Диссертация (1149786), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

3: Двухшаговое укрупнение триангуляцииделяющую группу из шестнадцати треугольников:px−4,ypx−2,ypx−2,ypx−4,ypx−2,y+2px,y+2px,y+2px−2,y+2px,ypx+2,ypx+2,ypx,ypx−2,y−2px,y−2px,y−2px−2,y−2px−2,ypx,ypx,ypx−2,y−2px,y+2px+2,y+2px+2,y+2px,ypx+2,ypx+4,ypx+4,ypx+2,y−2px,y−2px+2,y−2px+2,y−2px,y−4px−2,y+2px−2,y+2px−2,y−2px−2,ypx,y+4px,y+4px,ypx,y+2px+2,y+2px+2,y+2px+2,y−2px+2,ypx,ypx,ypx,y−4px,y−2.(33)Одним из способов укрупнения триангуляции является удаление следующих восьми узлов и ребер, связанных с ними: (x − 3, y), (x − 1, y), (x, y + 3),(x, y + 1), (x + 1, y), (x + 3, y), (x, y − 1), (x, y − 3).

При этом шестнадцать треугольников, которым принадлежат удаляемые ребра, попарно объединяютсяв восемь треугольников большего размера.37После первого шага укрупнения таблица инциденций примет видpx−2,y−2 px−2,y+2 px−4,y px−2,y−2 px,ypx−2,y+2p x−2,y+2 px+2,y+2 px,y+4 px−2,y+2 px,ypx+2,y+2 .pppx+2,y−2x+2,y+2 x,y px+2,y−2 px+4,ypx+2,y+2p x−2,y−2 px+2,y−2 px,y px−2,y−2 px,y−4px+2,y−2 (34)Повернем плоскость при помощи подходящего преобразования координат,например, задаваемого матрицей 1/2 1/2 , − 1/2 1/2 которая, фактически, задает поворот плоскости на угол π/4 по часовой стрелке√с одновременным сжатием по обеим осям координат с коэффициентом 2/2.Преобразовав каждый вектор из таблицы инциденций (34), получим следующийнабор треугольниковpx,y+2 px−2,y+2 px−2,y px−2,yppx,yx,y+2ppx+2,ypx+2,y+2 x,y+2 px,y+2ppx,yx+2,y.(35)pppx,y−2x+2,y x,y px,y−2ppx+2,y−2x+2,yppx,y−2px,y x−2,y px−2,ypx−2,y−2 px,y−2 Нетрудно видеть, что получившиеся в (35) треугольники совпадают сточностью до сдвига вдоль оси X равного 4k + 2, k ∈ Z, с треугольникамииз таблицы (33).

Это показывает, что к получившейся триангуляции применима аналогичная процедура укрупнения, которая приводит к еще более крупным треугольникам. В соответствии с указанным выше правилом (Q), выберем38в таблице (35) узлы, подлежащие удалению: (x, y −1), (x, y +1). После удаленияузлов и связанных с ними ребер, повернем плоскость против часовой стрелкина π/4.

Этого можно добиться умножением векторов входящих в таблицу (35)на матрицу 1/2 1/2 . 1/2 − 1/2 Одновременно с поворотом, будет произведено сжатие плоскости по обеим ко√ординатным осям с коэффициентом 2/2. Таким образом, суммарное сжатие,производимое за два указанных выше шага, уменьшит масштаб системы координат вдвое.Результатом последнего шага будут два треугольникаp x−2,y−2 px+2,y−2 px−2,y+2 (36), px+2,y−2 px+2,y+2 px−2,y+2 совпадающие с треугольниками из исходной таблицы (33) с точностью до сдвига вдоль осей X и Y вида 2k + 4, k ∈ Z.

