Диссертация (1149995), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ðèñóíîê 4.1).4.1.1Òîêè è êîíäàêòàíñûÊàê ìû ïîìíèì èç ïðåäûäóùèõ ãëàâ, âûáîð îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïðèâîäèò ê óïðîùåíèþ âèäà ìàòðèöû êîíäàêòàíñîâ. Ïîäõîäÿùåå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ìàòðèöû êîíäàêòàíñîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþãåíåðàòîðîâ ïîäàëãåáðû Êàðòàíà â U (4), êîòîðûìè ÿâëÿþòñÿ òðè áåññëåäîâûåäèàãîíàëüíûå ìàòðèöû è åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïîëîæèìµ1 = diag(1, −1, 0, 0), µ2 = diag(0, 0, 1, −1),√√µ3 = 1/ 2 diag(1, 1, −1, −1), µ4 = 1/ 2 diag(1, 1, 1, 1).(4.1)ïðè ýòîì Tr(µj µk ) = 2δjk , j = 1, . . .
, 4. Òîãäà íîâûå êîìáèíàöèè âûðàæàþòñÿ÷åðåç (4 × 4)-ìàòðèöó R, êîòîðàÿ èìååò âèä√1 2− √1 2R= 0000√12√− 121212− 21− 1212121212(4.2)è îáëàäàåò ñâîéñòâàìè R−1 = RT , det R = 1. Òàêèì îáðàçîì, ìû ðàáîòà-√ Påì ñ êîìáèíàöèÿìè òîêîâ è íàïðÿæåíèé âèäà Ii = 1/ 2√ P1/ 2 k Rik Vknew :I1new = (I1 − I2 )/2 ,kRik Iknew , Vi =V1new = (V1 − V2 )/2 ,I2new = (I3 − I4 )/2 ,I3newV3newI4newV2new = (V3 − V4 )/2 ,√= (I1 + I2 − I3 − I4 )/ 8 ,√= (V1 + V2 − V3 − V4 )/ 8 ,XX√√=Ij / 8 , V4new =Vj / 8 ,jj57(4.3)INOUTSÐèñ.
4.1: Ñëåâà ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí ÷åòûðåõïðîâîëî÷íûé êîíòàêò êâàíòîâûõ ïðîâîëîê, ñïðàâà òî÷å÷íûé êîíòàêò äâóõ ïðîâîëîê, êîòîðûé èëëþñòðèðóåò äèñêðåòíûå ñèììåòðèè S -ìàòðèöû (4.5).58Íàïîìíèì, ÷òî ìàòðèöà êîíäàêòàíñîâ â òàêîì áàçèñå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ G = R C RT è èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ñòðóêòóðóG=3×3 00!0(4.4),ãäå ëåâûé âåðõíèé áëîê èìååò ðàçìåð 3×3.  ïðèñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿñòðóêòóðà ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îñòàåòñÿ ïðåæíåé, íî ýëåìåíòû ñòàíîâÿòñÿïåðåìåííûìè.4.1.2S -ìàòðèöàÏàðàìåòðèçóåì S -ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ òðåõ óãëîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì:r1 t1 f2 f2 t1 r1 f2 f2 S= f f r t , 1 1 2 2 f 1 f 1 t 2 r2(4.5)ãäå11r1 = (e−iα1 + cos β), t1 = (−e−iα1 + cos β),2211(4.6)r2 = (e−iα2 + cos β), t2 = (−e−iα2 + cos β),22if1 = f2 = sin β.2Ïàðàìåòðèçàöèÿ (4.5) îïèñûâàåò ïðîïóñêàíèå è îòðàæåíèå â êàæäîé ïðîâîëîêå(ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðîâ α1 , α2 ) è ïåðåñêîê ìåæäó ïðîâîëêàìè (ïàðàìåòð β ).Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî β ∈ [0, π/2], α1,2 ∈ [−π, π]. îòëè÷èå îò S -ìàòðèöû èç Ãëàâû 2 âûáðàííàÿ S -ìàòðèöà (4.5) îáëàäàåòñâîéñòâîì ñèìïëåêòè÷íîñòè òîëüêî â ÷àñòíîì ñëó÷àå α1 = −α2 .
