Диссертация (1149948), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Áëàãîäàðÿ ýòîìó,ìîäåëü ñîñòàâíîé ñòðóíû ïîçâîëÿåò ââåñòè êâàðêîâûå êâàíòîâûå ÷èñëàåñòåñòâåííûì ïóòåì.  äîïîëíåíèå ìû ïîëó÷àåì ïðèâëåêàòåëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ ôàêòîðà ×àíà-Ïàòîíà â òåðìèíàõ äâóìåðíûõ ïîëåé.Òàêæå â (2.4)-(1.47) áûëè èñïîëüçîâàíû âûðàæåíèÿ:pi,i+1 = ki+1 − ki ,ζi,i+1 = ξi − ξi+1 .(1.51)Çäåñü ξ - íåêîòîðàÿ óíèâåðñàëüíàÿ ìàòðèöà êâàðêîâûõ ôëåéâîðîâ. Òàêèìîáðàçîì, ìû äàåì ñîîòíîøåíèå ìåæäó èìïóëüñîì (çàðÿäîì), òåêóùèì âáàçîâîé ïîâåðõíîñòè, è èìïóëüñàìè (çàðÿäàìè), òåêóùèìè â îêàéìëÿþùåéïîâåðõíîñòè.Êàê óïîìèíàëîñü ðàíåå, äëÿ ïîëîæèòåëüíîñòè íîðì ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñóïåðòîêîâûå óñëîâèÿ.
À èìåííî, íåîáõîäèìà êîììóòàöèÿ âåðøèíû ñ ñóïåðòîêàìè, êîòîðûå ñîñòîÿò èç êîìïîíåíò:(ki Yi ,ki fi ). Òàêèå óñëîâèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì íà èìïóëüñû2ki2 = ki+1= 0, ki ki+1 = 0. Ýòè óñëîâèÿ ïðèâîäÿò ê áåçìàññîâîñòè π -ìåçîíàm2π = 0.Çíà÷åíèå ïàðàìåòðîâ ξi îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà êîíôîðìíîãî ñïèíà âåðøèíû åäèíèöå. Äëÿ ýòîãî êîíôîðìíûé ñïèí Ŵi,i+1 äîëæåíáûòü ðàâåí 1/2. Ïîñêîëüêó ýòîò îïåðàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèåíîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûõ ýêñïîíåíò îò ïîëåé íà áàçîâîé è îêàéìëÿþùèõïîâåðõíîñòÿõ, òî åãî êîíôîðìíûé ñïèí:222p2i,i+1 ξi2 ξi+1ζi,i+11 ki2 ki+1=+++ ++2222222(1.52)2Åñëè ó÷åñòü óñëîâèÿ íà èìïóëüñû ki2 = ki+1= 0, ki ki+1 = 0 è ξi = ξi+1 , òî34ïîëó÷èì: ξi2 =121.3.2. Âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäûÐàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé: ÷åòûðåõ÷àñòè÷íóþ àìïëèòóäó âçàèìîäåéñòâèÿ. Åå ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç âåðøèííûå îïåðàòîðû Vi (1) è ïðîïàãàòîðûâ âèäå:1L0 −1A4 = hΨ1 |V2 (1)1V3 (1)|Ψ4 i.L0 − 1(1.53)Ïðåäñòàâèì ïðîïàãàòîð â âèäå:1=L0 − 1Z01dy L0 −1y.y(1.54)Òîãäà àìïëèòóäà (1.53) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:ZA4 =01dy 1hΨ1 |V2 (1)y L0 −1 V3 (1)|Ψ4 i.y Φ(1.55)Ïåðåíåñÿ y L0 −1 íàëåâî ÷åðåç âåðøèíó V2 (1) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî hΨ|L0 = Ψ èy −(L0 −1) V2 (1)y L0 −1 = V2 (y), ïîëó÷àåì:Z 1dyA4 =hΨ1 |V2 (y)V3 (1)|Ψ4 i.0 y(1.56)Äëÿ ñëó÷àÿ N "õâîñòîâ" âûðàæåíèå (1.57) ïðèíèìàåò âèä:Z1AN =0dy2 ...dyN −2hΨ1 |V2 (y2 ...yN −2 )V3 (y3 ...yN −2 )...VN −1 (1)|ΨN i.
