Диссертация (1149995), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ýòî òàêæå îçíà÷àåò [42], ÷òî ìû ðàáîòàåì ñ êîìáèíàöèÿìè òîêîâè íàïðÿæåíèé âèäàIinew =XVinew =XRki Ik ,k(1.4)Rki Vk .kÌàòðèöà ïðèâåäåííûõ êîíäàêòàíñîâ â òàêîì áàçèñå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ G = R C RT è èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðóG=(n − 1) × (n − 1) 00!0.(1.5) ïðèñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿ ñòðóêòóðà ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îñòàåòñÿïðåæíåé, íî ýëåìåíòû ñòàíîâÿòñÿ ïåðåìåííûìè. Îñíîâíîé ýôôåêò â ïðåäåëå ïîñòîÿííîãî òîêà ìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ ïåðåíîðìèðîâêè S ìàòðèöû [72], êîòîðàÿ äàåò ïåðåíîðìèðîâàííóþ âåëè÷èíóµir µj ),YijR = 21 Tr(e16(1.6)ãäå âåðõíèé èíäåêñ R ïîêàçûâàåò, ÷òî ìû ðàáîòàåì â áàçèñå µj âìåñòî ρj , à rîçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ ïåðåíîðìèðîâàíà âçàèìîäåéñòâèÿìè. Çäåñü èäàëåå ìû ïîëàãàåì, ÷òî âñå âåëè÷èíû ïåðåíîðìèðîâàíû, è îïóñêàåì ïîñëåäíèéâåðõíèé èíäåêñ.1.2.3Ðåíîðìãðóïïîâûå óðàâíåíèÿÏåðåíîðìèðîâêà êîíäàêòàíñîâ â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿâû÷èñëåíèåì ïîïðàâî÷íûõ ÷ëåíîâ â êàæäîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïîgjk .
 ÷àñòíîñòè, ìû èíòåðåñóåìñÿ âêëàäàìè, çàâèñÿùèìè îò ìàñøòàáà è ïðîïîðöèîíàëüíûìè Λ = ln(L/`), ãäå L è ` - äâå äëèíû, õàðàêòåðèçóþùèå îáëàñòüâçàèìîäåéñòâèÿ â ïðîâîëîêàõ (ñì. óðàâíåíèå (1.1)). Âûøåïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Λ ñîîòâåòñòâóþò ìàëîé òåìïåðàòóðå, T vF /L, à äëÿ áîëåå âûñîêèõòåìïåðàòóð íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàìåíó Λ = ln(`−1 / max[L−1 , T /vF ]).  íèçøåìïîðÿäêå ïî âçàèìîäåéñòâèþ âêëàä â êîíäàêòàíñû, çàâèñÿùèé îò ìàñøòàáà, çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì [43]GjkiX h1ccTr Wjk Wlm gml Λ ,= Gjk g=0 + 2(1.7)l,mcjk = [ρj , ρek ] - íàáîð èç n2 ìàòðèö ðàçìåðà n × nãäå Gjk |g=0 = δjk − Yjk , à Wc ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè), gml - ýëåìåíòû ìàòðèöû g(ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö Wêîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ, è îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ñëåäà îïðåäåëÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâåc.âûøåïðèâåäåííûõ n × n-ìàòðèö WÓìíîæèì Gij íà RT ñëåâà è íà R ñïðàâà äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîìïîíåíò YR ââèäåYjkR=YjkR g=01 X hcR cR i R−Tr Wjk Wlm gml Λ .2(1.8)l,mÝòî ïîïðàâêà ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì âêëàäîì ∼ gΛ â êîíäàêòàíñ.
Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî [72], ÷òî ïîïðàâêè ñòàðøåãî ïîðÿäêà óäîâëåòâîðÿþò ãèïîòåçå ñêåéëèíãàêîíäàêòàíñîâ è ãåíåðèðóþòñÿ íàáîðîì äèôôåðåíöèàëüíûõ ðåíîðìãðóïïîâûõóðàâíåíèé. Äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèå (1.8) ïî Λ (è çàòåì ïîëàãàÿ Λ = 0),íàõîäèì ýòè Ðà óðàâíåíèÿ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî âçàèìîäåéñòâèþ:d R1 X hcR cR i RY =−Tr Wjk Wlm gml ,dΛ jk2l,m17(1.9)Rc · R}jk óìåíüc R = {RT · W= {RT · g · R}ml . ×èñëî íåíóëåâûõ ìàòðèö Wãäå gmljkcR = Wc R = 0. Ìàòðèöûøàåòñÿ äî (n − 1)2 â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, òàê êàê Wjnnjc R ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû.Wjk ñòàðøèõ ïîðÿäêàõ ïî âçàèìîäåéñòâèþ ñóáâåäóùèå âêëàäû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà [72].
Ïåðâûé òèï, êîòîðûé ïîÿâëÿåòñÿ â òðåòüåì ïîðÿäêåïî âçàèìîäåéñòâèþ, îáåñïå÷èâàåò âêëàä â Ðà óðàâíåíèÿ, êîòîðûé íå âëèÿåòíà ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå âáëèçè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ýòèõ óðàâíåíèé. Âòîðîé òèï âêëàäîâ áîëåå âàæåí, îí çàäàåòñÿ ëåñòíè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþäèàãðàìì, íå çàâèñèò îò ñõåìû ðåãóëÿðèçàöèè è îïðåäåëÿåò ñêåéëåíãîâûå ïîêàçàòåëè âáëèçè ÑÒ. Èç-çà îñîáåííîñòåé îäíîìåðíîé ìîäåëè ñ ëèíåéíîé äèñïåðñèåé êàæäàÿ äèàãðàììà â ýòîé ëåñòíè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿôîðìàëüíî îäíîïåòëåâûì âêëàäîì, ïðåäñòàâëÿÿ ñîáîé ñóáâåäóùèå ëèíåéíûå ïîΛ ïîïðàâêè.
Ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ýòîé ëåñòíè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [41, 73](äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû âçàèìîäåéñòâèÿ gij = gi δij ) ïîëó÷àåòñÿ ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ìàòðèöà âçàèìîäåéñòâèÿ ḡ, êîòîðàÿ çàìåíÿåò çàòðàâî÷íóþ g â óðàâíåíèè (1.8)). Êîìïîíåíòû ḡ îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåìḡ = 2(Q − Y)−1 .(1.10)Çäåñü ìàòðèöà Q õàðàêòåðèçóåò ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ è çàâèñèò îò ïàðàìåòðàËàòòèíäæåðà Kj = [(1 − gj )/(1 + gj )]1/2 ñëåäóþùèì îáðàçîìQjk = qj δjk ,qj = (1 + Kj )/(1 − Kj ) .(1.11)Òåïåðü ó íàñ åñòü ôîðìàëèçì ôåðìèîííîé íåïåðòóðáàòèâíîé ðåíîðìãðóïïûäëÿ îïèñàíèÿ ïåðåíîðìèðîâêè êîíäàêòàíñîâ ñòûêîâ ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâàíèòåé.  ñëåäóþùèõ ãëàâàõ áóäåì åãî èñïîëüçîâàòü äëÿ àíàëèçà òðàíñïîðòíûõñâîéñòâ êîíòàêòîâ òèïà Ò è Õ.
