Диссертация (1149786), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Далее мы продемонстрируем три шага укрупнениясимплициального подразделения, каждый из которых приводит к уменьшениюколичества симплексов в ограниченной подобласти симплициально подразделенной области. Завершающий, третий, шаг укрупнения приводит к укрупненному подразделению, топологически изоморфному исходному.3.1Изложение идеи симплициального подразделенияИсходное подразделение. Определим подразделение конечной области пространства R3 , которое будем считать исходным. Вначале разобъем всю область62кубической сеткой с помощью трех семейств секущих плоскостей.
Для простоты изложения предположим, что шаг сетки по всем трем измерениям равен 1.Этого всегда можно добиться подходящим выбором масштаба. Предположимтакже, что интересующая нас область полностью накрыта целым числом единичных кубов (если бы это было не так, мы ограничились бы рассмотрениемподобласти, обладающей необходимым свойством, не рассматривая пограничную подобласть).Далее, разобъем каждый единичный куб следующим образом. Возьмемточку, лежащую в центре куба, и положим ее вершиной шести пирамид, основаниями которых являются грани куба.Каждую из этих пирамид можно разбить на четыре симплекса двумясекущими плоскостями. Таким образом каждый куб подразделяется на 24 симплекса.Рис. 13: Разбиение куба на 24 симплексаДиагонали каждой грани куба являются ребрами подразделения.
Очевидно, что симплициальное подразделение каждого куба согласовано с подразделением всех соседних кубов, так что свойство правильности подразделениясоблюдено.Первый шаг укрупнения подразделения. Нетрудно видеть, что подразделение пирамиды, основанием которой является грань куба, может бытьукрупнено одним из двух способов. В каждом из них, вместо четырех симплексов, составляющих пирамиду, остается два симплекса. Такое укрупнениеподразделения пирамиды не затрагивает остальные пять пирамид, образующих куб, но должно производиться согласованно с укрупнением подразделенияпирамиды, принадлежащей соседнему кубу.63Рис. 14: Два варианта укрупнения подразделения пирамидыВажным замечанием является то, что за счет указанного укрупнения возможно на любой грани куба оставить только одну из двух диагоналей.Второй шаг укрупнения подразделения.
Рассмотрим теперь кубK большего размера состоящий из восьми единичных кубов. Подразделениеединичных кубов можно произвести так, что «рисунок» образованный ребрамиподразделения на гранях куба K, будет соответствовать исходному подразделению единичного куба.Рис. 15: Согласованное укрупнение подразделения восьми кубовЕдинственным отличием рисунка является наличие на гранях пересекающихся прямых, параллельных ребрам куба, но это отличие в настоящий моментдля нас не существенно.Отметим, что за счет одновременного укрупнения подразделения единичных кубов, составляющих K, количество симплексов уменьшается вдвое со192 до 96.
Разумеется, единичные кубы, соседние с K требуют согласованногоукрупнения, что всегда возможно ввиду сделанного выше замечания.Теперь произведем собственно второй шаг укрупнения, который заключа-64ется в изменении внутреннего подразделения куба K с сохранением рисунка наего шести гранях. А именно, возьмем центральную точку K и построим шестьпирамид, основаниями которых являются грани куба. Рисунок на гранях кубаоднозначно задает подразделение каждой пирамиды на восемь симплексов.
Навтором шаге укрупнения количество симплексов, образующих K уменьшаетсяс 96 до 48.Третий шаг укрупнения куба K возможен в том случае, если подразделение всех соседних с K кубов было произведено аналогичным образом.В этом случае, в каждой пирамиде, построенной на грани куба K с вершиной в его центре, объединяются те пары симплексов, которые разделены гранью между единичными кубами исходного подразделения. Разумеется, соседниес K большие кубики требуют согласованного укрупнения подразделения, чтовозможно в силу сделанного выше предположения.Рис. 16: Финальный шаг укрупненияЛегко видеть, что укрупненное подразделение куба K, топологически эквивалентно исходному подразделению единичного куба.