(1.57)y2 ...yN −2Ïåðåîáîçíà÷èì àðãóìåíòû âåðøèííûõ îïåðàòîðîâ: y2 ...yN −2 → z2 , y3 ...yN −2→ z3 è òàê äàëåå. Ïðè÷åì 0 6 z2 6 z3 .... 6 zN −2 6 1 = zN −1 . Òåïåðüàìïëèòóäó çàïèøåì â âèäå:ZAN =01dzN −2 dz2 D(y2 ...yN −2 )...hΨ1 |V2 (z2 )V3 (z3 )...VN −1 (zN −1 )|ΨN i, (1.58)zN −2z2 D(z2 ...zN −2 )35ãäåD(y2 ...yN −2 )D(z2 ...zN −2 )- ÿêîáèàí,hΨ1 | = lim hz1 →0V1 (z1 ),z1|ΨN i = lim zN VN (zN )|oi.zN →∞(1.59)Òàêèì îáðàçîì, çäåñü áûëà ïîêàçàíà ñâÿçü àìïëèòóä, çàïèñàííûõ â òåðìèíàõ Vi (1) è Vi (zi ).1.3.3. Àìïëèòóäà π + π → π + πÈòàê, ìû èìååì âåðøèíó èñïóñêàíèÿ π -ìåçîíà, êîòîðàÿ ñîâïàäàåòñ ïðîñòåéøåé âåðøèíîé (1.43).
Íàëàãàåì óñëîâèå íà çàðÿäû ñêàëÿðíûõ2ïîëåé îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé: ξi2 = ξi+1= 1/2 äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòüêîíôîðìíûé ñïèí âåðøèíû ðàâíûì åäèíèöå.Èñïîëüçóÿ âåðøèííûå îïåðàòîðû (1.43) ñ Γ = γ5~τ , ìîæíî íàïèñàòüäðåâåñíóþ àìïëèòóäó Aππ ïðîöåññà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åòûðåõ ïèîíîâ π +π → π + π â âèäå ñëåäóþùåãî èíòåãðàëà:Z 1Y1Aππ =dzi h0|Vπ1 (z1 )Vπ2 (z2 )Vπ3 (z3 )Vπ4 (z4 )|0i,Φ0i(1.60)ãäå Φ - èíâàðèàíòíûé îáúåì (1.14). Çà ñ÷åò êîíôîðìíîé ñèììåòðèè ìîæíîóñòðåìèòü z1 → 0 z3 → 1 z4 → ∞ è ïåðåéòè ê âûðàæåíèþ äëÿ àìïëèòóäû:ZAππ =1dz hΨπ1 |Vπ2 (1)z L0 −2 Vπ3 (1)|Ψπ4 i.(1.61)0Ïîäñòàâëÿåì â ýòî âûðàæåíèå âåðøèíû (1.44) è ïåðåíîñèì âñå îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ èç (2.4)-(1.47) íàëåâî, à îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ íàïðàâî,36èñïîëüçóÿ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ:[anµ , a−mν ] = −nδnm gµν , {brµ , a−sν } = −δnm gµν ,{θr , θ−s } = +δnm ,[In , I−m ] = +nδnm ,[Ynµ , Y−mν ] = −nδnm gµν , {frµ , f−sν } = −δnm gµν ,{Φr , Φ−s } = +δnm ,[Jn , J−m ] = +nδnm ,(1.62)è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îïðåäåëåíèÿ (1.51), ïðèõîäèì ê ôîðìå:ZAππ = −g T r(Γ12 Γ23 Γ34 Γ41 )21dz z −1 z 2 (−p13 +ξ1 +ξ3 −k1 −k3 +ζ13 ) ×12222220×(1 − z)−p23 p34 +ζ23 ζ34 +k32 −ξ32 −1(−p23 p34 + ζ23 ζ34 + k32 − ξ32 ).(1.63)Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî z , ïîëó÷àåì ýòó àìïëèòóäó â âèäå ôóíêöèè:A4 = −g− α0t − 21 t)Γ(1 − α0s − 12 s)T r(Γ12 Γ23 Γ34 Γ41 )Γ(1 − α0t − 12 t − α0s − 21 s))2 Γ(1(1.64)ãäå t = p213 , s = p234 - ýíåðãåòè÷åñêèå ïåðåìåííûå Ìàíäåëüøòàìà.
