Диссертация (1149786), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Процесс укрупнения заключается в том, что пара соседнихпризм объединяется в одну бóльшую призму, которая затем подразделяется натри симплекса по методу (O1 ) или (O2 ). Применение одного из указанных методов обеспечивает согласованность подразделения соседних укрупненных призм.Соблюдение процедуры выбора укрупняемых призм, вполне аналогичное процедуре выбора треугольников, изложенной в [29], в сочетании с методом (O1 )или (O2 ) позволяет производить укрупнение в несколько приемов.Базовые элементы Зламала укрупненного подразделения могут быть выражены через базовые элементы исходного подразделения при помощи системыкалибровочных соотношений видаωek (t) =Xωj · ωek (tj ).(45)j∈J0Ясно, что конкретный вид калибровочных соотношений вида (45) существенно зависит от реализуемого подразделения, т.
е. от выбора осей l1 и l2в методе (O1 ) или оси lx в методе (O2 ).Для иллюстрации, рассмотрим конфигурацию, показанную на рис. 10:пара соседних призм, таких, что их основаниями являются одинаковые равно-56бедренные прямоугольные треугольники, имеющие общий катет, и такие, чтовершины, угол при которых прямой, совпадают.Рис. 10: Носитель базового элемента Зламала до укрупненияНаправление оси l1 строго противоположно направлению оси X, а направление l2 совпадает с направлением оси Y . Будем рассматривать базовыйэлемент ω , центральный узел которого обозначен на рисунке ромбиком и имеет координаты (x − 2, y, z + 2). Интересующий нас фрагмент носителя базовогоэлемента (см. рис. 10) описывается следующей таблицей инциденций:px−2,y,zpx,y+2,zpx,y,zpx−2,y,zpx,y,zpx,y−2,zpx,y+2,zpx,y,zpx−2,y,z+2px,y,zpx,y−2,zpx−2,y,zpx,y,zpx−2,y,z+2px,y+2,z+2px,y−2,zpx−2,y,z+2px,y,z+2px−2,y,z+2px,y+2,z+2px,y,z+2px−2,y,z+2px,y,z+2px,y−2,z+2.(46)Укрупнение симплициального подразделения будет произведено за счетудаления пары узлов, отмеченных на рис.
2 черными кружками с координатами(x, y, z) и (x, y, z + 2). Получившаяся большая призма вновь будет разделена насимплексы, так что результат может быть описан следующей таблицей: px−2,y,z px,y+2,z px,y−2,zpx−2,y,z+2 px,y+2,z px,y−2,z px−2,y,z+2 px,y+2,z+2 px,y−2,z px−2,y,z px,y+2,z+2 px,y−2,z+2.(47)Обозначим три указанных симплекса укрупненного подразделения черезeS1 , eS2 и eS3 . Легко видеть, что базовый элемент Зламала на рассматриваемом57Рис.
11: Носитель базового элемента Зламала после укрупненияфрагменте области определения выразится следующим образом:(ωe =z 2 − z, t ∈ eS1x2 + x, t ∈ eS2 ∪ eS3Раскладывая полученное выражение по общей формуле (45), получаем следующее калибровочное соотношение для элемента ω :ωe = ω ,t∈eS1 ∪ eS2 ∪ eS3 .В данном случае соотношение получается тривиальным, что, вообще говоря,имеет место не всегда.
Выбор симплициального подразделения, приводящийк упрощению линейных комбинаций (45) позволяет упростить вычисления в приложениях.2.7Калибровочные соотношения при дроблениисимплициального подразделения в случаеплоско-параллельного сечения слояВ предыдущих разделах был рассмотрен способ симплициального подразделения слоя в R3 . Отличительной чертой упомянутого способа являетсявозможность локального укрупнения подразделения. Естественным обобщением рассмотренного симплициального подразделения является распространениеего на несколько смежных слоев. Укрупнение симплициального подразделения такого рода обладает локальностью лишь вдоль двух координатных осей(а именно, по отношению к паре координат, задающих координатную плоскость58в основаниях слоев.) Вдоль третьей координатной оси, ортогональной основаниям, дробление подразделения изменению не подвергается.Представляется важным предусмотреть возможность изменять дробление симплициального подразделения вдоль третьей координатной оси, пустьдаже без соблюдения свойств локальности.
Вначале рассмотрим процесс измельчения симплициального подразделения слоя. Будем рассматривать его напримере плоско-параллельного сечения одной призмы. Легко подсчитать, чтосуществует всего 63 = 216 вариантов разбиения одной исходной и двух результирующих призм на симплексы.Далее, для примера, рассмотрим такое измельчение, в котором все трипризмы подразделены по методу (O1 ) с одинаково выбранными осями l1 и l2 .Этот частный случай важен для приложений.
Дополнительным условием, соблюдение которого упростит выводимые соотношения, будет то, что высотырезультирующих меньших призм предполагаются одинаковыми.Введем систему обозначений, которой будем пользоваться в настоящемразделе. Базовые элементы исходного крупного подразделения будем обозначать символом ωxyz с подходящим индексом, структура которого изложенадальше. Базовые элементы, соответствующие измельченному подразделению,обозначим ωexyz . Пронумеруем основания призм измельченного подразделения:нижнее основание нижней призмы обозначим 1, верхнее основание нижнейпризмы, являющееся также нижним основанием верхней призмы, обозначим2, а верхнее основание верхней призмы — 3.