Íåáîëüøàÿ ìîäèôèêàöèÿ ôîðìàëèçìà ïîíàäîáèòñÿ â Ãëàâå 3 äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ íåïåðòóðáàòèâíûõ ðåçóëüòàòîâ â ñëó÷àåíåäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû âçàèìîäåéñòâèÿ.18ÃËÀÂÀ 2ÒÓÍÍÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÌÅÆÄÓ ÃÅËÈÊÎÈÄÀËÜÍÛÌÈÊÐÀÅÂÛÌÈ ÑÎÑÒÎßÍÈßÌÈÃåëèêîèäàëüíûìè ñîñòîÿíèÿìè íàçûâàþò òàêèå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ ýëåêòðîíû ñ ðàçíûìè ñïèíàìè äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Òàêîå, íàïðèìåð, ðåàëèçóåòñÿ â òîïîëîãè÷åñêèõ èçîëÿòîðàõ (ÒÈ) â ðåæèìå êâàíòîâîãî ñïèíîâîãî ýôôåêòà Õîëëà [4] èç-çà ñèëüíîãî ñïèí-îðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
Ýòè ñîñòîÿíèÿ âîçíèêàþò íà êðàþ 2D ÒÈ äàæå â îòñóòñòâèè ìàãíèòíîãîïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, îíè èíâàðèàíòû ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññåÿíèå íàçàä â êðàåâûõ ñîñòîÿíèÿõ çàïðåùåíî â îòñóòñòâèè ìàãíèòíûõ ïðèìåñåé.Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ áîëüøîé èíòåðåñ ê ãåëèêîèäàëüíûì êðàåâûì ñîñòîÿíèÿì,â ÷àñòíîñòè, ê òóííåëèðîâàíèþ ìåæäó íèìè.
Òàê, ïðàêòè÷åñêè îäíîâðåìåííî â2009 âûøëî íåñêîëüêî òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîò ïî èçó÷åíèþ óãëîâîãî ñòûêà äâóõÒÈ [6769]. Äðóãîé âîçìîæíîé ðåàëèçàöèåé ñëó÷àÿ òóííåëèðîâàíèÿ ìåæäó ãåëèêîèäàëüíûìè êðàåâûìè ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóæåíèå ÒÈ, òàê ÷òî íà÷èíàåòñÿòóííåëèðîâàíèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó êðàåâûìè ñîñòîÿíèÿìè íà ïðîòèâîïîëîæíûõ áåðåãàõ [70].2.1Óñòðîéñòâî êîíòàêòà ôîðìàëèçìå áåññïèíîâûõ íèòåé, èçëîæåííîì â Ãëàâå 1, òóííåëèðîâàíèåìåæäó ãåëèêîèäàëüíûìè êðàåâûìè ñîñòîÿíèÿìè îïèñûâàåòñÿ êîíòàêòîì ÷åòûðåõ ïîëóíèòåé (ñì. Ðèñóíîê 2.1 (a)).
Áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â òàêèõ ñîñòîÿíèÿõ ñâÿçàíî ñ íàïðàâëåíèåì ñïèíà, in-/outñîñòîÿíèÿ èìåþò ñâÿçü ñî ñïèíîì, ïðèâåäåííóþ â Òàáëèöå 2.1. Êàíàëû 1-2 è3-4 ñîîòâåòñòâóþò êðàåâûì ñîñòîÿíèÿì íà ðàçíûõ áåðåãàõ, èçîáðàæåííûõ íàÐèñóíêå 2.1 (b).19in1 2out4(a)312»4 (b) 3Ðèñ. 2.1: (a) Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ñòûêà òèïà Õ áåññïèíîâûõ íèòåé;(b) Êîíòàêò äâóõ ãåëèêîèäàëüíûõ êðàåâûõ ñîñòîÿíèé, ïîëó÷åííûé èç ñòûêà(a) ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâèÿ â Òàáëèöå 2.1.
ξ óãîë ìåæäó òàêèìè îñÿìè, òîåñòü â îáùåì ñëó÷àå îñè êâàíòîâàíèÿ ñïèíà â ðàçíûõ êðàåâûõ ñîñòîÿíèÿõ ìîãóòîòëè÷àòüñÿ.Òàáëèöà 2.1: Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ãåëèêîèäàëüíûìè êðàåâûìè ñîñòîÿíèÿìè ñïðîåêöèÿìè ñïèíà è ÷åòûðüìÿ áåññïèíîâûìè êàíàëàìè.1234in↑, left ↓, right ↑, right ↓, leftout ↓, left ↑, right ↓, right ↑, left202.1.1Òîêè è êîíäàêòàíñûÊàê áûëî èçëîæåíî ðàííåå â ðàçäåëå 1.2.2 âûáîð îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïðèâîäèò ê óïðîùåíèþ âèäà ìàòðèöû êîíäàêòàíñîâ.Ýòè êîìáèíàöèè óäîáíî âûðàæàòü â òåðìèíàõ ãåíåðàòîðîâ ïîäàëãåáðû Êàðòàíàãðóïïû U (4), òàê êàê îíè áåññëåäîâû.
