Диссертация (1150654), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В формуле (3.3.16)и везде ниже подразумевается, что интегрирование по энергетической переменной (p0 ) идет от −∞ до +∞.Подставляя выражение (3.3.16) в формулу для сдвига энергии уровня (2.1.1)— 80 —и интегрируя по замкнутому контуру, получаем:1∆E =2πiZn2 6=a1 XXX idE(E − εa )∆gaa (E) =dp0 hac | I(0) | n2 ciM n n2πΓcI2×1hn2 | p~ | nihn | p~ | ai.
(3.3.17)εa − εn2p0 − εn + iηn 0Используя формулу Сохоцкого:π11= ± δ(x) + P ,x ± i0ix(3.3.18)получаем окончательные выражения для одноэлектронной (NMS) и двухэлектронной (SMS) частей вклада от диаграммы 1:∆E = ∆ENMS + ∆ESMS ,∆ENMS∆ESMS1=2M1=−M(εn2 6=εa )XXεn2 >0 0<εc <εF1hac | I(0) | n2 cihn2 | p~2 | ai,εa − εn2(εn2 6=εa )XX(3.3.19)Xεn2 >0 0<εc <εF 0<εc0 <εF(3.3.20)1hac | I(0) | n2 cihn2 | p~ | c0 iεa − εn2× hc0 | p~ | ai, (3.3.21)где учтено, что вкладами от отрицательно-энергетических промежуточныхэлектронных состояний можно пренебречь. Эти вклады следует учитыватьпри рассчетах соответствующих КЭД поправок.
Добавление к формулам(3.3.20) и (3.3.21) вкладов от соответствующего симметричного партнерадиаграммы 1 приводит к удвоению полученных результатов и дает формулы(2.1.16),(2.1.18).Аналогично рассматриваем другие диаграммы. Фурье-образ функции— 81 —Рис. 3.3: Диаграмма 2Грина в случае диаграммы 2 имеет вид:11i∆gaa (E) =2M (E − εa ) 2πZdωXha | p~ | n1 ihn2 | p~ | ain1 ,n2X11×hn1 c | I(0) | n2 ci, (3.3.22)E − ω − εn1 + iηn1 0 E − ω − εn2 + iηn2 0 cгде от вакуумной петли оставлен только вклад, отвечающий взаимодействиюс электронами из заполненной (1s)2 оболочки c, и пренебрежено поправкамина действительную поляризацию вакуума.Находим,что вклады от одноэлектронной отдачи в приближении Брейтаравны нулю, а для соответствующих двухэлектронных вкладов получаем:1 X∆E =M ε >εn1+1MFX0<εn2 <εFX0<εn1 <εFha | p~ | n1 ihn2 | p~ | ai Xhn1 c | I(0) | n2 ci+εn1 − εn2cX ha | p~ | n1 ihn2 | p~ | ai Xhn1 c | I(0) | n2 ci, (3.3.23)ε−εnn21ε >εcn2Fгде опять отброшены вклады от отрицательно-энергетических состояний.Т.к.
NMS вклада не будет, можем записать:∆ESMS1 X=M ε >εn1FXX0<εc <εF 0<εc0 <εF1 ha | p~ | n1 ihc | p~ | aihn1 c0 | I(0) | cc0 iεn1 − εc00+ha | p~ | cihn1 | p~ | aihcc | I(0) | n1 c i .(3.3.24)Это выражение соответствует формуле (2.1.23).— 82 —Рис. 3.4: Диаграмма 3Далее перейдем к случаю диаграммы 3.ZZ i 2X ha | p~ | n1 ihn1 | p~ | n2 i11∆gaa (E) =dω1 dω2π (E − εa )2 ME − ω1 − εn1 + iηn1 0n ,n ,n1×231hn2 n3 | I(0) | n3 ai. (3.3.25)E − εn2 E − ω − εn3 + iηn3 0Для сдвига энергии находим:ZnX2 6=a i 2 1 Z1ha | p~ | n1 ihn1 | p~ | n2 idω1 dω∆E =2π Mε − ω1 − εn1 + iηn1 0 εa − εn2n1 ,n2 ,n3 anX2 6=a X i 2 1 Zhn2 n3 | I(0) | n3 aiha | p~ | n1 ihn1 | p~ | n2 i×dω1= 2πiεa − ω − εn3 + iηn3 02π Mεa − ω1 − εn1 + iηn1 0n ,nc12n2 6=a1 XX1×hn2 c | I(0) | cai = −sign(εn − εF )ha | p~ | n1 ihn1 | p~ | n2 iεa − εn22M n n12X1×hn2 c | I(0) | cai.
