Диссертация (1149786), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Результатом преобразований00S −→ A B B C ,1000S −→ A A B C ,2(60)70400000S −→ A A C D , S −→ A C D D ,6500S −→ A B C C , S −→ A C C D .3(61)(62)является таблица инциденцийS1−→def eS1 = AAAAAABA0A0C0BC0BB0C0DCC00CC0D0D0C0D,(63)e 1,определяющая правильный симплициальный комплекс, далее обозначаемый Sкоторый является вложенным укрупнением симплициального комплекса S1 .Доказательство. Для доказательства достаточно воспользоваться формулами (56) – (62); в результате получаем таблицу инциденций (63).3.4Некоторые вспомогательные обозначенияБлагодаря соотношению (54) симплициальное подразделение S1 куба Q1 порождает правильное симплициальное подразделение куба Q2 ; обозначим этоподразделение S2 .
Согласно второй из формул (55) множество M2 также подразделено, и это подразделение образует правильный симплициальный комплекс; этот комплекс обозначм M2 .Введем операции сдвига любой точки M ∈ R3 вдоль направлений i и j,используя символ (+) в качестве нижнего индекса при сдвиге на i и в качествеверхнего индекса — при сдвиге на j:defM(+) = M + i,M(+) = M + j.defПоложимI 0 = I + k,defF 0 = F + k,defG 0 = G + k,defZ 0 = Z + k.defСимплициальное подразделение S2 куба Q2 можно получить отражениями Pi , Pj , Pk симплициального подразделения S1 куба Q1 относительно плос-71костей трех его граней с множествами вершин {B, B 0 , C 0 , C},{C, C 0 , D 0 , D}, {A 0 , B 0 , C 0 , D 0 } соответственно.
Поскольку упомянутые отображения применимы к вершинам указанных подразделений, распространим этиотображения на таблицы инциденций (и на табличные классы), применяя ихк каждому элементу таблицы. Итак, табличный класс S2 , соответствующийсимплициальному подразделению S2 , может быть представлен формулой.......S2 = S1 + S1,i + S1,j + S1,i,j + S1,k + S1,i,k + S1,j,k + S1,i,j,k ,(64)гдеS1,i = Pi S1 ,defS1,j = Pj S1 ,defS1,i,k = Pi Pk S1 ,defS1,k = Pk S1 ,defS1,j,k = Pj Pk S1 ,defS1,i,j = Pi Pj S1 ,defS1,i,j,k = Pi Pj Pk S1 .defУчаствующие в формуле (64) табличные классы легко получаются из формул(56) – (59) использованием упомянутых отражений. Дадим представления этихклассов.1. Для таблицы инциденций S1,i имеем.....S1,i = S1i + S2i + S3i + S4i + S5i + S6i ;(65)здесь1 def Si = Z(+)Z(+)Z(+)Z(+)F(+)F(+)GGZ (+) I+ Z(+) I+defS3i = Z0 (+) E (+) Z(+) E 0(+)Z (+) E(+) Z(+) E(+)defS5i = Z (+) G Z(+) G,A+BBB0BB0B0C0A+A 0+A 0+A 0+D 0+D 0+0D 0+ CA+BBCBCCC02 def Si = Z(+)Z(+)E 0(+)E 0(+)A 0+0BB0C0Z(+) F(+) A+ A 0+Z(+) F(+) A 0+ B 0Z (+)def , S4 = Z(+)i Z (+) Z(+)Z (+)def , S6 = Z(+)i Z (+) Z(+)I+I+H(+)H(+)E(+)E(+)H(+)H(+),D+A+ D+ ,0 D+ D + C 0 D 0+ A+ D+ D+ C .0 C C C D+ D 0+722.
Для таблицы инциденций S1,j получаем.....S1,j = S1j + S2j + S3j + S4j + S5j + S6j ;(66)здесьdefS1j = (+)ZZ(+)Z(+)Z(+)+FF+G(+)G(+) Z(+) (+)ZdefS3j = Z(+) (+)Z Z(+) (+)ZdefS5j = Z(+) (+)Z+AB+B+B 0++A+A 0+A 0+D0E(+)E(+)G(+)G(+)A+B+B+CdefS2j = (+)ZZ(+)Z(+)Z(+)0(+)0+0+EE 0(+)F+F+AB 0+A+A 0+BC0A 0+B 0+ Z(+) I(+)A 0+ (+) (+)0 ZID def4,S=(+)jHD0 Z Z(+) HC0 Z(+) E(+)+ B (+) (+)C Edef , S6 = Z(+)jC HZ Z(+) HC0 DA+DC0D0DD0D0BB 0+B 0+C0I(+)I(+)E 0(+)E 0(+),A+DCCDCC0D,,.3. Для таблицы инциденций S1,i находим.....S1,i,j = S1i,j + S2i,j + S3i,j + S4i,j + S5i,j + S6i,j ;(67)где слагаемые имеют видdefS1i,j = B+ 0+ B ,B 0+ C0 defS2i,j = 0(+)0(+)Z(+) E (+) A++ B 0+ 0(+)(+)0+0 Z(+) E(+) BC ,0(+)++ Z(+) F+AA++ (+)0(+)++Z(+) F(+) A+ B 0+ 0+ A+A++ 0+A+ D 0+ ,0+0 A+ D + D 0+ C 0 defS4i,j = Z(+) I+(+)+Z(+) F+(+) A+(+)+Z(+) F+(+) B(+)Z(+) G(+) B+(+)Z(+) G(+) B 0+defS3i,j = (+)(+)(+)(+)Z(+) I+Z(+) I+(+)(+)(+)(+)Z(+) E0 (+)Z(+) E0 (+)(+)(+)(+)(+)Z(+) I+(+)Z(+) H(+)(+)Z(+) H(+)D+ D 0+ +A+ D+ ,0 D+ D + C 0 D 0+ 73defS5i,j = (+)(+)+ Z(+) E(+) A+B+(+)(+)+Z(+) E(+) B C ,(+)Z(+) G(+) B+ C (+)(+)Z(+) GC C0 defS6i,j = (+)(+)Z(+) E(+) A+D+ +(+)(+)Z(+) E(+) D+ C .(+)Z(+) H(+) C C 0 (+)Z(+) H(+) C D+ 4.