Ê íèì åùå íåîáõîäèìî äîáàâèòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ñîõðàíåíèåì òîêà â êîíòàêòå. Ýòè ìàòðèöûìîæíî âûáðàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:√µ1 = 1/ 2√µ2 = 1/ 2√µ3 = 1/ 2√µ4 = 1/ 2diag(1, −1, −1, 1),diag(1, 1, −1, −1),(2.1)diag(1, −1, 1, −1),diag(1, 1, 1, 1).Îíè îáëàäàþò ñâîéñòâîì Tr(µj µk ) = 2δjk , j = 1, .
. . , 4. Òîãäà ìàòðèöà R, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò íîâûå è ñòàðûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ Ii =PkPkRik Iknew , Vi =Rik Vknew :1−11−111,R= 2−1 −1 1 11 −1 −1 1111(2.2)à ñàìè íîâûå, óäîáíûå êîìáèíàöèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé:I1new = (I1 − I2 − I3 + I4 )/2 ,V1new = (V1 − V2 − V3 + V4 )/2 ,I2new = (I1 + I2 − I3 − I4 )/2 ,V2new = (V1 + V2 − V3 − V4 )/2 ,(2.3)I3new = (I1 − I2 + I3 − I4 )/2 ,V3new = (V1 − V2 + V3 − V4 )/2 ,XXI4new =Ij /2 , V4new =Vj /2 .jjÝòè êîìáèíàöèè, åñëè ñìîòðåòü íà Ðèñóíîê 2.1, îçíà÷àþò ñëåäóþùåå: I1new ýòîçàðÿäîâûé òîê òåêóùèé íàïðàâî, I2new - òåêóùèé âíèç, à I3new ýòî ñïèíîâûé òîê.21Íàïîìíèì, ÷òî ìàòðèöà êîíäàêòàíñîâ G â ýòîì áàçèñå ñâÿçàíà ñ èñõîäíîéìàòðèöåé êîíäàêòàíñîâ C ñîîòíîøåíèåì G = RT C R è èìååò áëî÷íóþ ñòðóêòóðóG=3×3 00!0(2.4)Áîëåå òîãî, äëÿ íàøåãî ïîñëåäóþùåãî âûáîðà S -ìàòðèöû (2.12) ìàòðèöàêîíäàêòàíñîâ äëÿ íîâûõ êîìáèíàöèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñòàíîâèòñÿ äèàãîíàëüíîé.2.1.2S -ìàòðèöàÂûâåäåì îáùèé âèä S -ìàòðèöû äëÿ êîíòàêòà êðàåâûõ ãåëèêîèäàëüíûõ ñîñòîÿíèé â äóõå ðàáîòû [68].