(3.3.26)εa − εn2 cГде от “собственной энергии” электрона оставлен только вклад, отвечающийвзаимодействию с электронами из заполненной (1s)2 оболочки (c), и пренебрежено действительными собственно-энергетическими поправками.Оставляя, как и ранее, лишь суммирование по положительному спектру,получаем для NMS и SMS вкладов:∆ENMS1=−2M(εn2 6=εa )XXεn2 >0 0<εc <εFha | p~2 | n2 i1hn2 c | I(0) | cai, (3.3.27)εa − εn2— 83 —∆ESMS1=M(εn2 6=εa )XXXha | p~ | c0 ihc0 | p~ | n2 iεn2 >0 0<εc <εF 0<εc0 <εF1hn2 c | I(0) | cai.εa − εn2(3.3.28)Добавляя соответствующие вклады от симметричного партнера диаграммы 3, получаем формулы (2.1.20),(2.1.21).Рассматривая диаграмму 4, получаем:Рис.
3.5: Диаграмма 4∆gaaZZ i 2 1X1ha | p~ | n2 i=dωdω122π M (E − εa )2E − ω2 − εn2 + iηn2 0n2XXhn2 n1 | I(0) | n1 nihn | p~ | ai,×E−ω−ω−ε+iη0E−ω−ε+iη021nn2nn11nn1(3.3.29)Z i 2 1 ZXha | p~ | n2 i∆E =dω1 dω22π Mεa − ω2 − εn2 + iηn2 0n2XXhn2 n1 | I(0) | n1 nihn | p~ | ai×.ε−ω−ω−ε+iη0ε−ω−ε+iη0a21nna2nn11nn1(3.3.30)Используя формулу Сохоцкого и оставляя от собственно-энергетической части только вклад, отвечающий взаимодействию с электронами из замкнутой— 84 —оболочки, находим:X1 X Xhn | p~ | ai∆E = −hn2 c | I(0) | cniha | p~ | n2 i+M ε >ε ε <εε−εnn2cn2F nFX X ha | p~ | n2 i Xhn2 c | I(0) | cnihn | p~ | ai . (3.3.31)+ε−εnn2ε <ε ε >εcn2FnFВидно, что NMS вклад отсутствует для такой диаграммы, остается лишьSM S вклад (смотрите формулу (2.1.25)):∆ESMS1 X=−M ε >εn2FXX0<εc <εF 0<εc0 <εF1 ha | p~ | n2 ihc | p~ | aiεn2 − εc× hn2 c | I(0) | c ci + ha | p~ | cihn2 | p~ | aihcc | I(0) | c n2 i .
(3.3.32)0000Перейдем к диаграмме 5. ИмеемРис. 3.6: Диаграмма 5∆gaaZZ i 2 1X1=dωdωhan | I(0) | n2 ai122π M (E − εa )2n ,n ,n2111× hn2 | p~ | n1 ihn1 | p~ | niE − ω2 − εn2 + iηn2 0 E − ω2 − ω1 − εn1 + iηn1 01×. (3.3.33)E − ω2 − εn + iηn 0— 85 —Находим:Z i 2 1 ZX∆E =dω1 dω2han | I(0) | n2 aihn2 | p~ | n1 ihn1 | p~ | ni2π Mn ,n ,n2×1111εa − ω2 − εn2 + iηn2 0 εa − ω2 − ω1 − εn1 + iηn1 0 εa − ω2 − εn + iηn 0ZXπ i 2 1=dω2han | I(0) | n2 aihn2 | p~ | n1 ihn1 | p~ | nii 2π Mn ,n ,n2111× sign(εn1 − εF )εa − ω2 − εn2 + iηn2 0 εa − ω2 − εn + iηn 0XXX11sign(εn1 − εF )han | I(0) | n2 ai=hn2 | p~ | n1 i2M ε >ε ε <ε nεn2 − εnn2F nF1X X X1hn2 | p~ | n1 i×hn1 | p~ | ni+sign(εn1 −εF )han | I(0) | n2 aiε−εnn2εn2 <εF εn >εF n1× hn1 | p~ | ni .