На этом шаге количество симплексов составляющих K уменьшается с 48 до 24. Если достаточно большое количество единичных кубов было подвергнуто приведенной вышепроцедуре, процесс укрупнения можно продолжать и далее до достижения желаемой степени дробления.653.2Формальное изложение специальногосимплициального подразделения в R3Вначале изложим некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего изложения.Набору симплексов (симплициальному комплексу) будем сопоставлятьчетырехстолбцовую таблицу инциденций, в которой каждая строка содержитмножество вершин одного из симплексов, а число строк равно числу рассматриваемых симплексов (строки, дублирующие представление одного симплексаисключаются).
Таблицы, отличающиеся порядком строк или/и порядком вершин в строках, представляют один и тот же симплициальный комплекс; такиетаблицы считаем эквивалентными, так что все множество таблиц распадаетсяна классы эквивалентных таблиц, называемые табличными классами. Количество элементов (таблиц) в табличном классе равно (24)k K !, где K — числосимплексов рассматриваемого комплекса. Любая таблица данного табличного класса называется его представителем; таблица полностью определяет табличный класс. Соединением двух таблиц назовем приписывание строк второйтаблицы под строками первой с исключением дублирующих строк (порядокисключения значения не имеет).
Пусть N — множество правильных симплициальных комплексов, содержащее объединение и пересечение любых двух из них,а N — множество соответствующих им табличных классов. Введем операциюсложения табличных классов в N. Под суммой двух табличных классов подразумевается такой табличный класс, представителем которого является таблица,полученная соединением двух таблиц — представителей этих классов. Опера.цию сложения табличных классов обозначим знаком + .Легко проверить, что операция сложения табличных классов введена корректно, и что она обладает свойствами ассоциативности и коммутативности,а объединению двух симплициальных комплексов из N однозначно соответствует сумма определяемых ими табличных классов.
Не нарушая корректности при сложении табличных классов можно оперировать их представителями,.ставя знак + между упомянутыми представителями.Итак, предъявляя таблицу инциденций, можно применять слова «табличный класс», а также слова «симплициальный комплекс»; этой вольностью иногда будем пользоваться в дальнейшем.66Предположим, что в пространстве R3 проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям и находящиеся на единичном расстоянии друг отдруга; будем считать, что множество этих плоскостей содержит координатныеплоскости.
В результате получим единичные (замкнутые) кубы, объединениекоторых исчерпывает R3 .В пространстве R3 трехмерных векторов рассмотрим множество Z3 векторов с целочисленными компонентами; через Z32 обозначим множество векторовс четными компонентами.Введем стандартные обозначения нулевого вектора и координатных ортовdef0 = (0, 0, 0),defi = (1, 0, 0),defdefj = (0, 1, 0),k = (0, 0, 1).ПоложимdefdefdefdefA = 0, B = i, C = i + j, D = j,A 0 = k, B 0 = B + k, C 0 = C + k, D 0 = D + k.defdefdefdefПусть Q1 — единичный (замкнутый) куб в R3 с вершинами A, B, C, D, A 0 , B 0 ,C 0 , D 0 .
Обозначим T r(s) трансляцию (операцию сдвига) на вектор s:T r(s)u = u + s ∀s, u ∈ R3 .Если M — некоторое множество трехмерных векторов, M ⊂ R3 , то положимdefT r(s)M = {u | u = v + s ∀v ∈ M }.Совокупность единичных кубов, исчерпывающих пространство R3 , обозначимQ∞1 ,def3Q∞1 = {T r(s)Q1 | s ∈ Z }.Введем еще одно обозначение, которое понадобится нам в дальнейшем. Куб Q2 ,полученный объединением сдвигов кубов Q1 опеределим следующим образом:defQ2 =[T r(s)Q1 ,(54)s∈LДалее, расмотрим совокупность Q∞2 кубов Q2 , исчерпывающих простран-67ство R3 ,3Q∞2 = {T r(s)Q2 | s ∈ Z2 }.defПусть Ω — некоторая область в R3 . Считая, чтоQ2 = {s | T r(s)Q2 ⊂ Ω, s ∈ Z32 }def— непустое множество, положимQ2 = {T r(s)Q2 | s ∈ Q2 },defdefM2 =[T r(s)Q2 ;(55)s∈Q2defпусть K = |Q2 | — число кубов Q2 , составляющих M2 . Область Ω будем называтьобластью локального укрупнения.3.3Определение симплициального подразделенияНам потребуется ряд точек, определяемых векторамиE = (A + C)/2,F = (A + B 0 )/2,I = (A + D 0 )/2,G = (B + C 0 )/2,E 0 = E + K,H = (C + D 0 )/2,Z = (A + C 0 )/2.В кубе Q1 с вершинами A, B, C, D, A 0 , B 0 , C 0 , D 0 рассмотрим симплициальное подразделение S1 , состоящее из 24 симплексов и имеющее таблицуинциденций bS1 :.