В исходном крупном подразделении сохраним введенную нумерацию, так что нижнее основание призмы будетобозначаться 1, а верхнее 3.Рис. 12: Плоско-параллельное дробление призмыДалее, в плоскости каждого основания пронумеруем вершины треуголь-59ника, лежащего в соответствующем основании призмы номерами 1, 2 и 3. Индексы базовых элементов, центральные узлы которых находятся в вершинахсимплексов (на рис. 12 они обозначены черными кружками), будут состоять изпары номеров, записанных через запятую: вначале номер плоскости, а затемномер вершины треугольного основания.
Если узел лежит на середине ребра,соединяющего вершины с индексами i, j и k, l, то он будет индексироваться парой указанных индексов, разделенной дефисом (т. е. ему будет приписыватьсяиндекс i, j −k, l).В так определенных обозначения справедливы следующие калибровочныесоотношения.ω1,1 = ωe1,1 ,ω1,3 = ωe1,3 ,ω3,2 = ωe3,2 .Для этих трех узлов первого типа соотношения получаются тривиальными. Дляследующего элемента, добавляются слагаемые, зависящие от базовых элементоввторого типа:11e1,1−2,2 − ωe1,3−2,2 .(48)ω1,2 = ωe1,2 − ω88Среди базовых элементов второго типа, также есть один, калибровочное соотношение для которого тривиально:ω1,1−1,3 = ωe1,1−1,3 .Пара следующих базовых элементов имеют схожую структуру в силу симметрии рассматриваемой конструкции:ω1,1−1,2 = ωe1,1−1,2 +3ωe1,1−2,2 ,8(49)3ωe1,3−2,2 .(50)8Далее, также в силу симметрии, имеем следующие соотношения для другойпары базовых элементов:ω1,2−1,3 = ωe1,2−1,3 +ω1,1−3,2 = ωe2,1−2,2 +1ωe1,1−2,2 ,8(51)ω1,3−3,2 = ωe2,3−2,2 +1ωe1,1−2,2 .8(52)60Последнее, десятое, калибровочное соотношение таково:ω1,2−3,2 = ωe2,2 +2.811ωe1,1−2,2 + ωe1,3−2,2 .88(53)Замечания о калибровочных соотношенияхВыражение для элемента ω1,1−3,2 включает слагаемое, зависящее от элемента ωe1,1−2,2 , поскольку в выбранных обозначениях точки h1, 1 − 3, 2i и h2, 1 −2, 2i совпадают.
Первое обозначение соответствует исходному крупному подразделению, а второе — результирующему измельченному.Поясним, как были вычислены коэффициенты в калибровочных соотношениях (48)-(53). Для примера, рассмотрим выражение для базового элемента ω1,2−3,2 . Нетрудно видеть, что ненулевые коэффициенты разложения будуттолько при слагаемых, зависящих от ωe2,2 , ωe1,1−2,2 и ωe1,3−2,2 , так как центральные узлы остальных базовых элементов измельченного подразделения геометрически совпадают с узлами исходного подразделения, и потому их коэффициенты обращаются в нуль. Для слагаемого с ω2,2 справедливо замечание, аналогичное сделанному выше для элемента ω1,1−3,2 . Коэффициенты остальныхдвух слагаемых определятся из следующих соображений.
Рассмотрим треугольник с вершинами в точках h1, 1i, h1, 2i и h3, 2i. На этом треугольнике элементω1,1−3,2 представляет собой фрагмент седловой поверхности второй степени.Для составления уравнения этой поверхности, определим систему координаттак, чтобы начало координат располагалось в точке h1, 2i, ось X проходилачерез h1, 2i − h3, 2i, а ось Y проходила через h1, 2i − h1, 1i. Ось Z направимперпендикулярно плоскости X −Y в произвольную сторону. Масштаб выберемтаким, чтобы расстояния |h1, 2i − h3, 2i| = |h1, 2i − h1, 1i| = 1.
Пересечение седловой поверхности с плоскостью y = t − x, где параметр t ∈ [0, 1] представляетсобой часть направленной вервями вниз параболы, лежащую выше плоскостиz = 0. Наибольшая высота точки параболы над плоскостью X −Y , очевидно,равна h = t2 , и уравнение поверхности, с учетом нормировки, выразится какz = 4 x (t − x) = 4 xy. Координаты узла h1, 1i−h2, 2i определятся, как среднееарифметическое координат концов грани, т. е.
будут равны x = 1/4, y = 1/2.Подставив эти координаты в уравнение седловой поверхности, получим искомый коэффициент.613Трехмерное локально-укрупняемоесимплициальное подразделениеДля удобства изложения и облегчения восприятия материала данной главы,в первом разделе излагается идея построения симплициального подразделенияи его последующего укрупнения. Далее, начиная со второго раздела, приводится формальное изложение материала, сопровождающееся строгими доказательствами.В предыдущей главе предлагается и подробно рассматривается способсимплициального подразделения трехмерного слоя, являющийся, в некоторомсмысле, естественным обобщением триангуляции специального вида предложенной в [2]. Как уже отмечалось, такое симплициальное подразделение возможно подвергнуть локальному укрупнению в двух направлениях из трех возможных.
Для приложений крайне важно иметь возможность производить локальное укрупнение симплициального подразделения в любых направленияхтрехмерного пространства.Для решения этой задачи в настоящей главе предлагается симплициальное подразделение специального вида, с одной стороны, снова являющееся обобщением специальной триангуляции вида (8), однако, с другой стороны, основанное на подходе, отличном от рассмотренного в разделе 2.2. В конце главы мыпроверим возможность распространения изложенных здесь идей на случай двухизмерений.Так же, как для специального вида триангуляции, вначале мы зададим исходное дробление интересующей нас области пространства, структура которогоблизка к регулярной сетке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
