Диссертация (1149786), страница 9
Текст из файла (страница 9)
По условию метода (O1 ) все такие грани необходимо неортогональны оси l2 .Далее, на всех гранях из множества A1 выбираются такие диагонали,что их проекции на ось l1 сонаправлены с осью l1 . Заметим, что у каждойпризмы в силу невырожденности есть не менее двух боковых граней, принадлежащих A1 . Сумма однонаправленных коллинеарных ненулевых векторов неможет в сумме дать нулевой вектор, следовательно сумма проекций диагоналейкаждой призмы ненулевая, и остается сослаться на теорему 4.48Правило выбора диагоналей у граней призм из множества A2 позволяетизбавиться от неоднозначности подразделения, и таким образом корректностьметода (O1 ) установлена.Приведем здесь еще один метод выбора диагоналей боковых граней призм,который может оказаться более удобным в некоторых приложениях.Метод (O2 ). Выберем ось lx такую, что она неортогональна ни одной боковойграни разбивающих область Ω призм.
Так как множество призм не более чемсчетно, то такой выбор всегда возможен, и ось lx существует. На каждой граникаждой призмы выберем ту из двух диагоналей, направление проекции которойна ось lx совпадает с направлением самой оси.Теорема 6. Метод (O2 ) корректен в смысле определения, данного для теоремы 5.Доказательство.
Покажем, что метод (O2 ) является частным случаемметода (O1 ). Действительно, сопоставим ось lx оси l1 из метода (O1 ), а ось l2выберем произвольным допустимым образом, что, очевидно, всегда возможно.Остается сослаться на доказательство теоремы 5, заметив, что множество A2пусто.Таким образом корректность метода (O2 ) установлена.Отметим, что метод (O2 ) сохраняет применимость при укрупнении симплициального подразделения с сохранением первоначального выбора оси lx , таккак при укрупнении новые грани призм не образуются.При измельчении симплициального подразделения для сохранения применимости метода (O2 ) к измельченной триангуляции, вообще говоря, можетпотребоваться выбор новой оси.К достоинствам метода (O1 ), по сравнению с методом (O2 ), можно отнести то, что первый метод применýм с теми же осями и при измельчении и приукрупнении симплициального подразделения.
Другим преимуществом метода(O1 ) является то, что оси l1 и l2 возможно выбрать так, что они оказываютсяестественным образом связаны с триангуляцией, на которой построены призмы. Проекции диагоналей на оси при этом имеют сравнительно простой вид,что упрощает вычисления и выкладки.492.3Укрупнение симплициального подразделенияНапомним, что целью построения специального симплициального подразделения является возможность производить его локальное укрупнение, так как однонеобходимо для всплескового разложения.
Для определенного выше симплициального подразделения укрупнение можно производить в несколько приемов.Вначале рассмотрим одну пару таких соседних призм, которые могутбыть объединены в одну бóльшую призму. Легко установить, что всего существует восемнадцать вариантов того, как эти призмы могут быть подразделенына симплексы. Половина из этих вариантов являются зеркальным отражениемдругих, что позволяет ограничиться рассмотрением только девяти различныхвариантов.Для наглядности во всех девяти вариантах приведем проекции на основание области Ω (см. рис.
8).Рис. 7: Пара призм с выбранными диагоналямиНетрудно видеть, что только первые четыре из приведенных вариантовсогласуются с методами (O1 ) и (O2 ). Варианты с пятого по девятый имеютв проекции пару коллинеарных разнонаправленных векторов, что по заданнымв методах (O1 ) и (O2 ) правилам, невозможно.Выпишем преобразования матриц инциденций, соответствующие каждому из обозначенных выше четырех вариантов. Для простоты выкладок ограничимся призмами, лежащими около начала координат, координаты вершинкоторых равны −1, 0 или 1.
Для обозначения трехмерного вектора с целочисленными координатами x, y, z используем символ qx,y,z .50123456789Рис. 8: Проекции разбиений пары призмПервый вариант разбиения призм на симплексы допускает следующийвыбор осей l1 и l2 , согласующийся с методом (O1 ): первая ось l1 задается ортом (0, 1), т.
