Диссертация (1149786), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Программный интерфейс (API) разработантаким образом, чтобы он хорошо сочетался с поддержкой технологии Streams,которая появилась в языке Java 8 [65, 67]. Эта технология позволяет использовать встроенную в стандартный инструментарий JDK3 поддержку параллельныхвычислений. В компьютерном приложении реализован графический пользовательский интерфейс для наглядной демонстрации производимых преобразований. Его основные составные части включают в себя поле для графическогоотображения подразделения и форму для ввода параметров преобразования.В заключении сформулированы основные результаты проведенного в работе исследования.В приложениях приведена информация технического характера, необходимая для полноты доказательства доказанной в работе теоремы.Благодарность.

Диссертант выражает глубочайшую признательностьсвоему научному руководителю профессору Ю. К. Демьяновичу за неоценимуюпомощь в постановке задач, указании на пути исследования, внимательное от2Структуры, аналогичные полученным в данной главе, были получены при рассмотрении задачи заполнения эвклидова пространства тетраэдрами в работе Д. Соммервиля (см. [88]).

Вопросы измельчения подразделений, приводящие к подобным структурам исследовались в работах М. Крыжека, С. Коротова (см.[69, 70, 71, 73]) и др.3Java Development Kit, комплект разработчика приложений языка Java.17ношение к полученным результатам, а также за поддержку в течении всеговремени подготовки данной работы.Предварительные сведения и обозначенияПусть Ω — область, лежащая в n-мерном эвклидовом пространстве Rn . Нампотребуется вектор-функция ϕ(t) класса C ∞ (Ω). Размерность функции ϕ обозначим dim(ϕ); она зависит от n и от применяемой аппроксимации. Так, дляаппроксимации Куранта размерность dim(ϕ) = n + 1. Нетрудно видеть, что дляаппроксимации Зламала справедливо равенство dim(ϕ) = 1 + 12 (n2 + 3n).

Компонентами ϕ являются линейно-независимые полиномы степени не больше двух.В двумерном случае функцию ϕ можно выбрать такой2defϕ(t) =1 t1 t2 t12t22t1 t2T,(1)где t1 и t2 — координаты точки t. При n = 3 функция ϕ может быть выбрана,например, такой3defϕ(t) =1 t1 t2 t3 t12t22t32t1 t2 t1 t3 t2 t3T,(2)где t1 , t2 и t3 — координаты t в R3 .Необходимо заметить, что существенным свойством компонент функцииϕ(t) является их линейная независимость. Коль скоро это свойство соблюдено,мы вольны выбирать их любым образом, чтобы упростить вычисления и выкладки.Область Ω считаем далее симплициально-подразделенной.

Соответствующий симплициальный комплекс будем обозначать Z. При рассмотрении R2 ,когда симплициальное подразделение является триангуляцией, будем также использовать обозначение T, как это делалось во многих других работах по этойтеме. В рамках данной работы полагаем, что рассматриваемое симплициальноеподразделение содержит не более чем счетное число симплексов.Совокупное множество вершин и середин граней симплексов обозначимчерез X, а сами элементы этого множества — через tj , j ∈ J0 , где J0 — некотороемножество индексов. Множество J0 называется сеткой, точки tj — узлами этойсетки.

Совокупность вершин и середин сторон симплекса S обозначим через XS ,18а множество индексов, соответствующих этим узлам, через JS , т. е.defXS = {tj | tj ∈ Cl(S), j ∈ J0 },defJS = {j | tj ∈ Cl(S), j ∈ J0 },где символ Cl(S) обозначает замыкание симплекса S. Для треугольника T будемиспользовать аналогичные обозначения XT и JT с тем же смыслом.Объединение замыканий симплексов инцидентных узлу tj обозначим Sj .Если узел tj — вершина симплекса, то Sj называется телом барицентрической звезды для этого узла. Если узел tj — середина ребра симплекса, то Sjпредставляет собой объединение замыканий симлексов, для которых это реброобщее.

Совокупность внутренних точек из Sj обозначается S0j .Матрицу с вектор-столбцами a, b, . . . , d ∈ Rm обозначим (a, b, . . . , d),а если эта матрица квадратная, то det(a, b, . . . , d) обозначает ее определитель.Будем обозначать i-ю компоненту вектора квадратными скобками с нижниминдексом i. Так, например, [a]i обозначает i-ю компоненту вектора a ∈ Rm , такчто a = ([a]1 , [a]2 , . . . , [a]m )T .На каждом симплексе S введем локальную нумерацию, используя началонатурального ряда чисел. Соответствующее взаимно-однозначное отображениеобозначимχS : {1, 2, . . . , 10} → JS .Введем еще пару удобных обозначений.

