Диссертация (1149948), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Àìïëèòóäó, ñîîòâåòñòâóþùóþ N -ñòðóííîéâåðøèíå (ñì. Ðèñ. 1.1), ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê èíòåãðàë ïî ïåðåìåííûì ziîò âàêóóìíîãî îæèäàíèÿ âåðøèííîãî îïåðàòîðà VN è âîëíîâûõ ôóíêöèéñòðóííûõ ñîñòîÿíèé Ψ̂(i) |0(i) i:AN =Z YYdzi F (z1 , ...zN )h0|VNiYΨ̂(i) |0(i) i ,(1.10)iãäå Ψ̂(i) |0(i) i ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé i-îãî ñòðóííîãî ñîñòîÿíèÿ,F (z1 , ...zN ) - âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ôàçîâûé îáúåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî zi è ñîãëàñóåòñÿ ñ êðîññèíã è Ìåáèóñ ñèììåòðèåé.Âåðøèííûé N -ñòðóííûé îïåðàòîð VN äëÿ ìîäåëè Íåâå-Øâàðöà çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé ýêñïîíåíòîé: X (i)(k)1αnαpNS(i)(k)√ (U )nm (Vε )mp √ +VN = exp2 n,m,p n εpi6=k1 X (i)(i)(k)(k)+bn+1/2 (U1/2 )nm (V1/2 )mp bp+1/2 ,2 n,m,p(1.11)i6=k(i)(i)ãäå (Uj )nm , (Vj )mp ñïåöèàëüíàÿ áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ zi−1 , zi , zi+1 .
Îíè ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûì ïðåîáðàçîâàíèÿì Ìåáèóñà z 0 =az+bcz+d ;jad − bc = 1. Äëÿ Dnm=(i)(Uj )nm ïðåîáðàçîâàíèå Ìåáèóñà ïåðåâîäèò zi−1 â 0, zi â ∞, è zi+1 â 1. Äëÿ(i)jDnm= (Vj )nm ïðåîáðàçîâàíèå Ìåáèóñà ïåðåâîäèò ∞ â zi−1 , 0 â zi , è 1 âzi+1 .18Ðèñ. 1.1. Àìïëèòóäà äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ N ñòðóí íà z ïëîñêîñòè.Áåñêîíå÷íîìåðíûå ìàòðèöû Dnm äëÿ êîíôîðìíîãî ñïèíà j ÿâëÿþòñÿ n-íûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà ïî z îò ðàçëîæåíèÿ m-òîéñòåïåíè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåáèóñà:az + bcz + dn|cz + d|−2j cjn =XsjDnmz m cjm ,cjn =mΓ(n + 2j).Γ(n + 1)(1.12)Âåðøèíû VNN S (1.11) îáëàäàþò öèêëè÷åñêîé ñèììåòðèåé è èíâàðèàíòíîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ìåáèóñà íàä zi , è èìåþò ñâîéñòâàäóàëüíîñòè, òî åñòü ðàâåíñòâî ñóìì ïî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèÿì â ñëó÷àå ôàêòîðèçàöèè ïî ïðÿìîìó è ïî ïåðåêðåñòíîìó êàíàëàì.Äëÿ òîãî, ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê îïèñàíèþ àìïëèòóäû Âåíåöèàíî â òåðìèíàõ âåðøèí èñïóñêàíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (1.1) îò ìíîãîñòðóííîé âåðøèíû, íóæíî â ôîðìå (1.11) îñòàâèòü òîëüêî íóëåâûå êîìïîíåíòû n = 0(i)(i)îïåðàòîðîâ αn , êîòîðûå ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè èìïóëüñîâ α0= pi .Òîãäà âûðàæåíèå (1.11) ñóùåñòâåííî óïðîñòèòñÿ è ñâåäåòñÿ ê àìïëèòóäåÂåíåöèàíî â ôîðìå Êîáà-Íèëüñåíà:Z YN1dzi |zi − zj |−pi pj ,AN =Φ1(1.13)ãäå zi òî÷êè íà âåùåñòâåííîé îñè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, îòâå÷àþùèå èñïóñêàíèþ îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé, pi - èìïóëüñû ýòèõ ñîñòîÿíèé, Φ - Ìåáèóñ-19èíâàðèàíòíûé ôàçîâûé îáúåì:Φ=dz1 dzN −1 dzN.|z1 − zN −1 | |zN −1 − zn | |z1 − zN |(1.14)1.2.2.