Остальные треугольники, оставшиесянеизменными с предыдущих шагов, для нас в настоящий момент не представляют интерес.Далее, так как базовый элемент Зламала, определенный на треугольниках, полученных в результате повторного укрупнения триангуляции, можноразложить по базису исходного пространства базовых элементов, возможно выписать калибровочные соотношения, соответствующие такому двойному укрупнению. Так как повороты координатной плоскости на первом и втором шагахвзаимно уничтожаются, то единственной операцией, которую необходимо произвести при таком укрупнении, остается изменение масштаба, что заметно упрощает работу в приложениях.1.6Калибровочные соотношения при двухшаговомукрупнении триангуляцииКак отмечалось выше, двухшаговое укрупнение триангуляции оказывается полезным для приложений, поскольку оно не требует поворота системы координат, а только лишь изменения масштаба.

В связи с этим, полезно иметь явновыведенные калибровочные соотношения для базовых элементов Зламала, со-39ответствующие двухшаговому укрупнению.Итак, продемонстрируем какой вид имеют соотношения, связывающие девять базовых элементов, в носители которых входят ходя бы один из треугольников (36) с базовыми элементами, определенными на треугольниках (33).Как обычно, через ωx,y будем обозначать базовый элемент определенныйна исходной мелкой триангуляции, а через ωex,y — базовый элемент построенныйна укрупненной триангуляции. В качестве индексов базовых элементов будемздесь использовать декартовы координаты x, y центрального узла соответствуe 1,ющего базового элемента.

Первый треугольник из таблицы (33) обозначим Te 2.а второй, соответственно TБазовые элементы ωex−2,y+2 и ωex+2,y−2 представляют собой фрагменты паe1 и Te 2 . Калибровочные соотношераболических цилиндров на треугольниках Tния выразятся следующими равенствами:ωex−2,y+2 =ωex+2,y−2 =ωx−2,y+2 + 83 · (ωx−2,y+1 + ωx−1,y+1 ) −− 81 · (ωx−2,y−1 + ωx−1,y−1 +e 1,+ ωx,y−1 + ωx+1,y−1 ), t ∈ Tωx−2,y+2 + 83 · (ωx−1,y+2 + ωx−1,y+1 ) −− 81 · (ωx+1,y+2 + ωx+1,y+1 +e 2.+ ωx+1,y + ωx+1,y−1 ), t ∈ Tωx+2,y−2 + 83 · (ωx+1,y−1 + ωx+1,y−2 ) −− 81 · (ωx−1,y+1 + ωx−1,y +e 1,+ ωx−1,y−1 + ωx−1,y−2 ), t ∈ Tωx+2,y−2 + 83 · (ωx+1,y−1 + ωx+2,y−1 ) −− 81 · (ωx−1,y+1 + ωx,y+1 +e 2.+ ωx+1,y+1 + ωx+2,y+1 ), t ∈ TСледующие четыре базовых элемента представляют собой фрагменты седловых поверхностей второго порядка. Элементы ωex−2,y и ωex,y−2 определены наe 1,треугольнике Tωex−2,y = ωx−2,y +11· (ωx−1,y + ωx−1,y−1 ) + · ωx,y−1 ,24ωex,y−2 = ωx,y−2 +11· (ωx−1,y−1 + ωx,y−1 ) + · ωx−1,y ,2440e 2,а элементы ωex,y+2 и ωex+2,y определены на треугольнике Tωex,y+2 = ωx,y+2 +11· (ωx,y+1 + ωx+1,y+1 ) + · ωx+1,y .2411· (ωx+1,y+1 + ωx+1,y ) + · ωx,y+1 .24Два базовых элемента, ωex−2,y−2 и ωex+2,y+2 , расположенные напротив обe1 и Te 2 гипотенузы, представляют собой фрагментыщей для треугольников Tпараболического цилиндра следующего вида:ωex+2,y = ωx+2,y +ωex−2,y−2 = ωx−2,y−2 +−1· (ωx−2,y+1 + ωx−1,y + ωx,y−1 + ωx+1,y−2 ),8ωex+2,y+2 = ωx+2,y+2 +−3· (ωx−2,y−1 + ωx−1,y−2 ) −83· (ωx+1,y+2 + ωx+2,y+1 ) −81· (ωx−1,y+2 + ωx,y+1 + ωx+1,y + ωx+2,y−1 ).8Областью определения базового элемента ωex,y является объединение треe1 и Te 2 .