Пустьdefdϕ,S = det(ϕ(tχS (1) ), ϕ(tχS (2) ), . . . , ϕ(tχS (10) )),dϕ,S,i,Vdef= det(ϕ(tχS (1) ), ϕ(tχS (2) ),. . . , ϕ(tχS (10) ) xi V ),где xi V означает замену i-го по счету столбца в рассматриваемом определителе на столбец V .TdefБудем также использовать вектор Dl = δ1 l δ2 l · · · δ10 l, l ∈ {1, 2,. . . , 10}, где δkl — символ Кронекера:(defδkl =1, k = l,0, k =6 l.191Аппроксимационные и калибровочныесоотношения для функций Зламала(двумерный случай)В рамках этой главы Ω представляет собой конечную область в R2 , полностьюпокрытую целым числом треугольников.

Совокупность треугольников T образует триангуляционный комплекс T.Для определения аппроксимации Зламала в двумерном случае заметим,что существует два принципиально различных типа узлов сетки. К первому типу относятся вершины треугольников, образующих триангуляцию, а ко второмутипу — середины сторон треугольников. В силу правильности триангуляции,множества указанных двух типов узлов не пересекаются.Таким образом, с каждым треугольником связаны ровно шесть базовыхэлементов Зламала, принимающие на нем ненулевые значения: три первого типаи три второго типа.1.1Аппроксимационные соотношенияВ данной главе ради простоты шестикомпонентную функцию (1) будем обозначать просто ϕ(t). Для каждой точки t ∈ Ω рассмотрим следующие соотношения:Xϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t).(3)j∈J0Эти соотношения определяют функции ωj — базовые элементы Зламала дляданной сетки X. Узел tj называется центральным для базового элемента ωj .В своем центральном узле функция ωj принимает значение ωj (tj ) = 1.

Внезамыканий треугольников, инцидентных узлу tj положимωj (t) ≡ 0,t∈/ Sj .(4)Носителем функции ωj является множество Sj . Из невырожденности треугольников составляющих триангуляцию следует, что базовые элементы определеныоднозначно.Будем искать выражение элементов Зламала на треугольнике T в виде20ωj (t) = υjT T · ϕ(t), где вектор υjT ∈ R6 . Учитывая еще (4), получаем(ωj (t) =υjT T · ϕ(t), t ∈ T ⊂ Sj ,0, t ∈ Ω \ Sj ,(5)Решая соответствующие системы линейных уравнений, получаем[υjT ]k =dϕ,T,k,Dχ−1 (j)Tdϕ,T, где k ∈ {1, . . .

, 6}.(6)PЗаписывая скалярное произведение из (4) как сумму k [υjT ]k [ϕ(t)]k , и подставляя в полученное выражение точки t из множества XT , с учетом условияωk (tl ) = δkl , получим шесть систем уравнений, решение которых и дает (6).1.2Калибровочные соотношения для однократногоизмельчения триангуляцииТипичным способом измельчения триангуляции является добавление одного нового узла во внутреннюю точку ребра исходной неукрупненной триангуляции.В том случае, когда это ребро лежит на границе триангулированной области,существует ровно один треугольник, стороной которого является разбиваемоеребро. В противном случае, таких треугольников два. Напомним, что мы имеемдело только с правильной триангуляцией. Итак, после добавления нового узлана ребро, каждый треугольник, стороной которого является указанное ребро,разбивается на два меньших треугольника.

Новый узел становится вершинойкаждого из получившихся меньших треугольников.Как было показано в [34], пространство аппроксимирующих функций,построенное на исходной, крупной триангуляции, вложено в пространство аппроксимирующих функций, построенное на триангуляции, измельченной указанным выше способом. Доказательство этого утверждения (см. [34, лемма 1])проводится за счет отождествления пространства аппроксимирующих функцийс пространством кусочно-полиномиальных не более чем второй степени, непрерывных функций, и использовании того факта, что аппроксимация Зламалаполинома второй степени является точной. Нетрудно установить истинностьестественного обобщения указанного утверждения на случай измельчения произвольного правильного симплициального подразделения в R3 , а также и на21большее число измерений, когда дробление достигается помещением нового узла во внутреннюю точку одномерного ребра симплициального подразделения,а все симплексы, для которых это ребро является общим, делятся на два меньших секущей плоскостью, проходящей через новый узел.В частности, приведенное утверждение позволяет выразить базовые элементы измельченной триангуляции через базовые элементы исходной триангуляции.

Характеристики

Список файлов диссертации