Íàïîìíèì,÷òî çíà÷åíèÿ êîíäàêòàíñîâ ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèèôàçû, ò. å. óìíîæåíèÿ S -ìàòðèöû ñ îáåèõ ñòîðîí íà óíèòàðíûå ìàòðèöû âèäàdiag(eiγ1 , eiγ2 , eiγ3 , eiγ4 ).594.2ßâëåíèå íåîïðåäåëåííîñòè Ðà ïîòîêàÑíà÷àëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ îäèíàêîâû äëÿ îáåèõ ïðîâîëîê, g = diag(g, g, g, g). Âû÷èñëåíèå ìàòðèöû ïðèâåäåííûõ êîíäàêòàíñîâ (1.6) äàåòYR = cos β cos α100cos β cos α2000a 0 0 1≡0 0 a2 0 2cos β0 0 b(4.7)Ìàòðè÷íàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ Ðà (1.9) òåïåðü çàïèñûâàåòñÿ êàê íàáîð ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé Ðà äëÿ êîìïîíåíò ìàòðèöû YR â òåðìèíàõ íà÷àëüíûõ ïåðåìåííûõ:dY11R= g 14 sin2 β (cos α1 (2 cos β + cos α2 ) − 3)dΛ+1 − cos2 α1 cos2 β − 14 sin2 β sin α1 sin α2 ,(4.8)dY22RdY11R =,dΛdΛ α1 ↔α2dY33R= g sin2 β cos β 21 (cos α1 + cos α2 ) + cos β .dΛÅñòåñòâåííîå æåëàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû çàïèñàòü ýòè óðàâíåíèÿ ïîëíîñòüþ â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ, êàê ýòî áûëî óñïåøíî ñäåëàíî â íàøèõ ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ [40, 41, 75] äëÿ ñëó÷àÿ ñòûêà äâóõ è òðåõ ïîëóíèòåé.
Âïåðâûåýòî íå óäàëîñü ñäåëàòü â ðàáîòå [7], àíàëèç èç êîòîðîé ïðèâåäåí äàëüøå.Ñóùåñòâóþò òðè íåçàâèñèìûå êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïðèâåäåííûõ êîíäàêòàíñîâ, êîòîðûå îáîçíà÷åíû êàê a1 , a2 è b â ôîðìóëå (4.7). Ïîïûòêà çàïèñàòüïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèé Ðà (4.8) â òåðìèíàõ a1 , a2 , b íàòàëêèâàåòñÿ íà ïðîáëåìóíåîïðåäåëåííîñòè â ÷ëåíå ∝ sin α1 sin α2 . Çíàê ýòîãî ÷ëåíà çàâèñèò îò äèàïàçîíà óãëîâ: åñëè è α1 è α2 ïðèíàäëåæàò ëèáî èíòåðâàëó (0, π), ëèáî èíòåðâàëó(−π, 0) , òî sin α1 sin α2 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé, íî åñëè α1 è α2ïðèíàäëåæàò ðàçíûì èíòåðâàëàì (0, π) è (−π, 0), òî îáñóæäàåìûé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì.
Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ êîíäàêòàíñîâ a1 è a2 íå çàâèñÿò îòçàìåíû çíàêà α1 → −α1 è α2 → −α2 ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî èçìåíåíèå çíàêà ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñíîìó ñîïðÿæåíèþ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû S (4.5),à èìåííî ri → ri∗ è ti → t∗i , ÷òî íå ìîæåò áûòü ñêîìïåíñèðîâàíî ñ ïîìîùüþ60îïåðàöèé èçìåíåíèå ôàçû. Âîçíèêàåò âîïðîñ, ÷òî îçíà÷àåò âíóòðåííÿÿ äèñêðåòíàÿ ñèììåòðèÿ, ïðîÿâëÿþùàÿñÿ íà óðîâíå óðàâíåíèé ÐÃ? ×òîáû îòâåòèòüíà ýòîò âîïðîñ, ðàññìîòðèì äâå íåñâÿçàííûå (β = 0) æèäêîñòè Ëàòòèíäæåðà ñ ïðèìåñÿìè. Ñòàíäàðòíûå âû÷èñëåíèÿ [40] ïîêàçûâàþò, ÷òî (ïî êðàéíåéìåðå â íèçøåì áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè) ôàçà αj ðàâíà Ubs /vF , ãäå Ubs àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ íàçàä îò ïðèìåñè â j -é ïðîâîëîêå. Çíàê àìïëèòóäû Ubs íåèìååò çíà÷åíèÿ, òàê êàê òîëüêî åå êâàäðàò |Ubs |2 îïðåäåëÿåò êîíäàêòàíñ [33].Åñëè äîïóñòèòü ïåðåñêîê ìåæäó ïðîâîëîêàìè, òî íà÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àÿìè: êîãäà ïîòåíöèàëû ðàññåÿíèÿ â îáåèõ ïðîâîëîêàõèìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, ò.
å. â îáîèõ èìååòñÿ ëèáî ãîðá, ëèáî âïàäèíà, èëèêîãäà ïîòåíöèàëû ðàññåÿíèÿ â ïðîâîëîêàõ èìåþò ðàçíûå çíàêè, ò. å. ïðèñóòñòâóþò ãîðá â îäíîé íèòè è âïàäèíà â äðóãîé. Äðóãîå îáúÿñíåíèå ïðîáëåìûçíàêà â óðàâíåíèè (4.8) ñâÿçàíî ñ ñèììåòðèåé ãàìèëüòîíèàíà (1.1) òèïà ÷àñòèöàäûðêà. Íà óðîâíå íåñâÿçàííûõ ïðîâîëîê çíàê âåëè÷èíû Ubs (âåëè÷èíû αj )†ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê äûðî÷íîìó îïèñàíèþ, Ψin → Ψin è ò. ä. Òîãäà ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî ïðîáëåìà çíàêà âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî âîçìîæíî ïðîèçâåñòèïðåîáðàçîâàíèå òèïà ÷àñòèöàäûðêà â îäíîé ïðîâîëî÷êå.Âèäíî, ÷òî óðàâíåíèÿ Ðà íåëüçÿ îïðåäåëèòü â òåðìèíàõ òîëüêî êîíäàêòàíñîâ.
 îáùåì ñëó÷àå ìû èìååì äâà ðàçíûõ ïîòîêà Ðà äëÿ êîíäàêòàíñîâ,è âûáîð ìåæäó íèìè äîëæåí áûòü ñäåëàí íà îñíîâå íà÷àëüíûõ ôàç α1 è α1S -ìàòðèöû. Äàëüíåéøèé àíàëèç óðàâíåíèé Ðà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà íåîïðåäåëåííîñòü íå âëèÿåò íà ïîëîæåíèå CÒ. Ó íàñ åñòü ÷åòûðå CÒ, çàäàþùèåñÿ óñëîâèÿìè a1 = ±1, a2 = ±1 è b = 1, ÷òî îòâå÷àåò α1,2 = 0 èëè α1,2 = π , è β = 0 âòåðìèíàõ óãëîâ. Ýòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò ïðîñòûì ñëó÷àÿì äâóõîòäåëüíûõ ïðîâîëîê ñ àáñîëþòíûì ïðîïóñêàíèåì èëè îòðàæåíèåì â êàæäîé èçíèõ.
Ïÿòàÿ CÒ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè a1 = a2 = b = 0 è îáñóæäàåòñÿ íèæå.Äëÿ âûÿñíåíèÿ õàðàêòåðà ðàçëè÷íûõ CÒ îáîáùèì íàøå ðàññìîòðåíèå èðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ â äâóõ ïðîâîëîêàõ:g = diag(g1 , g1 , g2 , g2 ).(4.9)Ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèé Ðà òîëüêî â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ ÿâëÿåòñÿ ãðî-61ìîçäêèì, è ìû ïåðåïèñûâàåì èõ â òåðìèíàõ óãëîâ [72]:dα11=−g1 (1 + 3 cos2 β) sin α1 − g2 sin2 β sin α2dΛ4 cos βdα2 dα1 (4.10),=dΛdΛ α1 ↔α2 ,g1 ↔g2dβ1= − sin β (g1 cos α1 + g2 cos α2 + (g1 + g2 ) cos β)dΛ4Òàêàÿ æå íåîïðåäåëåííîñòü óðàâíåíèé Ðà â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ, ÷òî è âûøå, çàìåòíà âíîâü â (4.10).
