~ | n0 ihc | p~ | niεa + εc − εn − εn0εn0 >εF0<εc <εF εn >0hn n | V | cai ,0(1,h)∆ENMS = 0,(1,h)∆ESMS(2.1.32)(εn +εn0 6=εa +εc )XX ha | p~ | n0 ihc | p~ | nihnn0 | V | cai2X(2.1.33)=0M ε >εε+ε−ε−εacnnεn0 >εF0<εc <εFnFXX X ha | p~ | c0 ihn | p~ | ci0+hcc | V | nai .0ε+ε−ε−εancc0<ε <ε 0<ε <ε ε >0cFc0FnRNMS и RSMS вклады, соответствующие диаграммам b-h, могут быть про~ и сохранениемсто получены из уравнений (2.1.20)-(2.1.33) заменой p~ на p~ − D~ операторы.
После интегрироватолько тех членов, которые содержат p~ и Dния по углам, используя теорему Вигнера-Эккарта, мы проводим численныерасчеты выражений (2.1.16)-(2.1.33). Расчеты выполнены методом конечного базисного набора. Для построения базиса использовался метод дуальногокинетического баланса (ДКБ) [36] с базисными функциями, построеннымииз B-сплайнов [37].
Вычисления проводились для конечного размера ядра,где в качестве модели распределения плотности заряда была использованамодель Ферми, а зарядовые радиусы ядер были взяты из [4, 38].Чтобы вычислить поправки на отдачу ядра второго и более высоких порядков по 1/Z, был использован метод конфигурационного взаимодействияв базисе Дирака-Фока-Штурма (КВ-ДФШ).
Посредством этого метода мывычислили полные значения вкладов эффекта отдачи ядра в приближенииБрейта, включая кулоновскую и брейтовскую части межэлектронного взаимодействия, спроецированные на положительные энергетические состояния.— 24 —Это было сделано с помощью вычисления среднего значения оператора отдачи ядра (2.0.1) на КВ-ДФШ волновых функциях. Чтобы отделить вкладыразного порядка по 1/Z, оператор межэлектронного взаимодействия выбирался в виде:V (λ) = λV,(2.1.34)где V задается уравнением (2.1.14) и λ – параметр масштабирования.
Длямалых λ вклад отдачи ядра может быть разложен по степеням λ:E(λ) = E0 + E1 λ +∞XEk λk ,(2.1.35)k=2где1 dkEk =E(λ)|λ=0 .k! dλkВклады второго и более высоких порядков E≥2 =(2.1.36)∞PEk вычисляются какk=2E≥2 = E(λ = 1) − E0 − E1 ,(2.1.37)где члены E0 и E1 определяются численно согласно уравнению (2.2.6).Наконец, следует рассмотреть вклады эффекта отдачи ядра за рамками приближения Брейта (КЭД поправки к отдаче ядра). КЭД вычисленияэффекта отдачи ядра для многозарядных ионов в нулевом порядке по 1/Zбыли проведены в работах [18, 22, 39] для случая точечного распределениязаряда ядра и в статьях [14, 40, 41] для конечного распределения заряда поядру.
В настоящей работе для получения КЭД поправки к эффекту отдачиядра была произведена интерполяция соответствующих данных из [14].— 25 —2.1.2Результаты вычисленийВклады эффекта отдачи ядра удобно выразить в терминах K-фактора, который определяется выражением:∆E =K.M(2.1.38)Таким образом, изотопический массовый сдвиг дается выражениемδEM S =KKδM−=−K,M1 M2M1 M2(2.1.39)где δM = M1 − M2 это разность масс ядер.В таблице 2.1 мы представляем вклады KNMS , KSMS , KRNMS и KRSMSот отдельных диаграмм для 2pj − 2s переходов в литиеподобном уране.В отличие от нашей первой статьи [42], где NMS и RNMS вкладывычислялись суммированием по всем промежуточным электронным состояниям, здесь мы ограничиваемся суммированием лишь по положительноэнергетическим электронным состояниям.
Разность, обусловленная учетомвкладов отрицательно-энергетических состояний, составляет величинупорядка КЭД поправок к отдаче ядра первого порядка по 1/Z, которыенаходятся за рамками рассмотрения в настоящей работе.Таблица 2.1: Вклады от отдельных диаграмм в массовый сдвиг в приближении Брейта в терминах K-фактора (в единицах 1000 ГГц·а.е.м.) для 2p1/2 −2s и 2p3/2 −2s переходов в литиеподобномуране (Z=92).KSMSKRNMSKRSMSKNMSKSMSKRNMSKRSMS-3629.93-4925.253930.033929.40-6989.42-2656.606763.01793.10a20.78285.46-72.75-254.97287.97150.77-298.83-46.61b-3.3213.69-0.84-12.5324.32-4.17-15.311.30c02.460-15.030-14.380-1.01d0-0.8604.9304.7700.35e-93.15070.290-80.11060.550f30.270-25.07093.160-72.270g023.680-14.82013.590-9.18h0-24.94025.150-40.23026.46Сумма-3675.35-4625.763901.663662.13-6664.08-2546.256437.15764.41— 26 —KNMSНулевой порядок по 1/ZПервый порядок по 1/Z2p3/2 − 2s2p1/2 − 2sдиаграмма— 27 —Значения KNMS , KRNMS , KSMS , KRSMS и KQED для 2pj − 2s переходов влитиеподобных ионах даны в таблицах 2.2 и 2.3 для j = 1/2 и j = 3/2, соответственно.
Вклады эффекта отдачи в нулевом и первом порядках по 1/Zвычислялись по теории возмущений, в то время как соответствующие члены во втором и более высоких порядков по 1/Z были получены с помощьюметода КВ -ДФШ. Полные значения массового сдвига, включающие КЭДпоправки к отдаче, также представлены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
