Диссертация (1149979), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Дробную функцию в подынтегральном выражении втретьем соотношении (А.1) запишем следующим образом:143t 2 (1  tz) 2 (1  z ) t (1  zt )   (1  zt )  z 2 .ttВычислим интегралы:e tzJ 0 (rt )t (1  zt )dt 3z 305   e  tz J 0 (rt )(1  zt )dt  0z 2  e  tz J 0 (rt )dt  z0 (1  z )  e  tz J 0 (rt )20,z2(1 ),22,dt  2 (1  z ) R0 (r , z ).t(A.10)Сложим равенства (А.10), в результате найдем z (r , z )  3Pz 325P  1 222 3 z    z   ( z  1) R0 (r , z ) 2  P  3z 3 z 2   2 (1  z )(1  R (r , z ))  .0 23   2А2. Основные свойства интегрального преобразованияХанкеля, функций Бесселя и СтрувеВ главах 2-4 при решении и аналитических и численных исследованияхзадач для упругого полупространства использованы приведенные в этомпараграфе формулы, характеризующие свойства специальных функций иинтегрального преобразования Ханкеля.144ИнтегральноепреобразованиеХанкеляпорядкаmсвязываетдействительную функцию f(r) (оригинал) с трансформантой ̅ () формулой[47,77]:f ( s )   m  f (r ); s    f (r ) J m ( sr )rdr ,0где 0  r   , J m (sr ) – функция Бесселя m – го порядка.Для функций f (r ) , удовлетворяющих условиям Дирихле (функцияимеет конечное число разрывов, максимумов и минимумов) в любомоткрытом промежутке 0  r  R , справедлива формула обращения Ханкеляf (r )   f ( s) J m ( sr ) sds0в точках непрерывности функции f (r ) ; в точках разрыва формула имеет вид f ( s) J0m( sr ) sds 1 f (r  0)  f (r  0).2Укажем основные свойства преобразований Ханкеля.

Имеют месторавенства [47] m  f (ar ); s  s m  f (r );  ,aa21s1 m 1 f (r )   m 1 f (r ) , m  f (r ) r 2m m  f ( r ) s(m  1) m 1 f (r )  (r  1) m 1 f (r ),2m1m2 m  f '' (r )  f ' (r ) f (r )   s 2  m  f (r ) .rr2(A.11)145Формулы (A.11) использованы в диссертационной работе при решениисмешанной задачи для полупространства с помощью интегральногопреобразования Ханкеля.ФункцииБесселя[1,21]относятсякклассуспециальныхцилиндрических функций S  Z m (z) , которые являются решениями линейногодифференциального уравненияd 2Sdz 21 dS  m 2  1S 0,z dz z 2 где z – комплексная переменная, m – действительное число.Частными видами цилиндрических функций Z m (z ) являются функцииБесселя J m (z ) (цилиндрические функции первого рода), функции НейманаYm (z )(цилиндрические функции второго рода) и функции ХанкеляH m1 ( z ), H m2 ( z ) (цилиндрические функции третьего рода).Укажем основные свойства функций Бесселя:‫٭‬ЦилиндрическиефункцииZ m (z )удовлетворяютрекуррентнымсоотношениямZ m1 ( z ) Z m 1 ( z ) 2mZ m ( z )  Z m1 ( z ) ,zmdd mZ m ( z)  Z m ( z)   z mz Z m ( z) .zdzdz(A.12)‫٭‬Функции Бесселя порядка m имеют вид:(1) kz zZ m ( z)      2  k  0 k!(m  k  1)  2 m2k, | arg z |  ,(A.13)146где  (n) – гамма-функция.‫٭‬Интегральное представление функций J m (z ) при m  0,1,2,...

даетсяформулой БесселяJ m ( z) 1 cos( mt  z sin t )dt .(A.14)0‫٭‬При целых значениях m имеет место равенствоJ  m ( z )   1m J m ( z ) .(A.15)‫٭‬Асимптотические разложения функций Бесселя при z   имеют вид:J m ( z) 2 m  m  Am ( z ) cos z    Bm ( z ) sin  z   ,z 2424 гдеAm ( z )  1 (A.16)4m 2  14m 2  9  4m 2  14m 2  94m 2  254m 2  49  ...Bm ( z )  1 2!8 z 24!8 z 44m 2  1  4m 2  14m 2  94m 2  25  ...8z3!8 z 3(A.17)Из формул (A.16), (A.17) следует, что для | z | m , когда z  J m ( z) ‫٭‬Нули функций Бесселя.2m  cos z  .z24(A.18)147Функция J m (z ) имеет бесконечное число действительных нулей; приm  1 все её нули действительны.

Функции J m (z ) и J m n (z ) не имеют общихкорней при m  0,1 / 2,1,3 / 2,2,... и n  1,2,...При построении решения интегрального уравнения (3.2) использованыразложения функций Струве в степенные ряды в форме [1]:(1) k x k  0  ( k  3 ) ( k  m  3 )  2 22 m ( x)  2k  m 1.(A.19)А3. Программы для расчета нормального напряжения σz на упругозакрепленной границе полупространства при действииравномерно распределенной нагрузкиДля исследования всех компонент вектора перемещений и тензоранапряжений в упругом полупространстве и на его границе были составленыпрограммы на языках MAPLE-6 и MAPLE-10. Как известно, программныйпакет MAPLE ориентирован на сложные математические и символическиевычисления, в частности, на вычисление определенных интегралов испециальных функций.