Ìîæíî ïðîèçâåñòè çàìåíó, íàïðèìåð α2 → −α2 , íåìåíÿÿ êîíäàêòàíñû, íî èçìåíÿÿ ïîòîêè ÐÃ.Êàê è ïðåæäå, ìû íàáëþäàåì ÷åòûðå óíèâåðñàëüíûå CÒ, îòâå÷àþùèå α1,2 =0 èëè α1,2 = π è β = 0 (ò. å. a1,2 = ±1 è b = 1). Òîëüêî îäíà èç ýòèõ ÷åòûðåõòî÷åê ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé è îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âçàèìîäåéñòâèÿ â îòäåëüíîéïðîâîëîêå. Ñîãëàñíî îáû÷íûì ïðåäñòàâëåíèÿì [33, 37] èìååì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî äëÿ óñòîé÷èâûõ CÒ: aj = sign gj . Êðîìå òîãî, ìû íàõîäèì ïÿòóþ íåóíèâåðñàëüíóþ CÒ, êîòîðàÿ íèêîãäà íå áûâàåò óñòîé÷èâîé, è óðàâíåíèÿ, çàäàþùèå åå ïîëîæåíèå, ïðèíèìàþò êîìïàêòíóþ ôîðìó â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ:a1 = −a2 =g2 − g1,g1 + g2b = a21 .(4.11)Ýòà CÒ íàõîäèòñÿ â ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïðè |a1 | < 1, òî åñòü ïðè g1 g2 > 0.Ïðîèëëþñòðèðóåì íàøè ðåçóëüòàòû Ðèñóíêîì 4.2, ãäå ïîêàçàíà ñîâîêóïíîñòü ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé êîíäàêòàíñîâ (a1 , a2 , b) è âîçìîæíûõ òðàåêòîðèéÐÃ, èñõîäÿùèõ èç îäíîé è òîé æå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå êîíäàêòàíñîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé g1 , g2 .
Âèäíî, ÷òî óñòîé÷èâàÿ CÒ çàâèñèò îò êâàäðàíòà ïëîñêîñòè (g1 , g2 ), ÷òî ïîäîáíî ñëó÷àþ Ò-îáðàçíîãî êîíòàêòà [43]. Êðîìå òîãî âèäíî,÷òî ñóùåñòâóþò äâà âîçìîæíûõ ïîòîêà ÐÃ, âåäóùèõ ê òîé æå óñòîé÷èâîé CÒ(áîëåå òåìíàÿ òðàåêòîðèÿ Ðà íà ðèñóíêå ñîîòâåòñòâóåò çíàêó ïëþñ â íåîïðåäåëåííîñòè, à áîëåå ñâåòëàÿ çíàêó ìèíóñ). Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî íà ñêåéëèíãîâûå ïîêàçàòåëè âáëèçè CÒ íå âëèÿåò îáñóæäàâøàÿñÿ íàìè íåîïðåäåëåííîñòü âçíàêå. Äâà âîçìîæíûõ ïîòîêà Ðà ïðèâîäÿò òîëüêî ê ðàçëè÷íûì ïðåôàêòîðàì âñêåéëèíãîâîé çàâèñèìîñòè êîíäàêòàíñîâ. Íàïðèìåð, äëÿ îòòàëêèâàþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ â îáåèõ ïðîâîëîêàõ g1 , g2 > 0, åñëè ïîòîê Ðà íà÷èíàåòñÿ âáëèçèCÒ, äëÿ êîòîðîé |α1 |, |α2 |, β 1 , ìû èìååì2 −2g1,2 Λ1 − a1,2 ∼ β 2 e−(g1 +g2 )Λ + α1,2e,621 − b ∼ 2β 2 e−(g1 +g2 )Λ(4.12)a) g1 = −0.4, g2 = 0.2b) g1 = 0.37, g2 = 0.12c) g1 = −0.4, g2 = −0.1d) g1 = 0.21, g2 = −0.28Ðèñ.