Íîâûé êëàññ N-ðåäæåîííûõ âåðøèí è ìîäåëü ñîñòàâíîéñòðóíû.Óäîâëåòâîðåíèå óñëîâèÿì êðîññèíãà, äóàëüíîñòè, Ìåáèóñ - èíâàðèàíòíîñòè è ôàêòîðèçàöèè äëÿN-ðåäæåîííûõ âåðøèí äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åòñâîéñòâ îïåðàòîðà VN , êàê ýêñïîíåíòû îò áåñêîíå÷íîìåðíûõ ìàòðèö(i)(i)(Uj )nm è (Vj )nm . Òàêàÿ ôîðìà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïîñëå ôàêòîðèçàöèèïðîèçâåäåíèå ýêñïîíåíò îò òåõ æå áåñêîíå÷íîìåðíûõ ìàòðèö. Ýòî äåëàåò âîçìîæíûì ïîèñê íîâûõ ôîðì âåðøèííûõ(i)N-ðåäæåîííûõ îïåðàòîðîâ,(i)ñîäåðæàùèõ ìàòðèöû (Uj )nm è (Vj )nm .
Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì áóäóòîáëàäàòü ñëåäîïîäîáíûå îïåðàòîðû WN , òàê êàê îíè ïðè ôàêòîðèçàöèèðàçáèâàþòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå òàêèõ æå ñëåäîïîäîáíûõ îïåðàòîðîâ.Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïðåäëîæèòü öèêëè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõáåñêîíå÷íîìåðíûõ ìàòðèö è ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò äâóìåðíûõ ïîëåéâ êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ äëÿ ñòàðûõ ìóëüòèñòðóííûõ âåðøèí (1.11). Íîâàÿêîíñòðóêöèÿ ñîõðàíÿåò ñâîéñòâà ôàêòîðèçàöèè, êðîññèíãà, äóàëüíîñòè èÌåáèóñ-èíâàðèàíòíîñòè ïðåäûäóùèõ âåðøèííûõ îïåðàòîðîâ è ïðèâîäèò êíîâîìó êëàññó äóàëüíûõ (ñòðóííûõ) ìîäåëåé.Ýòî îáîáùåíèå êëàññè÷åñêèõ ìóëüòèðåäæåîííûõ (ìóëüòèñòðóííûõ)âåðøèí áûëî ïðåäëîæåíî Â.À. Êóäðÿâöåâûì â 1993 ãîäó [10].Ñòðóííûå àìïëèòóäû, ïîñòðîåííûå èç âåðøèííûõ îïåðàòîðîâ íîâîãî òèïà, áûëè èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ áîëüøîãî ÷èñëà π -ìåçîíîâ [10].
Íîâûå ñòðóííûå âåðøèíû äàþò íîâóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ20êàðòèíó äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñòðóí êàê ñîñòàâíûõ îáúåêòîâ. Îòêðûòàÿ ñâîáîäíàÿ ñòðóíà òåïåðü èìååò òðè äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè âìåñòî îäíîé, êàêýòî áûëî â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ ñòðóí.
Ñì.(1.2).a)á)Ðèñ. 1.2. Òîïîëîãè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìóëüòèñòðóííîé âåðøèíû à) â òåðìèíàõ êëàññè÷åñêîé ñòðóíû, á) â òåðìèíàõ ñîñòàâíîé ñòðóíû.Òåïåðü çàïèøåì ýòîò öèêëè÷åñêèé îïåðàòîð WN â îáùåì âèäå:WN =Xe 1 |0(2) i ×h0(1) |Ψn+ 1 (U 1 )nm (V 1 )mk Ψk+(1)2n,m,k×X≡X(2)22(2)2(2)(3)222(3)2(N ) (1) e (1) (3)h0(N ) |Ψ(N ) U 1 V 1 Ψ|0 i ≡2NY(2)e 1 |0(3) i . . . ×h0(2) |Ψl+ 1 (U 1 )lp (V 1 )ps Ψs+l,p,s×(1)X2(i)(i)(i+1)22h0(i) |Ψn+ 1 (U 1 )nm (V 12i=1 n,m,pe 1 |0(i+1) i,)mp Ψp+(i+1)2(1.15)e - ðîæäàþùèé îïåðàòîð, Ψ - óíè÷òîæàþùèé.