(3.3.34)Получаем (см. формулы (2.1.26),(2.1.27)):∆ENMS =1 XM ε >εn2FX0<εc <εF1hac | V | n2 aihn2 | p~2 | ci,εn2 − εc∆ESMS = 0,(3.3.35)(3.3.36)где учтено, что матричный элемент оператора p~ между состояниямииз замкнутой (1s)2 оболочки равен нулю, а также опущены вклады ототрицательно-энергетических стостояний.В случае диаграммы 6:Рис. 3.7: Диаграмма 6— 86 —∆gaa1 i 21( )=(E − εa )2 M 2πZZdω1Xdω2n3 ,n2 ,n1ha | p~ | n3 iE − ω2 − εn3 + iηn3 0hn3 n1 | I(0) | n2 aihn2 | p~ | n1 iE − ω1 − ω2 − εn2 + iηn2 0 E − ω1 − εn1 + iηn1 0 2πi i 2 ZXX1ha | p~ | n3 i=dω2(E − εa )2 M 2πE − ω2 − εn3 + iηn3 0n ,nc×32hn2 | p~ | cihn3 c | I(0) | n2 aiεc − ω2 − εn2 + iηn2 0ZZX1 i 2ha | p~ | n3 idω1 dω2+M 2πE − ω2 − εn3 + iηn3 0n3 ,n2 ,n1hn3 n1 | I(0) | n2 ai hn2 | p~ | n1 i×E − ω1 − ω2 − εn2 + iηn2 0 E − ω1 − εn1 (1 − i0)ZXX2πi i 2ha | p~ | n3 ihn2 | p~ | ci1dω=2(E − εa )2 M 2πE − ω2 − εn3 + iηn3 0 εc − ω2 − εn2 + iηn2 0n3 ,n2 cZXX2πi i 2ha | p~ | n3 i× hn3 c | I(0) | n2 ai +dω2M 2πE − ω2 − εn3 + iηn3 0n3 ,n1 chn3 n1 | I(0) | cai × hc | p~ | n1 i,ω2 + εc − εn1 (1 − i0)×(3.3.37)где мы опустили ряд членов, отвечающих вкладам от состояний с отрицательной энергией.— 87 —Имеем:2πi i 2 X∆E =M 2πcεc +εn3 6=εa +εn2XXεn3 >εF0<εn2 <εF× hn2 | p~ | n1 i1hn3 c | I(0) | n2 ai+εc − εa + εn3 − εn2εa +εn3 6=εa +εn2+XX0<εn3 <εFεn2 >εF2πha | p~ | n3 ii12πha | p~ | n3 ihn2 | p~ | ciiεa − εc + εn2 − εn3× hn3 c | I(0) | n2 aiεa +εc 6=εn3 +εn1X2π2πi i 2 X Xha | p~ | n3 i+M 2πiic ε >0ε >εn3n1F× hc | p~ | n1 ihn3 n1 | I(0) | cai.
(3.3.38)εa + εc − εn3 − εn1В принятых обозначениях, оставляя только вклады с положительноэнергетическими состояниями, получим:∆ENMS = 0,∆ESMS1 X=−M 0<ε <εc+XF0<εc0 <εFX ha | p~ | c0 ihn | p~ | cihc0 c | I(0) | naiεa + εn − εc − εc0ε >εnFn0 6=εa +εc )X X (εn +εXha | p~ | n0 ihc | p~ | ni0<εc <εF εn >0εn0 >εF(3.3.39)εa + εc − εn − εn0hn n | I(0) | cai . (3.3.40)0С учетом симметричного партнера диаграммы 6 это дает формулу (2.1.31).Рассмотрим диаграмму 7.Для функции Грина имеем:— 88 —Рис.
