Диссертация (1149786), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Такие соотношения называются калибровочными. Заметим также, чтов том частном случае, когда новый узел добавляется ровно в середину ребра,калибровочные соотношения принимают особенно простой вид, так как узлыв результате такого измельчения только лишь добавляются. В общем случаеможет потребоваться удалить некоторые узлы второго типа.Далее, рассмотрим произвольный треугольник T ∈ T, задаваемый своимивершинамиdef T = p0 p1 p2 .Измельчение триангуляции с сохранением правильности может быть осуществлено добавлением дополнительного узла на одну из сторон треугольника T и восстановлением ребра, соединяющего новый узел с противолежащей вершиной.Без умаления общности будем считать, что новый узел p3 добавляется во внутреннюю точку ребра p0 –p1 .

Таким образом p3 = q·p0 +(1−q)·p1 для некотороговещественного числа q ∈ (0, 1). Два треугольника получающиеся в результатеразбиения треугольника T обозначим T1 и T2 .Легко видеть, что существует девять базовых элементов Зламала, принимающих ненулевые значения на треугольниках T1 и T2 . Будем использоватьобозначение ωek , k ∈ {0, . . .

, 3} для базовых элементов, центральные узлы которых расположены в вершинах треугольников. Для тех элементов, центральными узлами которых являются середины сторон, будем использовать обозначениеωeij , где ti и tj — концы соответствующей стороны.Итак, базовый элемент ωe0 исходной триангуляции выражается как линейная комбинация базовых элементов измельченной триангуляции следующимобразом:e 1, ω0 + (1 − 2q)(1 − q)ω3 + (1−2q)(1−q) ω03 − q(1−q) ω23 , t ∈ T22(7)ωe0 = ω0 + (1 − 2q)(1 − q)ω3 − q(1−q) ω13 − q(1−q) ω23 ,et ∈ T2 .2222Выражение для базового элемента ωe1 можно получить из только что полученных соотношений (7) формальной подстановкой (1 − q) вместо q и заменойсоответствующих индексов.

Впрочем, нетрудно вывести соотношения и непосредственно.e 1, ω1 + q(2q − 1)ω3 − q(1+q) ω03 − q(1−q) ω23 , t ∈ T22ωe1 = ω1 + q(2q − 1)ω3 + q(1+q) ω13 − q(1−q) ω23 , t ∈ Te 2.22Выражение для ωe2 очевидным образом тривиально:ωe 2 = ω2 .Для базовых элементов, центральные узлы которых относятся ко второму типу,калибровочные выражения получаются аналогично. Так, для ωe01 выражениепринимает видωe01 = 4q(1 − q)ω3 + (2 − q)qω03 + (1 − q 2 )ω13 + q(1 − q)ω23 ,а для элементов ωe02 и ωe12ωe02 = ω02 + (1 − q)ω23и, соответственно,ωe12 = ω12 + qω23 .Заметим, что полученные здесь результаты согласуются с кратномасштабнымиразложениями выведенными в [34].1.3Задача локального укрупнения правильнойтриангуляцииПроизвольная правильная триангуляция, вообще говоря, не допускает локального укрупнения.

Для преодоления этой трудности было предложено [2, 29]использовать триангуляцию специального вида.Такой специальной триангуляцией, например, является заданная следую-23щей таблицей инциденцийp x,y px+4,yp x+4,y+4 px,y+4px+4,ypx+4,y+4px,y+4px,ypx+2,y+2px+2,y+2px+2,y+2px+2,y+2,(8)где px,y — вектор с целочисленными координатами x и y, кратными четырем,x, y ∈ {4k | k ∈ Z}.

В некоторых ситуациях удобнее воспользоваться ее альтернативным определением, как сформулированно ниже. На приведенное определение подразделения двумерной области будем далее ссылаться как на способ(Q).Способ (Q). Эквивалентным способом задания приведенной специальной триангуляции будет указание набора семейств прямых, которые подразделяют интересующую нас область на треугольники. Таким семейством, например, является x = 4k1 , y = 4k2 , x = y + 4k3 , x = −y + 4k4 , где параметры семейств k1 , .

. . , k4 ∈ Z.Напомним, что в данном случае, триангулированная область Ω предполагается полностью накрытой целым числом треугольников. В простейшем случаеΩ может представлять собой прямоугольную область, стороны которой ориентированы вдоль координатных осей и имеют длины кратные четырем.Для приведенной триангуляции существует восемь видов элементов Зламала.

Рассмотрим их все. Для этого, вначале зафиксируем целочисленные координаты x0 и y 0 кратные четырем. Определим теперь таблицу инциденций,описывающую набор треугольников, на которых будут определены элементыЗламала (см. рис. 1).24Рис. 1: Центральные узлы базовых элементов Зламала1234defM=5678910px0 −4,y0px0 −2,y0 −2px0 ,y0px0 ,y0px0 ,y0px0 ,y0 +4px0 −2,y0 +2px0 −4,y0px0 +2,y0 +2px0 ,y0 +4px0 −2,y0 −2px0 ,y0 −4px0 ,y0 −4px0 +2,y0 −2px0 +4,y0px0 ,y0px0 ,y0px0 ,y0px0 +4,y0px0 +2,y0 +2px0 ,y0px0 ,y0px0 +2,y0 −2px0 +4,y0px0 +2,y0 +2px0 +2,y0 +2px0 ,y0 +4px0 −2,y0 +2px0 +4,y0 +4px0 +4,y0 +4(9)Треугольник с номером k из этой таблицы будем обозначать TMk .Первый элемент задается на треугольниках TMk , k ∈ {1, . . .