е. сонаправлена с OY , вторая ось l2 задается ортом (−1, 0), т. е.направлена в сторону противоположную OX. Заметим, что указанный выборосей не единственен.Примером выбора оси lx , согласованного с методом (O2 ), является направление заданное вектором (−1, 2). Легко видеть, что проекции диагоналейрассматриваемого разбиения на lx не обращаются в точку, и что их направлениясовпадают, что и требуется.q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,1q0,1,0q0,1,1q0,1,1q1,0,0q1,0,0q1,0,0q−1,0,0q−1,0,0q−1,0,1q0,1,0q0,1,1q0,1,1q0,1,1q−1,0,1q0,0,1q0,1,1q0,0,1q1,0,1 q−1,0,0 q1,0,0 q0,1,0 q0,1,1 ⇒ q−1,0,0 q1,0,0 q0,1,1 q−1,0,1 q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,1 q1,0,1(38)Во втором варианте разбиения направления осей могут выбраны так: первая ось l1 задается ортом (0, −1), т.
е. направлена вертикально, сверху вниз,51вторая ось l2 задается ортом (−1, 0), направлена горизонтально, справа налево.Такой выбор осей, очевидно, согласуется с методом (O1 ).Примером выбора оси lx , согласующегося с методом (O2 ), является направление, задаваемое вектором (−1, −2). Элементарно проверяется, что скалярные произведения направленных диагоналей боковых сторон обеих призмна указанный вектор все строго положительны.q0,0,0q0,0,0q0,0,1q0,0,0q0,0,1q0,0,1q0,1,0q0,1,0q0,1,0q1,0,0q1,0,0q1,0,1q−1,0,0q−1,0,1q−1,0,1q0,1,0q0,1,0q0,1,0q−1,0,1q0,0,1q0,1,1q0,0,1q1,0,1q0,1,1 q−1,0,0 q1,0,0 q0,1,0 q−1,0,1 ⇒ q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,0 q1,0,1 q−1,0,1 q1,0,1 q0,1,0 q0,1,1(39)Возможный выбор осей для третьего варианта разбиения призм можетбыть таким: первая ось l1 сонаправлена с ортом (−1, 0), т.
е. направлена горизонтально, справа налево, вторая ось l2 сонаправлена с ортом (0, 1), т. е. имеетнаправление оси OY . Нетрудно убедиться в согласованности с методом (O1 )указанного выбора осей.Возможным вариантом выбора оси lx , является направление заданное вектором (−2, 1). Проверка строгой положительности скалярных произведений направленных диагоналей боковых граней обеих призм на указанный вектор показывает согласованность такого выбора оси lx с методом (O2 ).q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,0q0,0,1q0,1,0q0,1,0q0,1,1q1,0,0q1,0,0q1,0,0q−1,0,0q−1,0,1q−1,0,1q0,1,0q0,1,1q0,1,1q−1,0,1q0,1,1q0,0,1q0,1,1q0,0,1q1,0,1 q−1,0,0 q1,0,0 q0,1,0 q−1,0,1 ⇒ q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,0 q0,1,1 q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,1 q1,0,1(40)Для четвертого из указанных выше вариантов выбор осей, согласованныйс методом (O1 ), может быть следующим: направление первой оси l1 задаетсяортом (−1, 0), так что она направлена горизонтально, справа налево, а направ-52ление второй оси l2 задается ортом (0, −1), так что она направлена вертикально,сверху вниз.Примером выбора оси lx согласованной с методом (O2 ), является направление, задающееся вектором (−2, 1).
Скалярные произведения векторов-направленных диагоналей на указанный вектор не обращаются в нуль и имеютодин знак, что и подтверждает согласованность.Преобразование матрицы инциденций при этом выглядит так:q0,0,0q0,0,0q0,0,1q0,0,0q0,0,1q0,0,1q0,1,0q0,1,0q0,1,0q1,0,0q1,0,0q1,0,0q−1,0,0q−1,0,1q−1,0,1q0,1,0q0,1,0q0,1,1q−1,0,1q0,0,1q0,1,1q0,0,1q0,1,1q1,0,1 q−1,0,0 q1,0,0 q0,1,0 q−1,0,1 ⇒ q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,0 q0,1,1 q−1,0,1 q1,0,0 q0,1,1 q1,0,1(41)Любой другой вариант объединения двух смежных призм может бытьполучен из одного из четырех рассмотренных, при помощи подходящего линейного преобразования.2.4Аппроксимационные соотношенияКак и в общем случае, для симплициального подразделения в R3 базовые элементы аппроксимации Зламала ωj определяются из аппроксимационных соотношений:Xϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t).(42)j∈J0Видно, что множество индексов семейства {ωj }j∈J0 базовых элементов совпадает с множеством индексов узлов. Центральный узел элемента ωj обозначим tj .Вне замыканий симплексов инцидентных узлу tj положимωj (t) = 0,t∈/ Sj ,(43)так что носитель ωj совпадает с множеством Sj .