3.8: Диаграмма 7∆gaa1 i 21( )=−(E − εa )2 M 2πZZdω1X ha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 idω2E − ω1 − εn3 + iηn3 0n ,n ,n123hn3 n1 | I(0) | an2 i1ω2 + ω1 − εn1 + iηn1 0 ω2 − εn2 + iηn2 0ZX X ha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 i12πi i 2=−()dω1E − ω1 − εn3 + iηn3 0(E − εa )2 M 2πn1 ,n3 0<εn2 <εFZZX ha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 i1 i 2hn1 n3 | I(0) | n2 ai− ( )dω1 dω2×ω1 + εn2 − εn1 + iηn1 0 M 2πE − ω1 − εn3 + iηn3 0n1 ,n2 ,n3hn1 n3 | I(0) | n2 ai1×(3.3.41)ω2 + ω1 − εn1 + iηn1 0 ω2 − εn2 (1 − i0)×Для сдвига энергии получим:1∆E =Mεa +εn2 6=εn1 +εn3Xε1 ,εn3 >εF−X ε1 ,εn3 <εFXha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 i0<εn2 <εFhn1 n3 | I(0) | n2 aiεa + εn2 − εn1 − εn3ZXX ha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 i2πi i 2−( )dω1M 2πε − ω1 − εn3 + iηn3 00<ε <ε ε ,ε >0 a×n1hn1 n3 | I(0) | n2 ai1×=εn1 − ω1 − εn2 + i0 M× hn2 | p~ | n1 iFn2n3εa +εF 6=εn1 +εn3Xεn1 ,εn3 >εF1hn1 n3 | I(0) | n2 ai+εa + εn2 − εn1 − εn3 MX−εn1 ,εn3 <εFXXha | p~ | n3 i0<εn2 <εFXXha | p~ | n3 i0<εn1 <εF 0<εn3 <εF εn2 >0× hn2 | p~ | n1 ihn1 n3 | I(0) | n2 ai(3.3.42)εa + εn2 − εn1 − εn3— 89 —=1MXXhn2 | p~ | n1 ihn1 n3 | I(0) | n2 aiεa + εn2 − εn1 − εn3 XXha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 iha | p~ | n3 iεn1 ,εn3 >0 0<εn2 <εF1−M εX+n1 >0,0<εn3 <εF0<εn1 <εF ,εn3 >00<εn2 <εFhn1 n3 | I(0) | n2 aiεa + εn2 − εn1 − εn3Xhn1 n3 | I(0) | n2 aiha | p~ | n3 ihn2 | p~ | n1 i.
(3.3.43)ε+ε−ε−εannn213ε >0×+1MX0<εn1 ,εn3 <εFn2В принятых выше обозначениях мы получаем следующие выражения:(7)∆ENMS = 0,(7)∆ESMS(3.3.44)(εn +εn0 6=εa +εc )XX ha | p~ | n0 ihc | p~ | nihnn0 | I(0) | cai1X=M ε >εεa + εc − εn − εn0εn0 >εF0<εc <εFnFXX X ha | p~ | c0 ihn | p~ | ci0+hcc | I(0) | nai .
(3.3.45)0ε+ε−ε−εancc0<ε <ε 0<ε <ε ε >0cFc0FnС учетом вклада симметричной диаграммы это дает формулу (2.1.33).C. Оператор межэлектронного взаимодействия.Оператор межэлектронного взаимодействия I(ω) = e2 αµ αv Dµv (ω) в калибровке Фейнмана имеет вид:X 1αi · αj iωrij iωrijIF (ω) = αe−e,rrijiji>j(3.3.46)а в кулоновской калибровке:iωrij −1X 1αi αj iωrij DD eIC (ω) = α− [hi , [hj , 2]] −e.rωrrijijiji>j(3.3.47)— 90 —В брейтовском приближении, которое преимущественно рассматривается вданной работе, выражения преобретают вид:X 11 Dαi αj D+ [hi , [hj , rij ]] −,IB = IC (0) = αr2rijiji>j(3.3.48)где hi D это одноэлектронный гамильтониан Дирака.Матричный элемент оператора межэлектронного взаимодействия равенXjaJ jchab | I(ω) | cdi =(−1)ja −mja +J−M +jb −mjb −mja M mjcJMjbJjd hab || I(ω) || cdiJ ,×−mjb −M mjd(3.3.49)где hab || I(ω) || cdiJ - приведенный матричный элемент.— 91 —Литература[1] C.
Brandau, C. Kozhuharov, Z. Harman, A. Müller, S. Schippers, Y. S.Kozhedub, D. Bernhardt, S. Böhm, J. Jacobi, E. W. Schmidt, P. H. Mokler,F. Bosch, H.-J. Kluge, Th. Stöhlker, K. Beckert, P. Beller, F. Nolden,M. Steck, A. Gumberidze, R. Reuschl, U. Spillmann, F. J. Currell, I. I.Tupitsyn, V. M. Shabaev, U. D. Jentschura, C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