Учитывая большой объем составленных программ, вэтом параграфе приведем программу только для расчета напряжения σzвслучае, когда в круговой области на границе полупространства приложенанагрузка постоянной интенсивности.148ПРОГРАММА А3Численное решение интегрального уравнения (2.45)> plot(Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+.2), t = 0 ..

20), r = 0.5e-1 .. .95, title = "ßäðî1", color =black, style = [line]);> plot(Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20), r = 0.5e-1 .. .95, title = "ßäðî2", color =black, style = [line]);> plot(Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1.8), t = 0 .. 20), r = 0.5e-1 .. .95, title = "ßäðî3", color =black, style = [line]);> plot({Int(.6*t*BesselJ(0, .6*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20), Int(.6*t*BesselJ(0, .6*t)*BesselJ(0,r*t)/(t+.2), t = 0 .. 20), Int(.6*t*BesselJ(0, .6*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1.8), t = 0 .. 20)}, r = 0.5e-1 .. .95, title ="ßäðî(0.6)", color = [black, red, green], style = [line]);> plot({Int(.9*t*BesselJ(0, .9*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20), Int(.9*t*BesselJ(0, .9*t)*BesselJ(0,r*t)/(t+.2), t = 0 ..

20), Int(.9*t*BesselJ(0, .9*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1.8), t = 0 .. 20)}, r = 0.5e-1 .. .95, title ="ßäðî(0.9)", color = [black, red, green], style = [line]);> plot({Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20), Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0,r*t)/(t+.2), t = 0 .. 20), Int(.3*t*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1.8), t = 0 .. 20)}, r = 0.5e-1 .. .95, title ="ßäðî(0.3)", color = [black, red, green], style = [line]);> plot({Int(-.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20)+(2/Pi*(.3/r))*EllipticK(.3/r), Int(.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 ..

20)+2*(1*1)*EllipticK(r/(.3))/Pi}, r = 0.5e-1 .. .28, title ="ßäðî2", color = [black, green], style = [line]);> plot({Int(-.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20)+(2/Pi*(.3/r))*EllipticK(.3/r), Int(.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20)+2*(1*1)*EllipticK(r/(.3))/Pi}, r = .32 .. .95, title ="ßäðî2", color = [black, green], style = [line]);> plot({Int(-.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 ..

20)+(2/Pi*(.3/r))*EllipticK(.3/r), Int(.3*BesselJ(0, .3*t)*BesselJ(0, r*t)/(t+1), t = 0 .. 20)+2*(1*1)*EllipticK(r/(.3))/Pi}, r = 0.5e-1 .. .95, title ="ßäðî2", color = [black, green], style = [line]);> restart;> x := .2;> r := .1;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 .. infinity);> P := evalf(%);> B(0) := 1;> B(1) := 1-x*B(0)*P;> B(2) := 1-x*B(1)*P;> B(3) := 1-x*B(2)*P;> B(4) := 1-x*B(3)*P;> B(5) := 1-x*B(4)*P;> B(6) := 1-x*B(5)*P;> B(7) := 1-x*B(6)*P;> restart;> x := .2;> r := .2;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 .. infinity);> P := evalf(%);> B(0) := 1;> B(1) := 1-x*B(0)*P;> B(2) := 1-x*B(1)*P;> B(3) := 1-x*B(2)*P;149(продолжение А3)> B(4) := 1-x*B(3)*P;> B(5) := 1-x*B(4)*P;> B(6) := 1-x*B(5)*P;> B(7) := 1-x*B(6)*P;> restart;> x := .2;> r := .3;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 ..

infinity);> P := evalf(%);> B(0) := 1;> B(1) := 1-x*B(0)*P;> B(2) := 1-x*B(1)*P;> B(3) := 1-x*B(2)*P;> B(4) := 1-x*B(3)*P;> B(5) := 1-x*B(4)*P;> B(6) := 1-x*B(5)*P;> B(7) := 1-x*B(6)*P;> restart;> x := .2;> r := .4;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 .. infinity);> P := evalf(%);> B(0) := 1;> B(1) := 1-x*B(0)*P;> B(2) := 1-x*B(1)*P;> B(3) := 1-x*B(2)*P;> B(4) := 1-x*B(3)*P;> B(5) := 1-x*B(4)*P;> B(6) := 1-x*B(5)*P;> B(7) := 1-x*B(6)*P;> restart;> x := .2;> r := .5;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 .. infinity);> P := evalf(%);> B(0) := 1;> B(1) := 1-x*B(0)*P;> B(2) := 1-x*B(1)*P;> B(3) := 1-x*B(2)*P;> B(4) := 1-x*B(3)*P;> B(5) := 1-x*B(4)*P;> B(6) := 1-x*B(5)*P;> B(7) := 1-x*B(6)*P;> restart;> x := .2;> r := .6;> int(BesselJ(0, r*t)*BesselJ(1, t)/(t+x), t = 0 ..

Характеристики

Список файлов диссертации