Из невырожденности симплексов составляющих подразделение, в частности, следует, что базовые элементыопределены однозначно.53Отметим, что ввиду (43), сумма в (42) содержит лишь конечное числоотличных от нуля слагаемых для каждого значения t.Будем искать выражение для элемента Зламала ωj на каждом симплексеS ⊂ Sj в виде ωj (t) = υTjS · ϕ(t), где υjS ∈ R10 — вектор коэффициентов.Учитывая еще (43), получаем(ωj (t) =(υjS )T · ϕ(t), t ∈ S, ∀S ⊂ Sj ,0, t ∈ Ω \ Sj ,Компоненты векторов υjS найдутся из решения соответствующих системлинейных уравнений:[υjS ]k =2.5dϕ,S,k,D(χ−1S (j))dϕ,S,∀k ∈ {1, 2, .
. . , 10}.(44)Калибровочные соотношения для измельчениясимплициального подразделенияПростейший способ локального измельчения симплициального подразделенияможно оформить в виде следующей последовательности шагов. Вначале выбирается одно ребро подразделения. На нем фиксируется одна из внутреннихточек, и туда помещается дополнительный узел сетки. Далее, каждый симплексS, для которого выбранное ребро является общим, делится секущей плоскостьюна два меньших симплекса S1 и S2 .
Плоскость при этом проводится через вновьдобавленный узел и через две вершины симплекса S, не принадлежащие выбранному на первом шаге ребру.Рис. 9: Подразделение симплекса на два меньших симплекса54Нетрудно видеть, что количество базовых элементов Зламала, на которыевлияет добавление нового узла лежит в диапазоне от (3 + 4m) до (3 + 7m), гдеm — количество симплексов, для которых ребро, на которое помещается новыйузел, общее. На рис. 9 показан один из симплексов, разделенный на два последобавления нового узла 5. При этом изменяются базовые элементы, в областьопределения которых входит данный симплекс. Выпишем калибровочные соотношения для всех таких базовых элементов. При этом мы будем обозначатьчерез ωj базовый элемент исходного подразделения, центральным узлом которого является вершина симплекса с индексом j.
Через ωjk будет обозначаться базовый элемент Зламала, центральным узлом которого является серединаребра, концы которых имеют индексы j и k. Базовые элементы измельченногоподразделения обозначим ωej и ωejk соответственно. Будем считать, что добавленный узел 5 делит грань 1–2 в пропорции q : (1 − q), где вещественное числоq ∈ (0, 1).В этих обозначениях, элементы ω1 и ω2 выразятся следующим образом:1(1 − q) (2 − q) ωe15 +211+ q (1 − q) ωe25 + q (1 + q) ωe35 + q (1 + q) ωe45 .22ω1 = ωe1 + (1 − q) (1 − 2q) ωe5 +11q (q − 1) ωe15 + q (1 + q) ωe25 +2211e35 + (1 − q) (2 − q) ωe45 ,+ (1 − q) (2 − q) ω22ω2 = ωe2 + q (2q − 1) ωe5 +Для элементов ω3 , ω4 и ω34 соотношения получаются тривиальными:ω3 = ωe3 ,ω4 = ωe4 ,ω34 = ωe34 .Далее, получим выражения для ω13 :ω13 = ωe13 +1q (2q + 1)eω35 .3ω14 = ωe14 +1q (2q + 1)eω45 .3и, аналогично, для ω14 :55Выражения для ω23 и ω24 также похожи:ω23 = ωe23 +1(1 − q) (3 − 2q)eω35 ,31(1 − q) (3 − 2q)eω45 .3В выражении для ω12 не присутствует слагаемого с ωe12 , поскольку соответствующего узла нет в результирующем измельченном симплициальном подразделеании.ω24 = ωe24 +ω12 = 4 q (1 − q) ωe5 + q (2 − q) ωe15 + (1 − q) (1 + q) ωe25 .2.6Калибровочные соотношения для укрупнениясимплициального подразделенияОпределенное в разделе 2.2 симплициальное подразделение, производимое с помощью методов (O1 ) или (O2 ), допускает локальное укрупнение с сохранением правильности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
