Диссертация (1149786), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В случае одномерного пространства, как видно, локальное укрупнение достигается простым выбрасываниемодного или более узлов.Для обеспечения возможности построения сплайн-всплескового разложения в двумерном случае, необходимо определить дополнительные ограниченияна используемую триангуляцию. Значительное число работ посвящено вопросам возможности измельчения и укрупнения триангуляции с сохранением правильности, а также о свойствах триангуляции, пригодной для разбиения двумерных областей (см., например, [1, 33, 35, 36, 56, 89]).В работах [29, 42, 43] была использована триангуляция специального вида,допускающая локальное укрупнение.
Использование указанной триангуляциипозволяет произвести сплайн-всплесковое разложение с получением вложенности пространств Куранта и Зламала [4, 29].В настоящей работе предлагается алгоритм построения симплициального подразделения, обладающего способностью к локальному укрупнению, чтопозволяет произвести сплайн-вейвлетное разложение функции, заданной на соответствующей трехмерной области. Схожие вопросы проявляются в задачах,связанных с методом конечных элементов и другими разделами математики,где, однако, чаще требуется рассматривать измельчения сетки (см. [3, 45, 46, 48,63, 69, 71, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 83, 92, 93]).
Необходимо отметить, что структуры,аналогичные полученным в настоящей работе, были описаны при рассмотрении проблемы заполнения эвклидова пространства тетраэдрами [59, 70, 88, 89].В данной работе, из использования подразделений указанного вида выстраивается алгоритм укрупнения симплициального подразделения, пригодный дляпроведения схемы построения сплайн-всплескового разложения.Целью диссертационной работы является разработка новых методовэффективного математического моделирования сплайн-всплесков для цифровых сигналов, имеющих двумерную или трехмерную структуру. Для построения модели, с исходным сигналом связывается функция, для приближениякоторой применяется аппроксимация Зламала, в связи с чем область заданияфункции симплициально подразделяется.
Для обеспечения возможности про-13вести сплайн-вейвлетное разложение, важно предоставить механизм динамического изменения степени дробления симплициального подразделения, сохраняя,по возможности, локальность указанного изменения. Существенной также является возможность повторного изменения степени дробления подразделения,в особенности — укрупнения. В связи с этим, целью настоящей работы такжеявлялась разработка алгоритма построения локально укрупняемого симплициального подразделения, обладающего рекурсивным свойством.К методам исследования, используемым в диссертационной работе относятся методы линейной алгебры, теории функции вещественного переменногои комбинаторики. Для построения базисных элементов Зламала используется метод аппроксимационных соотношений. Для проектирования и реализациипрограммного обеспечения применяются принципы объектно-ориентированного программирования с элементами поддержки функционального программирования.Основные результаты, выносимые на защиту1.
Новые математические модели симплициального подразделения плоскогослоя и его локального двумерного укрупнения.2. Калибровочные соотношения для функций Зламала, соответствующие однократному локальному измельчению триангуляции, а также одношаговомуи двухшаговому укрупнению триангуляции специального вида.3. Алгоритмы построения симплициальных подразделений трехмерной области, которые допускают трехмерное локальное укрупнение, порождают вложенные пространства Куранта и Зламала, а также приводят к адаптивномуразложению исходного цифрового потока.4. Комплекс программных интерфейсов и конкретных классов, реализующихкомпьютерное моделирование адаптивного построения симплициального подразделения предложенного в работе вида.
Возможность параллелизма вычислений, как результат примененной технологии.Научная новизна. Все результаты диссертационной работы, выносимыена защиту и представленные выше в пунктах 1–4, получены впервые и обладаютновизной.Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет в основном теоретическую направленность. В числе теоретических результатов предло-14жены и описаны два метода построения симплициального подразделения плоского слоя специального вида, а также метод построения симплициального подразделения трехмерной области, допускающий укрупнение в трех направленияхи обладающий рекурсивным свойством.Полученные результаты представляют также практический интерес. Рассмотренные аппроксимации функций двух и трех переменных могут быть использованы для разработки высокопроизводительных алгоритмов обработкинасыщенных потоков данных с учетом локальных особенностей функций и областей их определения.