Äàëåå22ó÷èòûâàåì óñëîâèÿ ki2 = ki+1= 0, ξi2 = ξi+1= 1/2. Äëÿ ñëó÷àÿ π -ìåçîíàèìååì ξi = ξi+1 , òàê êàê îáå êâàðêîâûå ïîâåðõíîñòè èìåþò îäèíàêîâûåñâîéñòâà, è ïîëó÷àåì: ζ13 = ζ23 = ζ34 = ξ3 − ξ4 = 0. Äàëåå ó÷èòûâàåì, ÷òîp223 = p234 = m2π = 0, è ïîëó÷àåì çíà÷åíèÿ èíòåðñåïòîâ òðàåêòîðèé Ðåäæåα0t = α0s = 12 .  èòîãå èìååì:AππΓ(1 − αtρ )Γ(1 − αsρ )= −g T r(Γ12 Γ23 Γ34 Γ41 )Γ(1 − αtρ − αsρ )2ρãäå òðàåêòîðèè Ðåäæå αt =12+t2è αsρ =12(1.65)+ 2s .Òåïåðü ðàññìîòðèì ïàðöèàëüíîå ðàçëîæåíèå äëÿ (1.65), ÷òîáû ïðîâåðèòü îòñóòñòâèå ñîñòîÿíèé ñ îòðèöàòåëüíîé íîðìîé â ñïåêòðå ñîñòàâíîéñóïåðêîíôîðìíîé ñòðóííîé ìîäåëè.
Ýòó ïðîâåðêó ëåãêî îñóùåñòâèòü äëÿâòîðîãî äî÷åðíåãî ñêàëÿðíîãî ñîñòîÿíèÿ J = 0, ñ òîé æå ìàññîé, ÷òî è37âåäóùåå ñîñòîÿíèå ñî ñïèíîì J = 2 íà âåäóùåé òðàåêòîðèè. Ïàðöèàëüíîåρðàçëîæåíèå äëÿ αt = 2 èìååò ñëåäóþùóþ ôîðìó:A4 = g 2r2 P2 (z) + r1 P1 (z) + r0 P0 (z),m22 − t(1.66)ãäå Pi (z) - ýòî ïîëèíîìû Ëåæàíäðà.
Íåîáõîäèìî, ÷òîáû êîýôôèöèåíò r0áûë íåîòðèöàòåëüíûì. Åñëè îí îêàæåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî â ñïåêòðå ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé åñòü äóõè - ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàρòåëüíîé íîðìîé. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà αt → 2, äëÿ (1.64) ïîëó÷àåì:Γ(1 − αtρ )Γ(1 − αsρ )Γ(2 − αtρ )Γ(1 − αsρ )−=−→ ρΓ(1 − αtρ − αsρ )(1 − αtρ )Γ(1 − αtρ − αsρ ) αt →2Γ(1 − αsρ )1(αsρ )(1 + αsρ )ρ→αt →2=.(2 − αtρ ) Γ(−1 − αsρ )(2 − αtρ )Çíàÿ, ÷òî αsρ =12+s2(1.67)è s = 12 t(−z − 1), â ÷èñëèòåëå (1.67) ïîëó÷àåì:3 11111− tz + x + t2 z 2 + t2 + t2 z.4 2216168(1.68)Êîýôôèöèåíò r0 äëÿ P0 (z):3 x x21r0 = + += (x + 3)2 ,4 2 12 12x = −t.(1.69)Õîðîøî âèäíî, ÷òî r0 íåîòðèöàòåëüíî äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ x.ρÒåïåðü ðàññìîòðèì ýòî âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî α0 .
Òîãäà (1.69)ïðèíèìàåò âèä:r0 =α0ρ (α0ρ12α0ρ + 1x + x2 ,+ 1) +412x = 4m2π − t.(1.70)Óñëîâèå Àäëåðà-Âàéíáåðãà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî àìïëèòóäà îáðàùàåòñÿâ íîëü, åñëè ÷åòûðåõìåðíûé èìïóëüñ îäíîãî èç π -ìåçîíîâ îáðàùàåòñÿ âíîëü. [16] Ýòî óñëîâèå äëÿ àìïëèòóäû Aππ (1.65) [16]. Îíî ñîîòâåòñòâóåòçàíóëåíèþ àðãóìåíòà ãàììà-ôóíêöèè â çíàìåíàòåëå (1.65):1 − 2α0ρ − 2α0 m2π = 1 − 2α0ρ + 2α0π = 0,(1.71)38÷òî ïðèâîäèò ê1α0π = α0ρ − .2(1.72)ρÏîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé αt → 2, òî èìååì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:α0ρ +t= 2.2(1.73)Èñïîëüçóÿ (1.72), (1.73) è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî αtπ = −m2π2+ 2t , ïîëó-ρ÷àåì x = −6α0 .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòîò ðåçóëüòàò íà (1.70), ïîëó÷àåì:1r0 = α0ρ (α0ρ − ).2(1.74)Òàêèì îáðàçîì, îñòàâëÿÿ óñëîâèå Àäëåðà-Âàéíáåðãà âûïîëíåíûì, äëÿ íåîòρρðèöàòåëüíîé íîðìû, èìååì α0 > 21 .  ñîîòâåòñòâèè ñ (1.72), åñëè α0 > 12 ,òî α0π > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, m2π < 0.