, 8}. Центральdefным узлом для этого элемента является точка t1 = px0 ,y0 . Производя вычисленияпо формуле (6) и упрощая, находимυ1T =r1 (1, 1), T = TMили T = TM12 , r1 (−1, −1), T = TMили T = TM34 ,r1 (1, −1), T = TMили T = TM56 ,r1 (−1, 1), T = TMили T = TM78 ,25где для краткости записи используется вектор002(x + s1 y − 3s2 ) − 1 −2(x0 + s1 y 0 − 3s2 )00def 1  −2(s1 x + y − 3s1 s2 )r1 (s1 , s2 ) = 812s11.Теперь определим второй и пятый элементы. Их центральными узламиdefdefявляются точки t2 = px0 +2,y0 и t5 = px0 ,y0 +2 соответственно. Вновь воспользуемсяформулой (6).

После упрощения получаемυ2T =r2 (1, −1, −1), T = TM4 , r2 (−1, −1, −1), T = TM ,5иυ5T = r2 (−1, 1, 1), T = TM6 , r2 (1, 1, −1), T = TM ,7гдеdef 1 r2 (s1 , s2 , s3 ) = 40000(x + s1 y )(s2 x − s1 s2 y + 4s3 )−2(s2 x0 + 2s3 )2(s2 y 0 − 2s1 s3 )s20−s2.Аналогичным образом определим теперь третий и восьмой базисные элеdefменты. Центральным узлом третьего элемента является точка t3 = px0 +1,y0 +1 ,defа восьмого, соответственно, t8 = px0 +3,y0 +3 .

Снова используем формулу (6) дляопределения компонент векторов υ3T и υ8T . r3 (1, 0), T = TM5 ,υ3T = r3 (0, 0), T = TM ,626иυ8T = r3 (0, 4), T = TM9 , r3 (1, 4), T = TM .10Здесь для краткости используется вспомогательный векторdef 1 r3 (s1 , s2 ) = 2−((1 − s1 )x + s1 y + s2 )(x + y + 4)y + 2(1 − s1 )(x + 2) + s2x + 2s1 (y + 2) + s2s1 − 1−1−s1.Четвертый и седьмой базисные элементы определятся похожим образом.defdefТочки t4 = px0 +3,y0 +1 и t7 = px0 +1,y0 +3 соответственно являются их центральнымиузлами.

Произведя вычисления по формуле (6), получим следующие выражения: r4 (1, 0), T = TM5 ,υ4T = r4 (−1, 4), T = TM ,9иυ7T = r4 (−1, 0), T = TM6 ,r4 (1, 4), T = TM10 .Здесь мы снова для краткости записи воспользовались вспомогательным вектором(s1 (x + y) − x + y + 2s1 s2 )(x − y)2((1−s)x−y−ss)11 22((1+s)y−x+ss)11 2def 1 r4 (s1 , s2 ) = .4s−112−s1 − 1И, наконец, определим шестой базисный элемент. Его центральным узломdefявляется t6 = px0 +2,y0 +2 . Как и ранее, производя вычисления по формуле (6),27получаемυ6T =r6 (1, 0), T = TM5 , r6 (−1, 0), T = TM6 ,r6 (−1, 6), T = TM9 , r (1, 6), T = TM ,610гдеdef 1 r6 (s1 , s2 ) = 8(x + y − s1 (x − y) + s2 + 1)2 − 1−2(1 − s1 )(2x + s2 + 1)−2(1 + s1 )(2y + s2 + 1)2(1 − s1 )02(1 + s1 ).Таким образом мы определили все базисные элементы Зламала для указанной триангуляции.1.4Калибровочные соотношения при локальномукрупнении триангуляцииПри укрупнении триангуляции удаляется конечное множество вершин исходнойтриангуляции вместе с их ребрами.

Оставшиеся вершины соединяются новыми ребрами так, чтобы вновь получилась правильная триангуляция. Нас будетв первую очередь интересовать такое укрупнение, при котором пространствобазисных элементов укрупненной триангуляции оказывается вложенным в пространство базисных элементов исходной триангуляции. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы все вновь добавляемые ребра геометрически находилисьв тех же местах плоскости, что и некоторые из удаляемых ребер. Для доказательства можно, например, заметить, что подходящее измельчение укрупненной триангуляции приводит к исходной, и сослаться на [34, лемма 1]. При этомвновь добавляемое ребро занимает место двух или более удаляемых.

Ясно, чтоне любая триангуляция допускает укрупнение такого рода.Рассмотрим семейство функционалов {gi }i∈J , заданное формуламиdefhgi , ui = u(ti ),∀u ∈ C(Ω).(10)28Так как ωj принимает значение 1 в своем центральном узле tj и значение 0 вовсех остальных узлах сетки tk , k 6= j, тоhgi , ωj i = δi,j ,∀i, j ∈ J.Это означает, что формулой (10) задается продолжение на C(Ω) системы функционалов, биортогональной системе функций {ωj }j∈J .Элемент ωek укрупненной триангуляции может быть выражен как разложение по базису исходной триангуляции через значения в узлах сетки:ωek (t) =Xωj · ωek (tj ).(11)j∈J0Такие соотношения называются калибровочными.Вновь обратимся к специальной триангуляции из работы [29], котораязадается набором треугольников (8) для всех целочисленных координат x и yкратных четырем.Зафиксируем пару координат x0 , y 0 и рассмотрим треугольники инцидентные вершине px0 +2,y0 +2 :px0 ,y0px0 +4,y0px0 +4,y0 +4px0 ,y0 +4px0 +4,y0px0 +4,y0 +4px0 ,y0 +4px0 ,y0px0 +2,y0 +2px0 +2,y0 +2px0 +2,y0 +2px0 +2,y0 +2.(12)При удалении из триангуляции вершины px0 +2,y0 +2 существует два варианта добавления нового ребра взамен удаленных.

Характеристики

Список файлов диссертации