2 . b3 . b4 . b5 . b6bS1 = bS 1 +bS +S +S +S +S ;здесьZZdef1bS =ZZZZdefbS3 = ZZEEEEABCAHHHHCC0DCZ GB Z GCdef2, bS=Z GDZ GDZ I0 C D0 4 def Z I, bS=Z ID0 Z ID BCB0BAA0DAC C0 ,0 C B0 0 A D0 ,D0 D 68defbS5 = ZZZZFFFFABA0ABB0B0A0,defbS6 = ZZZZ0EE0E0E00AB0C0A00BC0D0D0.Каждая из только что перечисленных таблиц относится к одной из шести граней куба; каждая таблица определяет группу из четырех симплексов с «основанием» на соответствующей грани (обозначим ее Γ).
При таком подразделениикаждая из граней представляет собой квадрат с проведенными в нем диагоналями. Симплициальное подразделение куба с такой топологической структурой(и с такой геометрией) будем называть подразделением вида A.В дальнейшем рассматривается совокупность Q1 упомянутых кубов, содержащихся в некоторой области Ω пространства R3 ; считая, чтоQ1 = {s | T r(s)Q1 ⊂ Ω, s ∈ Z3 }def— непустое множество, положимQ1 = {T r(s)Q1 | s ∈ Q1 },defdefM1 =[Q1 .s∈Q1Будем считать, что любой куб из рассматриваемой совокупности кубовQ1 имеет симплициальное подразделение вида A: подразделение любого из нихможет быть получено параллельным переносом рассматриваемого куба на вектор s ∈ Q1 .
Ясно, что объединение рассматриваемых подразделений всех кубовсовокупности Q1 является топологически правильным симплициальным комплексом; этот комплекс обозначим M1 .Каждая из шести групп симплексов, определяемых соответствующимитаблицами bS i , i = 1, 2, . . . , 6, допускает два варианта укрупнения; например,первая из этих групп (характеризуемая таблицей bS 1 ) допускает такие вариантыукрупнения:Z A C B Z A B DbbS 1 −→ S 1 −→ ,.Z A C DZ B C DЗаметим, что каждое из этих укрупнений сохраняет топологическую правильность подразделения куба Q1 (они не требуют каких-либо изменений в осталь-69ных группах); при этом вместо двух диагоналей на рассматриваемой грани Γ сохраняется лишь одна из них. Однако, для сохранения правильности подразделения, получаемого из M1 , необходимо произвести аналогичное укрупнение ещев одном кубе — а именно, в кубе, для которого Γ — общая грань с кубом Q1 .Такое «совместное» укрупнение будем называть элементарным укрупнением.Очевидно, что элементарные укрупнения носят локальный характер в M1и приводят к правильному симплициальному подразделению (они не требуюткаких-либо дополнительных преобразований для сохранения правильности получаемого симплициального комплекса).Теперь преобразуем таблицу инциденций bS1 перестановкой строк; в результате получится новая таблица инциденций S1 , которая будет представлятьпрежний табличный класс и определять прежнее симплициальное подразделение куба Q1 :.....S1 = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 ;(56)здесьZ F AZ F BdefS1 = Z G B Z G B0Z I AA03 def Z IS =00Z E A Z E0 D0Z E AZ E BdefS5 = Z G BZ G CZB ZB0 , S2 def=ZB0 0 ZC Z0 A ZD0 , S4 def=ZD0 0 ZC ZB ZC , S6 def=ZC 0 ZC 0EE0FFIIHHEEHHA B B0 C0 ,A A0 00 A B 0 D D A D ,D D0 00 C D A D D C .C C0 C D 00(57)(58)(59)Справедливо следующее утверждение.Теорема 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