×òîáû èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ òàõèîíà,ρíóæíî ïðèíÿòü α0 = 12 .Ïðîâåäåííîå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî â êëàññå ìîäåëåé, â êîòîρðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Àäëåðà-Âàéíáåðãà, çíà÷åíèÿ α0 =12è m2π = 0ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííî äîïóñòèìûìè. Çíà÷åíèå èíòåðñåïòà âåäóùåé ìåçîíρíîé òðàåêòîðèè α0 =12ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.1.3.4. Ìåçîííàÿ âåðøèíà äëÿ u, d è s êâàðêîâûõ ôëåéâîðîâ.Âåðøèíà èñïóñêàíèÿ K -ìåçîíà äîëæíà ñîäåðæàòü äîïîëíèòåëüíûåïîâåðõíîñòè ðàçíûõ ñîðòîâ. Îäíó - òàêóþ æå, êàê â âåðøèíå èñïóñêàíèÿπ -ìåçîíà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ëåãêèì êâàðêàì u è d ñ óñëîâèåì ki2 = 0.
Âòîðóþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ s êâàðêó. Åñëè ìû õîòèì ïîëó÷èòü ìàññó K -ìåçîíà39îòëè÷íóþ îò íóëÿ m2K 6= 0, òî äëÿ s-ïîâåðõíîñòè íåîáõîäèìî ââåñòè óñëîâèå ks2 6= 0. Òîãäà íåò âîçìîæíîñòè ñôîðìóëèðîâàòü âåðøèíó èñïóñêàíèÿK -ìåçîíà â òàêîé æå ôîðìå Íåâå-Øâàðöà, êàê äëÿ èñïóñêàíèÿ π -ìåçîíà,áåç ïîòåðè ñóïåðòîêîâûõ óñëîâèé. À òàêàÿ ïîòåðÿ ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþîòðèöàòåëüíûõ íîðì â ñïåêòðå ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿK -ìåçîííîãî èñïóñêàíèÿ íóæíî ïîñòðîèòü äðóãóþ âîçìîæíóþ ôîðìó: âåðøèíó òèïà Áàðäàê÷è-Õàëïåðíà, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæèòåëüíîé gs ÷åòíîñòè.Ïîñòðîèì êîððåêòíóþ ôîðìó äëÿ âåðøèíû V̂i,i+1 â ñëó÷àå K -ìåçîííîãî èñïóñêàíèÿ c ìàòðèöàìè Γ = γ5 [17]:V̂i,i+1 (zi ) =zi−L0noGr , W̃i,i+1 ziL0 ,W̃i,i+1 = F̂ Ŵi,i+1 ,inŴi,i+1 = R̂iout R̂N S R̂i+1,(1.75)inãäå R̂iout , R̂i+1, R̂N S îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (2.4), (2.5), (1.47) ñîîòâåòñòâåí-íî. Çäåñü ìû èìååì i-óþ îêàéìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü äëÿ îáû÷íûõ êâàðêîâûõ ôëåéâîðîâ (u, d) ñ ki2 = 0, ki ki+1 = 0, ξi2 =12è (i+1)-óþ îêàéìëÿþùóþïîâåðõíîñòü äëÿ s êâàðêà.