Представленный в работе программный комплекс позволяет обеспечить параллельную обработку данных, что подтверждает важноепрактическое значение полученных результатов.Публикации по материалам диссертации. Материалы, содержащиеосновные результаты диссертационной работы, изложены в 4 опубликованныхв печати работах [4, 5, 6, 19], 3 из них — в рецензируемых изданиях, входящихв список ВАК [4, 5, 19].Работа [19] выполнена в соавторстве с научным руководителем, профессором Ю.
К. Демьяновичем. В указанной публикации диссертанту принадлежит идея алгоритма построения симплициального подразделения, подробнорассмотренного в третьей главе диссертационной работы.Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на семинарах кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета СПбГУ, кафедры компьютерных технологий и программной инженерии ГУАП, доложены на семинаре по вычислительной математикепри СПбПУ, а также представлены в виде докладов на 45-й конференции «Процессы управления и устойчивость» в 2015 году и конференции СПИСОК-2016.Структура и объем работы. Диссертация объемом 148 страниц состоит из введения, четырех глав с основными результатами, заключения, спискалитературы, двух приложений. В работе имеется 17 рисунков.
Список литературы содержит 97 наименований.Содержание работы. Введение содержит описание областей знаний,в которых проявляется задача вейвлетного разложения на пространствах Зламала, обзор текущего состояния исследований на эту тему. Во введении поставлены цели и задачи работы, сформулированы основные результаты и положения, выносимые на защиту.15В первой главе рассматриваются вопросы, возникающие при построении всплескового разложения функций, заданных на двумерных триангулированных областях. В настоящей работе рассматривается вопрос укрупнениятриангуляции, для чего привлекается триангуляция специального вида. Знаниеструктуры используемой триангуляции позволяет получить явные выражениядля координатных функций, а также найти калибровочные соотношения, справедливые при переходе от базиса связанного с исходной триангуляцией к базису, построенному на укрупненной триангуляции.
Также в первой главе получены результаты исследования важного для приложений вопроса о двухкратномукрупнении триангуляции; они позволяют исключить из преобразования поворот, и сохраняют лишь изменение масштаба.Во второй главе дано обобщение результатов, полученных для двумерных областей на случай трех измерений. Полученный здесь результат важендля построения эффективного сплайн-вейвлетного разложения цифровых сигналов, обладающих естественной трехмерной структурой.В работах М.
Крыжека и С. Кротова (см. [72]) установлено, что при размерности пространства n > 2 невозможно разбить невырожденный n-мерныйсимплекс на конгруэнтные симплексы меньшего размера с сохранением углов.В настоящей работе установлено, что не существует такого разбиенияневырожденного симплекса S на два меньших симплекса S1 и S2 , каждый изкоторых может быть получен подобным преобразованием из S, где под подобным преобразованием симплекса понимается его сжатие (растяжение), равномасштабное по всем трем осям с возможным зеркальным отражением.
1Далее во второй главе работы предлагаются различные новые вариантыизмельчения симплициального подразделения трехмерного слоя; они базируются на вариантах триангуляции, рассмотренных в первой главе. Кроме того,здесь предложены два новых метода подразделения призм, обеспечивающих согласованность разбиения, и одновременно позволяющих произвести повторноесогласованное разбиение укрупненных призм. Здесь же получены в явном видекоординатные функции аппроксимации Зламала и выписаны соответствующиеаппроксимационные соотношения.В третьей главе предложен способ построения симплициального подразделения трехмерных областей, допускающий локальное укрупнение вдоль1В отличие от упомянутой выше теоремы, мы не требуем конгруэнтности результирующих симплексов.16всех трех измерений,2 использование которого позволяет провести адаптивноевсплесковое разложение цифрового сигнала.
Построенный в диссертационнойработе алгоритм укрупнения симплициального подразделения обладает важным свойством рекурсивности.В четвертой главе приведены результаты компьютерного моделирования задачи построения симплициального подразделения специального видав двумерном и трехмерном случаях. Моделью является симплициальное подразделение представленное неориентированным графом.
Был разработан и реализован общий программный интерфейс для подразделения. В качестве простейших его реализаций определены конкретные классы, задающие симплициальное подразделение специального вида без явно заданных ограничений области. Наследуемыми классами следующего уровня реализована возможностьзадавать границы области либо явно (например, как простой параллелепипед),либо по более сложным условиям, включающим в себя вычисления оценок дляотдельных узлов. На следующем этапе реализована возможность производитьмодификацию части симплициально подразделенной области либо путем измельчения, либо за счет укрупнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