Сам элемент представляет собой объединение фрагментовугольников Tседловой поверхности, расположенных симметрично отностительно разделяющей треугольники общей гипотенузы.ωex,y =ωx,y + 12 · (ωx−1,y + ωx,y−1 ) +e 1,+ 41 · ωx−1,y−1 , t ∈ Tωx,y + 12 · (ωx,y+1 + ωx+1,y ) +e 2.+ 41 · ωx+1,y+1 , t ∈ T412Симплициальное подразделения слоя в R3и аппроксимация ЗламалаРазбиение области задания аппроксимируемой функции на непересекающиесяподобласти является одним из ключевых моментов при решении задачи аппроксимации.

В настоящей работе рассматривается исключительно правильноесимплициальное подразделение, которое является одним из важнейших и частовстречающихся способов разбиения. Напомним, что множество узлов симплициального подразделения называется сеткой и обозначается X.В одномерном случае R1 , сетка есть последовательность точек, расположенных на прямой. Прямая при этом подразделяется на множество интервалов, лежащих между узлами сетки.

При необходимости локального укрупнениясетки, соответствующий узел выбрасывается, а интервалы, разделяемые этимузлом, объединяются.Для двумерного случая R2 ситуация несколько усложняется, посколькупроизвольная правильная триангуляция, вообще говоря, не может быть локально укрупнена с сохранением правильности. Одним из подходов в данном случаеможет являться использование триангуляции специального вида, например, какэто сделано в [2] (см. также предыдущие главы настоящей работы).2.1О прямых обобщениях специальной триангуляциив пространстве R3Существенным свойством, которым обладает интервал в R1 является возможность разбить его на два меньших интервала, каждый из которых подобен исходному.

Это свойство позволяет производить как измельчение сетки, так и обратный процесс — укрупнение.В R2 любой треугольник может быть разбит на пару непересекающихсятреугольников, поэтому правильная триангуляция может быть локально измельчена. Однако, как уже упоминалось выше, укрупнение сетки не удаетсяпроизвести так же просто, как в R1 .Покажем, как выбор триангуляции специального вида помогает преодолеть это затруднение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник.

Он может быть разбит на пару меньших треугольников, каждый из кото-42рых подобен исходному.Рис. 4: Последовательное укрупнение триангуляцииОбратно: пара одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников может быть объединена в один больший треугольник, подобный меньшим,если меньшие треугольники пересекаются по одному общему катету, а другиеих катеты лежат на одной прямой (cм.

рис. 4). Дополнительные ограниченияна триангуляцию позволяют производить укрупнение в несколько приемов, переходя ко все бóльшим областям.Можно заметить, что приведенная триангуляция не является единственно возможной, допускающей локальное укрупнение. Другим примером можетслужить триангуляция, построенная из прямоугольных треугольников с соот√ношением сторон 1 : 3 : 2 (cм. рис. 5).Рис.

5: Специальная асимметричная триангуляцияТакая триангуляция, однако, менее удобна в применении ввиду дополнительной асимметрии, приводящей к тому, что разбиение некоторых треугольников нарушает правильность триангуляции.Вопрос о возможности локального укрупнения симплициального подразделения в R3 является весьма актуальным. К сожалению, непосредственноеприменение подхода аналогичного изложенному выше, применяемому в случаеменьшего числа измерений, наталкивается на трудности, а именно — на невозможность построить трехмерный невырожденный симплекс, который можнобыло бы разбить на два меньших симплекса подобных исходному.Здесь уместно также указать на полученный в [72] результат. Будем гово-43рить, что подразделение симплекса является подразделением «красного»4 типа,если оно сохраняет углы.

Характеристики

Список файлов диссертации