WN ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åãäå Ψñêè ñèììåòðè÷íûì ñëåäîïîäîáíûì îïåðàòîðîì, ïîñòðîåííûì ïîñðåäñòâîìÔóðüå êîìïîíåíò äâóìåðíûõ àíòèêîììóòèðóþùèõ ïîëåé Ψ(i) (z). Ýòè íîâûå ïîëÿ ïîäîáíû ïîëÿì Íåâå-Øâàðöà H (i) è èìåþò êîíôîðìíûé ñïèíj = 21 .Ψ(i)α (zi )=XrΨ(i)rα zi .(1.16)21Îáîáùåííûé N -ñòðóííûé âåðøèííûé îïåðàòîð äëÿ ñîñòàâíûõ ñòðóí ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñòàðîãî îïåðàòîðà VNN S (1.11) è íîâîãî îïåðàòîðà WN(1.15):VNcomp = VNN S WN .(1.17)Îïåðàòîðû VNN S è WN èìåþò ðàçëè÷íóþ ñòðóêòóðó. Ìàòðèöû U (i) è V (j) â(i)VNN S ñâÿçûâàþò âñå âîçìîæíûå ïîëÿ X (i) (αn ) äðóã ñ äðóãîì, òî åñòü ïîëÿèç ïðîèçâîëüíûõ ñòðóííûõ "õâîñòîâ".
 îïåðàòîðå WN ìàòðèöû U (i) , V (j)ñâÿçûâàþò òîëüêî ñîñåäíèå ïîëÿ Ψ(i) è Ψ(i+1) , òî åñòü ñîñåäíèå ñòðóííûå"õâîñòû" (ñì. Ðèñ. 1.3). Ïîýòîìó îïåðàòîð VNN S WN âåäåò íàñ ê òîïîëîãèèâçàèìîäåéñòâèÿ ñîñòàâíûõ îáúåêòîâ, òî åñòü ñîñòàâíûõ ñòðóí. ËèíåéíàÿÐèñ. 1.3. a) Âîçìîæíûå ñâÿçè ïîëåé â VNN S . b) Âîçìîæíûå ñâÿçè ïîëåé âWN .ðåàëèçàöèÿ ñóïåðêîíôîðìíîé ñèììåòðèè òðåáóåò èñïîëüçîâàòü äðóãèå, íåæåëè (1.15) îïåðàòîðû. Òåïåðü â öèêëè÷åñêîì îïåðàòîðå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî ïîëÿ ñ êîíôîðìíûì ñïèíîì j = 12 , íî è ïîëÿ ñ êîíôîðìíûì ñïèíîì j = 1. Îáîçíà÷èì èõ f (i) è Y (i) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà22èìååì: X (1)(2)YnYp(1)(1)(2)√ (Uε )nm (Vε )mp √ +WN = ψ̃ exppnn,m,pX (1)(1)(2)(2)+fn+1/2 (U1/2 )nm (V1/2 )mp fp+1/2 ψ (2) × .
. .n,m,p X (N )(1)YnYp(N )(N )(1)√ (Uε )nm (Vε )mp √ +×ψ̃ exppnn,m,pX (N )(1)(1)(N )+fn+1/2 (U1/2 )nm (V1/2 )mp fp+1/2 ψ (1) .(1.18)n,m,p×òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: X (i)(i+1)YnYp(i)(i+1)√ (Uε )nm (VεWN =Ψ̃ exp)mp √ +pnn,m,pi=1X (i)(i)(i+1)(i+1)+fn+1/2 (U1/2 )nm (V1/2 )mp fp+1/2 ψ (i+1) .NY(i)(1.19)n,m,pÏðè ðàññìîòðåíèè ñîñòàâíîé ñòðóííîé ìîäåëè ìû äîëæíû èñïîëüçîâàòücompîïåðàòîð VN= VNN S WN ñ WN òèïà (1.19).Ìû èìååì çäåñü ñèììåòðè÷íîå îïèñàíèå äâóìåðíûõ ïîëåé îäèíàêîâûõ òèïîâ íà îñíîâíîé ïîâåðõíîñòè (∂X , H ) è íà îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ (Y , f ). Ýòî îáåñïå÷èâàåò íåêîòîðóþ äîïîëíèòåëüíóþ ñèììåòðèþàìïëèòóä ñîñòàâíîé ñòðóíû.1.2.3.