4.2: ÑÒ è òðàåêòîðèè Ðà â ïðîñòðàíñòâå êîíäàêòàíñîâ. Äâå âîçìîæíûåòðàåêòîðèè âåäóò ê ïðèòÿãèâàþùåé ÑÒ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêàìè âçàèìîäåéñòâèÿ â ïðîâîëîêàõ. Âèäíî, ÷òî ïîòîêè Ðà êîíäàêòàíñîâ ÿâëÿþòñÿ íåìîíîòîííûìè ôóíêöèÿìè ïåðåìåííîé ìàñøòàáèðîâàíèÿ. Ïÿòàÿ íåóíèâåðñàëüíàÿÑÒ ïîÿâëÿåòñÿ ïðè g1 g2 > 0, è åå ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (4.11).Äâå âîçìîæíûå òðàåêòîðèè ÐÃ, íà÷èíàþùèåñÿ äàëåêî îò îêðåñòíîñòè òàêîé CÒ,îêàí÷èâàþòñÿ â ðàçíûõ òî÷êàõ αj , β â (4.12), íî ñêåéëèíãîâûé çàêîí îñòàåòñÿòàêèì æå.634.3ÂûâîäûÌû èçó÷èëè êîíòàêò ìåæäó ÷åòûðüìÿ ïîëóáåñêîíå÷íûìè ïðîâîëîêàìè ñîâçàèìîäåéñòâèåì òèïà áåññïèíîâîé æèäêîñòè Ëàòòèíäæåðà ñ ïîìîùüþ ôåðìèîííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â ôîðìàëèçìå ñîñòîÿíèé ðàññåÿíèÿ.
Âçàèìîäåéñòâèåâ ïðîâîëîêàõ ïðèâîäèò ê ïåðåíîðìèðîâêå êîíäàêòàíñîâ ñèñòåìû, çàïèñàííîéâ òåðìèíàõ àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ýëåìåíòîâ S -ìàòðèöû. Óðàâíåíèå Ðà äëÿêîíäàêòàíñîâ îáû÷íî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïîëíîñòüþ â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ, ÷òî áûëî ÿâíî ïðîâåðåíî äëÿ îáîáùåííûõ äâóõ- è òðåõïðîâîëî÷íûõêîíòàêòîâ. Îäíàêî, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, â ñëó÷àå ÷åòûðåõïðîâîëî÷íîãîêîíòàêòà óðàâíåíèÿ Ðà îáëàäàþò íåîïðåäåëåííîñòüþ â çíàêå, êîòîðóþ íåëüçÿ ðàçðåøèòü â òåðìèíàõ êîíäàêòàíñîâ.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòàíåîïðåäåëåííîñòü ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì, âíóòðåííå ïðèñóùèì ãðóïïå U (4), è ïðîÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ñèëüíî â âûáîðå çíàêà, êîòîðûé îïðåäåëÿåò ëåâóþ è ïðàâóþèçîêëèíûå ïîäãðóïïû SO(4) ⊂ U (4). Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòü ìîæíî ïðîñëåäèòü âïëîòü äî ñèììåòðèè îïèñàííîãî íàìè ãàìèëüòîíèàíàòèïà ÷àñòèöàäûðêà. Ýòî ïðèâîäèò ê äâóì âîçìîæíûì íåìîíîòîííûì çàâèñèìîñòÿì ïåðåíîðìèðîâàííûõ êîíäàêòàíñîâ êàê ôóíêöèé ñêåéëèíãîâîé ïåðåìåííîé.Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû â ïðèâåäåííîì íàìè àíàëèçå èñïîëüçîâàëñÿ ïîäõîä,ñâÿçàííûé ñ áîçîíèçàöèåé, òî ìû íå íàáëþäàëè áû îáñóæäàåìóþ íåîïðåäåëåííîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