Êîíôîðìíûé ñïèí âåðøèííîãî îïåðàòîðà V̂i,i+1äîëæåí áûòü ðàâåí åäèíèöå. Êîíôîðìíûé ñïèí îïåðàòîðà F̂ ðàâåí12â ñî-îòâåòñòâèè ñ ôîðìîé Áàðäàê÷è - Õàëïåðíà. Äâóìåðíûå ïîëÿ â óíèòàðíîìïðåäñòàâëåíèè äîëæíû èìåòü êîíôîðìíûé ñïèí j ðàâíûé 0, 12 , 1 [11]. Òàêèì îáðàçîì, ìû òðåáóåì, ÷òîáû îïåðàòîð Ŵi,i+1 èìåë êîíôîðìíûé ñïèíðàâíûé íóëþ. Îïåðàòîð F̂ äîëæåí ñîñòîÿòü èç ïîëåé ñ êîíôîðìíûì ñïèíîì ðàâíûì îäíîé âòîðîé. Ýòè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïàðòíåðàìè ïîëÿì íàîñíîâíîé è îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ñòðóêòóðà îïåðàòîðà F̂ áóäåò îá-40ñóæäàòüñÿ íèæå.Ñóùåñòâóåò äâà îðòîãîíàëüíûõ ñâåòîïîäîáíûõ ñóïåðòîêîâûõ óñëîâèÿ: ñòàðîå ki f (i) , ki Y (i) äëÿ ïîâåðõíîñòè , îïèñûâàþùåé u, d êâàðêè èèìåþùåé óñëîâèå ki2 = 0 è íîâîå äëÿ ïîâåðõíîñòè, îïèñûâàþùåé s-êâàðê èèìåþùåé óñëîâèå ks2 6= 0:f˜s = ki+1 (f (i+1) + H) + ξi Φ(i) − ξi+1 Φ(i+1) − (ξi+1 − ξi )Θ,Ỹs = −ki+1 (Y(i+1)+ ∂X) + ξi J(i)− ξi+1 J(i+1)(1.76)− (ξi+1 − ξi )I.Òðåáóåì óñëîâèå ñâåòîïîäîáíîñòè:22−ki+1+ ξi2 + ξi+1− ξi ξi+1 = 0(1.77)è ki2 = 0, äëÿ òîãî, ÷òîáû êîíôîðìíûé ñïèí îïåðàòîðà V̂i,i+1 áûë ðàâåí åäèíèöå (çäåñü ìû ïðèíèìàåì âî âíèìàíèå, ÷òî êîíôîðìíûé ñïèí îïåðàòîðàF̂ ðàâåí 21 ), è, ÷òîáû ïåðâîå è âòîðîå ñóïåðòîêîâûå óñëîâèÿ áûëè îäíîâðåìåííî ñâåòîïîäîáíûìè.
Íîâûé âåðøèííûé îïåðàòîð (1.75) óäîâëåòâîðÿåòýòèì ñóïåòîêîâûì óñëîâèÿì.Òåïåðü îáñóäèì ñòðóêòóðó îïåðàòîðà F̂ . Îí äîëæåí óäîâëåòâîðÿòüíàáîðó óñëîâèé. Âî-ïåðâûõ, îí äîëæåí áûòü îðòîãîíàëåí êîìáèíàöèè ïîëåé, ñîñòàâëÿþùèõ ýêñïîíåíòó âåðøèíû Ŵi,i+1 , äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòüáåñêîíå÷íîñòè, êîòîðàÿ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ïîñëå íîðìàëüíîãî óïîðÿäî÷åíèÿâåðøèííîãî îïåðàòîðà V̂i,i+1 . Âî-âòîðûõ, îïåðàòîð F̂ äîëæåí óäîâëåòâîðÿòüîáîèì ñóïåðòîêîâûì óñëîâèÿì.  íàøåì ñëó÷àå ýòè äâà òðåáîâàíèÿ ñîâïàäàþò. Ñóùåñòâóåò òðè âîçìîæíûõ íåçàâèñèìûõ ôîðìû òàêîãî îïåðàòîðà.Îäíàêî òîëüêî îäíà èç íèõ íå ïðèâîäèò ê òàõèîíó äëÿ K ∗ -òðàåêòîðèè Ðåäæå. Òàêèì îáðàçîì, èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:F̂ = ξi+1 (ki+1 f i+1 ) − m2K Φi+1 .(1.78)41Èíòåðåñíî, ÷òî ks2 èìååò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, ïðèâîäÿùåå ê ìàññåK -ìåçîíà mK ≈ 475 ÌýÂ. Îäíàêî, ìû âûíóæäåíû óâåëè÷èòü çíà÷åíèå ks2 ,÷òîáû èçáåæàòü òàõèîíà íà òðàåêòîðèè ϕ-ìåçîíà. Êàê áóäåò âèäíî íèæå,ìèíèìàëüíîå ïîäõîäÿùåå çíà÷åíèå èìïóëüñîâ:1ks2 = ,212ξi+1≡ ξs2 = .2(1.79)Ýòî ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ ìàññû K -ìåçîíà m2K = 21 m2ρ è, ñëåäîâàòåëüíî, êmK ≈ 550 ÌýÂ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