Ïåðåõîä ê âåðøèíàì èñïóñêàíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿÄëÿ áîëåå äåòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ñïåêòðà ñîñòàâíûõñòðóí è ñèììåòðèé ýòîãî ñïåêòðà, áîëåå óìåñòíî ïåðåéòè îò ìóëüòèñòðóííûõ âåðøèí ê ïðîñòûì âåðøèíàì V̂i , ñîîòâåòñòâóþùèì èñïóñêàíèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Àìïëèòóäà âçàèìîäåéñòâèÿ N îñíîâíûõ ñòðóííûõ ñîñòîÿíèé AN ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê èíòåãðàë îò âàêóóìíîãî ñðåäíåãî ïðîèçâåäåíèÿ23Ðèñ.
1.4. N -ñòðóííàÿ àìïëèòóäà èñïóñêàíèÿ N − 2 îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé.âåðøèí V̂i : (Ðèñ.1.4).AN =Z Ydzi h0|V̂1 (z1 )V̂2 (z2 )V̂3 (z3 )...V̂N −1 (zN −1 )V̂N (zN )|0iV̂i (zi ) = zi−L0 V̂i (1)ziL0 .(1.20)(1.21)Âåðøèíû V̂i èìåþò õîðîøî èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Íåâå-Øâàðöà:V̂i (zi ) = zi−L0 [Gr , : exp ipi X(1) :] ziL0 ,: exp (ipi X(1)) : = exp (ipi X (+) (1)) exp (ipi X0 ) exp (ipi X (−) (1)),(1.22)ãäå ñóïåðêîíôîðìíûé ãåíåðàòîð Âèðàñîðî èìååò âèä:SGNr1=2πZ2πdτdH µ Xµ + P̂ν H ν e−irτ .dτ(1.23)0À V̂i (1) èç (1.22) èìååò âèä:V̂i (1) = (pi H(1)) : exp (ipi X(1)) :≡X≡(pi br ) exp (ipi X (+) (1)) exp (ipi X0 ) exp (ipi X (−) (1)) ≡rX anXX a−n) exp (ipi X0 ) exp (pi).≡(pi br ) exp (−pinnnrn√Çäåñü an è αn èç (1.6) ñâÿçàíû âûðàæåíèåì an = nαn .(1.24)Åñëè ìû ïåðåõîäèì ê îïåðàòîðíûì âåðøèíàì ñîñòàâíûõ ñòðóí â ýòîéôîðìóëèðîâêå âåðøèí èñïóñêàíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, òî ìû äîëæíû24ïðèíÿòü âî âíèìàíèå äâóìåðíûå ïîëÿ íà îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ.
Çäåñüåñòü äâå âîçìîæíîñòè äëÿ âåðøèí, ïðèâîäÿùèõ ê àìïëèòóäàì, ýêâèâàëåíòíûì àìïëèòóäàì ìóëüòèñòðóííîãî ïîäõîäà.Âåðøèííûé îïåðàòîð ñîñòàâíîé ñóïåðêîíôîðìíîé ñòðóíû ñîäåðæèòäîïîëíèòåëüíûå (ê îáû÷íûì ïîëÿì ∂Xµ è Hµ íà îñíîâíîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè) ïîëÿ íà îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ: Yµ è åãî ñóïåðïàðòíåð fµñ Ëîðåíöåâûìè èíäåêñàìè µ = 0, 1, 2, 3. Ìû òàêæå âêëþ÷àåì ñêàëÿðíûåïîëÿ (ñîîòâåòñòâóþùèå âíóòðåííèì êâàíòîâûì ÷èñëàì) J è åãî ñóïåðïàðòíåðà Φ íà îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ è ñõîæèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ I è θ íàîñíîâíîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè (ñì.
