Диссертация (1149786)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиГЕРАСИМОВ ИВАН ВЛАДИМИРОВИЧМОДЕЛИРОВАНИЕ АДАПТИВНЫХСПЛАЙН-ВСПЛЕСКОВ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХИ ТРЕХМЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ05.13.18 — математическое моделирование,численные методы и комплексы программДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физ.-мат. наук, профессорДемьянович Юрий КазимировичСанкт-Петербург20162ОглавлениеВведение41 Аппроксимационные и калибровочные соотношения для функций Зламала (двумерный случай)191.1 Аппроксимационные соотношения . . . . . .
. . . . . . . . . . . .191.2 Калибровочные соотношения для однократного измельчения триангуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3 Задача локального укрупнения правильной триангуляции . . . .221.4 Калибровочные соотношения при локальном укрупнении триангуляции . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.5 Процедура мультишагового укрупнения триангуляции. . . . . .351.6 Калибровочные соотношения при двухшаговом укрупнении триангуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 Симплициальное подразделения слоя в R3 и аппроксимацияЗламала412.1 О прямых обобщениях специальной триангуляции в пространстве R3 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.2 Построение симплициального подразделения специального вида .452.3 Укрупнение симплициального подразделения . . . . . . . . . . . .492.4 Аппроксимационные соотношения . . . . . . . . . . . . . . .
. . .522.5 Калибровочные соотношения для измельчения симплициальногоподразделения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.6 Калибровочные соотношения для укрупнения симплициальногоподразделения . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552.7Калибровочные соотношения при дроблении симплициальногоподразделения в случае плоско-параллельного сечения слоя . . .5732.8 Замечания о калибровочных соотношениях . . . . . . . . . . . . .3 Трехмерное локально-укрупняемое симплициальное подразделение60613.1 Изложение идеи симплициального подразделения . . . . . . . . .613.2 Формальное изложение специального симплициального подразделения в R3 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.3 Определение симплициального подразделения . . . . . . . . . . .673.4 Некоторые вспомогательные обозначения . . . . . . . . . . . . . .703.5 Базовое укрупнение симплициального подразделения . .
. . . . .753.6 Дополнительное укрупнение подразделения . . . . . . . . . . . . .793.7 Изоморфизм исходного и результирующего подразделений . . . .833.8 Об обобщении на случай иного числа измерений . . . . . . . . . .854 Компьютерное моделирование задачи построения симплициального подразделения специального вида864.1 Базовый интерфейс источника данных . . . . . . . . . . . .
. . . .864.2 Элементарные типы данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .874.3 Генерация исходного подразделения . . . . . . . . . . . . . . . . .944.4 Ограничение потока данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .974.5 Укрупнение подразделения . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .994.6 Приложение с графическим пользовательским интерфейсом . . . 103Заключение105Список литературы109Приложение A119Приложение Б1444ВведениеС широким распространением цифровых технологий и в связи с научно-техническим прогрессом непрерывно возрастают объемы числовых информационныхпотоков, передающихся по компьютерным сетям и обрабатываемых вычислительными системами. Математические модели могут представляться цифровыми потоками, имеющими значительный объем. В связи с этим стали актуальными различные методы сжатия информации, как без потери информации(кодирование Шеннона-Фэно, Хемминга, исправляющие коды Хаффмана, кодыРида-Соломона и др.) [51, 61, 64, 80, 86], так и сжатие с контролируемой потерей информации при использовании различных вариантов аппроксимации и интерполяции (сплайны, конечно-элементная аппроксимация, связанные с именами Шонберга, Зенкевича, Куранта, Стрэнга, Михлина) [32, 40, 52, 84, 90, 91].В определенном смысле промежуточное положение занимают вейвлетные разложения: по исходному потоку числовой информации генерируется два потока: так называемый основной поток, содержащий основную часть интересующей информации и всплесковый (вейвлетный) поток, содержащий уточняющую информацию.
Для построения адекватной математической модели, часто достаточно передать по линиям связи лишь основной поток, а уточняющую информацию (вейвлетный поток) можно передать позже (или вообще непередавать). Вейвлетное разложение характеризуется двумя неотъемлемымисвойствами: 1) по основному и всплесковому потокам однозначно восстанавливается исходный поток, что позволяет при необходимости вернуться к исходной, более точной математической модели, 2) сумма размерностей пространства основных потоков и пространства всплесковых потоков равна размерностипространства исходных потоков.