Ïîìèìî óíèòàðíîñòè, S † S = 1, íåîáõîäèìîé äëÿñîõðàíåíèÿ òîêà â êîíòàêòå, äëÿ êîíòàêòà êðàåâûõ ñîñòîÿíèé ìîæíî ïîòðåáîâàòü èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ âðåìåíè. Îïåðàòîð îáðàùåíèÿ âðåìåíè, äåéñòâóÿ íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ ýëåêòðîíà ñî ñïèíîì s, ìåíÿåòïðîåêöèþ ñïèíà σ , à äëÿ ýëåêòðîíà ñî ñïèíîì −1/2 åùå ìåíÿåò çíàê ïåðåäâîëíîâîé ôóíêöèåé:T ψσ = (−1)s−σ ψ−σ .(2.5)Òîãäà äëÿ âåêòîðà, ñîñòàâëåííîãî èç ôåðìèîííûõ in- ñîñòîÿíèéΨin = (ψ1,in , ψ2,in , ψ3,in , ψ4,in ),(2.6)(àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîð äëÿ out- ñîñòîÿíèé) ìû èìååìT Ψin = EΨout ,T Ψout = −EΨin ,(2.7)ãäå E = diag[1, −1, 1, −1]. Òàê êàê S -ìàòðèöà ñâÿçûâàåò in-/out- ñîñòîÿíèÿΨout (x) = S · Ψin (x) ïðè x → 0, òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåS = −ES T E.Ýòî îçíà÷àåò àíòèñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèöû ES .22(2.8)Èç ñèììåòðèè çàäà÷è ìàòðèöà êîíäàêòàíñîâ íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè íèòåé 1 ↔ 2 è 3 ↔ 4.
Ýòî óñëîâèå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåçêâàäðàòû ìîäóëåé ýëåìåíòîâ S -ìàòðèöû Yij = |Sij |2 êàê(2.9)Y = XY X ,ãäåX = X −10 1 0 01 0 0 0 =0 0 0 1 .(2.10)0 0 1 0Ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò âèä S -ìàòðèöû0tf t0 −r∗S=∗0−f −rr −f ∗ t∗rf ∗,∗t 0(2.11)ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè t, f , r, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ |t|2 + |f |2 + |r|2 = 1. Âèäíî, ÷òî ðàññåÿíèÿ íàçàä â òîò æå êàíàë çàïðåùåíî.Äàëåå, ñ ïîìîùüþ ðåôåéçèíãà S → U 1 SU 2 , êîòîðûé, êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçäåëå??,íå âëèÿåò íà íàø äàëüíåéøèé àíàëèç, ìû ìîæåì ïðèâåñòè S -ìàòðèöóê âèäó0tfriuiu t0re−fe,S=−f reiuiu 0−te r f eiu −teiu0(2.12)òåïåðü ñ âåùåñòâåííûìè âåëè÷èíàìè t, f , r, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ t2 +f 2 + r2 = 1 è ïðîèçâîëüíîé ôàçîé u.
Äëÿ òàêîé S -ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêà íèòåéXSX ìåíÿåò ôàçó u → π − u â (2.12) ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîé ñìåíû ôàçû.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ S -ìàòðèöû âèäà (2.11) âñåãäà âîçìîæíî âûáðàòü òàêîé ÷àñòè÷íûé ðåôåéçèíã, ÷òî ýëåìåíò f áóäåò âåùåñòâåííûì.  ýòîì ñëó÷àå, ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî S -ìàòðèöà ïðèíàäëåæèò ñèìïëåêòè÷åñêîé ãðóïïå Sp(2). Ýòî çàìå÷àíèå áóäåò âàæíî ïðè îáñóæäåíèè ýôôåêòà íåîäíîçíà÷íîñòè â îïðåäåëåíèèðåíîðìãðóïïîâûõ óðàâíåíèé äëÿ ìàòðèöû êîíäàêòàíñîâ â Ãëàâå 4.23 èòîãå, ìû ìîæåì ïàðàìåòðèçîâàòü ìàòðèöó (2.12) ñ ïîìîùüþ äâóõ óãëîât = cos β ,r = cos γ sin βf = sin γ sin β ,(2.13)÷òî ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåé ìàòðèöå êîíäàêòàíñîâ:G ≡ diag(GR , GD , GS )= 12 (1 − YR ) = 12 diag[1 − a, 1 − b, 2 + a + b],(2.14)ãäå a = 2 sin2 β cos2 γ − 1, b = cos 2β . Îáëàñòü äîñòóïíûõ çíà÷åíèé êîíäàêòàíñîâ â ïëîñêîñòè (a, b) ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè (−1, −1), (1, −1),(−1, 1), êàê ïîêàçàíî íà Ðèñóíêå 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