Ðèñ. 1.5). Ïîñêîëüêó, îêàéìëÿþùèåÐèñ. 1.5. Òîïîëîãèÿ íîâîé âåðøèíû è ðàñïîëîæåíèå ïîëåé íà ïîâåðõíîñòÿõ.ïîëÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òîëüêî íà ñâîèõ îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòÿõ ìåæäó ñîñåäíèìè âåðøèíàìè, íóæíî ìàðêèðîâàòü ýòè ïîëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñíîìåðàìè ýòèõ îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé.  ìíîãîñòðóííûõ âåðøèíàõñóùåñòâóåò ñõîæàÿ íóìåðàöèÿ ñòðóí (1.17). Äëÿ âåðøèíû èñïóñêàíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (Ðèñ. 1.5) âåðøèííûé îïåðàòîð V̂i,i+1 áóäåò ñîäåðæàòüïîëÿ i-îé è (i + 1)-îé îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé. Äëÿ ïðèìåðà äàâàéòåðàññìîòðèì ñëó÷àé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿ Ψi íà i-òîé îêàéìëÿþùåé ïî-25âåðõíîñòè (âìåñòî íàáîðà ïîëåé).
Òîãäà àìïëèòóäà âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåò:AN =Z Ydzi h0|V̂1 (z1 )V̂2 (z2 ) . . . V̂N −1 (zN −1 )V̂N (zN )|0i,V̂i (zi ) = zi−L0 Vi (1)ziL0 ,V̂i (1) = g(Ψ̃i (1)|0(i) iΓi h0(i+1) |Ψi+1 (1)eiki X(1) ).(1.25)Ìû ìîæåì äàòü äðóãóþ ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó âåðøèííîìó îïåðàòîðó V̂i (1) â (1.25) áåç íîìåðîâ äëÿ ïîëåé Ψ.
Äëÿ îäíîãî íàáîðà ïîëåé Ψèìååì ñëåäóþùóþ ôîðìó:V̂i (1) = g(Ψ̃(1)Γ(i) |0Ψ i h0Ψ |Ψ(1)eiki X(1) ),V̂1 (1) = Ψ̃(1)Γ(1) Ψ(1)eik1 X(1) ,(1.26)V̂N (1) = Ψ̃(1)Γ(N ) Ψ(1)eikN X(1) .Îïåðàòîð |0Ψ i h0Ψ | ïîçâîëÿåò ïîëÿì Ψ ðàñïðîñòðàíÿòñÿ òîëüêî ìåæäó ñîñåäíèìè âåðøèíàìè. Áëàãîäàðÿ ýòèì îïåðàòîðàì ôîðìà (1.26) èñêëþ÷àåòìîäåëü ñîñòàâíîé ñòðóíû èç íàáîðà àääèòèâíûõ ñòðóííûõ ìîäåëåé [11]. Ýòàêîíñòðóêöèÿ âåäåò ê òîïîëîãèè ñîñòàâíîé ñòðóííîé ìîäåëè (Ðèñ.
1.2,á).Äëÿ îáñóæäåíèÿ ñïåêòðà ñîñòîÿíèé â äàííîì ñå÷åíèè óäîáíî èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó àìïëèòóäû AN . Ìû ðàçìåùàåì âàêóóìíûå ñîñòîÿíèÿ äðóãèì ïóòåì: âíå âåðøèííîãî îïåðàòîðà.  ýòîì ñëó÷àåíóæíî ñîõðàíèòü íîìåðà îêàéìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿñðåäíèõ âåðøèí èìååì:V̂i,i+1 (zi ) −→ |0(i−1) i V̂i,i+1 (zi )h0(i+2) |.(1.27)Ýòî áóäåò âèäíî íà Ðèñ.1.6 â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Äëÿ êðàéíèõ âåðøèí1, 2, N −1, N âûðàæåíèå (1.27) áóäåò èìåòü íåêîòîðûå î÷åâèäíûå èçìåíåíèÿ.26Òåïåðü ìîæíî íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû:AN =Z Ydzi h0(1,2) |V̂12 (z1 )h0(3) |V̂23 (z2 )h0(4) ||0(2) i ××V̂34 (z3 )h0(5) |...|0(i−1) i V̂i,i+1 (zi )h0(i+2) |...|0(N −2) i ××VN −1,N (zN −1 )|0(N −1) i VN,1 (zN )|0(N,1) i.(1.28)Ýòà ôîðìà ïîçâîëÿåò óâèäåòü ñèììåòðèè ñîñòàâíîé ñòðóííîé ìîäåëè, âûâîäÿùèå åå çà ðàìêè àääèòèâíûõ êëàññè÷åñêèõ ñòðóííûõ ìîäåëåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