Для всплескового разложения существенналокальность координатных функций: локальные координатные функции (т.е.координатные функции с малым носителем) позволяют проводить локальныеуточнения основного потока по требованию адресата, передавая лишь соответствующую часть уточняющего (всплескового) потока. На пути получениялокальности или полулокальности координатных функций (полулокальностьздесь означает достаточно быстрое убывание координатных функций на бесконечности) в классической теории всплесков приходится преодолевать большиетрудности, однако, эта проблема получила лишь частичное решение (см.
[39]).5Весьма существенна вычислительная сторона: формулы разрабатываемых численных методов должны быть достаточно просты, в частности, не связанныс вычислением прямого и обратного преобразований Фурье, а также с предельным переходом в бесконечном произведении, как это приходится делатьв классической теории вейвлетов, ибо численная реализация этих преобразований вносит погрешности и требует значительных компьютерных ресурсов.Исходный поток восстанавливается приближенно по основному потоку (без привлечения всплескового потока), что фактически позволяет произвести заменудискретной математической модели ее менее требовательным к ресурсам приближением.
Таким образом, весьма существенны аппроксимативные свойстваосновного потока: чем выше его аппроксимативные свойства, тем больше возможностей уменьшить объем основного потока, сохраняя заданную точностьупомянутого восстановления (без всплескового потока). Как известно, гибкими аппроксимативными свойствами обладают пространства сплайнов: вычислительные методы, основанные на сплайнах, позволяют выбрать нужный порядок аппроксимации (который оказывается асимптотически оптимальным поN -поперечнику стандартных компактов) и выбрать подходящую (вообще говоря, неравномерную) сетку в зависимости от характеристик изменения поступающего потока (сохраняя исходную сетку в областях быстрого изменения потокаи разрежая ее в областях его медленного изменения).
Таким образом, исходныйпоток (как правило) связывается с равномерной сеткой и со сплайном — элементом выбранного пространства сплайнов на этой сетке. Основной поток связывают со сплайном из вложенного пространства, построенного на вложенной (болеекрупной и, возможно, неравномерной) сетке. В одномерном случае основнымизадачами являются: выбор пространств сплайнов, на исходной и на вложеннойсетках (так чтобы пространство на вложенной сетке было подпространствомпространства на исходной сетке) и выбор алгоритма локального укрупненияисходной сетки (в зависимости от скорости изменения исходного потока). Дляразмерностей больше единицы укрупнение исходной сетки представляет определенную проблему. Дело в том, что наиболее удобные и часто встречающиесяаппроксимирующие пространства (Куранта, Зламала, Женишека, Аргириса)[44, 47, 52, 94, 95, 96, 97] связаны с правильной (в топологическом смысле)триангуляцией или с симплициальным подразделением (в двумерном и трехмерном случаях соответственно), но не каждое из таких подразделений допус-6кает локальное укрупнение с сохранением свойства правильности (в частности,триангуляция, широко используемая в методе конечных элементов не можетлокально укрупняться).В данной работе предлагается моделирование адаптивных сплайн-всплесков для двумерных и трехмерных потоков.
В основе такого моделирования лежат алгоритмы построения триангуляций и симплициальных подразделений,которые допускают рекурсивное локальное укрупнение. В результате удаетсяпостроить цепочки вложенных пространств (Р. Куранта и М. Зламала) и получить сплайн-всплесковые разложения этих цепочек.Историческая справкаВ классической теории вейвлетов используется кратно-масштабный анализ. Рассматриваются вейвлетные разложения, основанные на вейвлетах Хаара [60],а также другие мультивейвлетные базисные функции.
Классический вейвлетный анализ базируется на непрерывном и дискретном преобразованиях Фурье,с помощью которых можно сформулировать вейвлет преобразования, используялинейные преобразования аргумента единственной функции и ограничиваясьтем самым лишь равномерными сетками на вещественной оси и, как правило,лишь пространством L2 (см., например, [39]).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