Ясно, что таблица инциденций S1,k может быть представлена в видесуммы.....S1,k = S1k + S2k + S3k + S4k + S5k + S6k ;(68)здесь Z0 0ZdefS1k = Z0 0Z Z0 0ZdefS3k = Z0 0Z Z0 0ZdefS5k = Z0 0Z000FF0G0G0AB 00B 00B0I0I0E0E0A 00A0A0D0E 00E 00G0G0A 00B 00B 00C 00 Z0B 00 ZB def2,S= 00 kB Z 0ZC0 Z00 A 00 ZD def4,S= 0 0kD Z 0ZC0 Z000 B 000 ZC def6,S= 00 0kC Z 0ZC0 0000EE0F0F0AB0A 00A0I0I0H0H0D 00A 00D 00C0E 00E 00H0H0A 00D 00C 00C 00B 0 C ,A0 0 B 0 D D 00 ,0 D D0 00 D C 00 .0 C D 00 05. Таблица инциденций S1,i,k получается по формуле.....S1,i,k = S1i,k + S2i,k + S3i,k + S4i,k + S5i,k + S6i,k ,гдеdefS1i,k = Z 0(+) F 0(+) A 00+ B 00 00000 Z (+) F (+) B B ,00000 Z (+) GB B Z 0(+) G 0 B 0 C 0 defS2i,k = Z 0(+) E 0(+) A 0+ B 0 0000 Z (+) E (+) B C ,00000 Z (+) F (+) A + A + Z 0(+) F 0(+) A 0+ B 0 (69)74 Z0 (+) 0 Z (+)defS3i,k = Z0 (+) 0 Z (+) Z0 (+) 0 Z (+)defS5i,k = Z0 (+) 0 Z (+)I 0+I 0+E 0(+)E 0(+)E 00(+)E 00(+)G0G0A 00+ A 0+ 00 A+ D+ ,00 A+ D+ D 0+ C 0 A 00+ B 00 B 00 C 00 ,B 00 C 00 C 00 C 0 Z0 (+) 0 Z (+)defS4i,k = Z0 (+) 0 Z (+) Z0 (+) 0 Z (+)defS6i,k = Z0 (+) 0 Z (+)I 0+I 0+H 0(+)H 0(+)E 00(+)E 00(+)H 0(+)H 0(+)D 00+ D 0+ 0000 A+ D+ ,000 D+ D+ C 0 D 0+ A 00+ D 00+ D 00+ C 00 .C 00 C 0 C 00 D 00+ 6.
Аналогичным образом находим.....S1,j,k = S1j,k + S2j,k + S3j,k + S4j,k + S5j,k + S6j,k ;(70)здесьdefS1j,k = 0(+)ZZ 0(+)Z 0(+)Z 0(+) Z 0(+) 0(+)3 def ZSj,k = 0(+)Z 0(+)Z Z 0(+) 0(+)5 def ZSj,k = 0(+)Z 0(+)Z0+FF 0+G 0(+)G 0(+)0(+)defS2j,k = BB 0+B 0+C000+ Z 0(+)A 0(+)D0 def4, S = Zj,k Z 0(+)D0 0(+)ZC0 Z 0(+)00+ B 0(+)C 00 def6, S = Zj,k Z 0(+)C 00 0(+)ZC0 AB 00+B 00+B 0+II 0(+)E 0(+)E 0(+)AA 0+A 0+D0E 00(+)E 00(+)G 0(+)G 0(+)A 00+B 00+B 00+C 0000+,00+0+0(+)ZZ 0(+)Z 0(+)Z 0(+)0(+)EE 0(+)F 0+F 0+BC0A 0+B 0+00D D 00 ,0 D D0 00 D C 00 .0 C D 00 AB 0+A 00+A 0+0(+)II 0(+)H 0(+)H 0(+)DA 00+D 00C0E 00(+)E 00(+)H 0(+)H 0(+)A 00+D 00C 00C 000+,0+07.
Наконец, таблицу инциденций S1,i,j,k можно представить в виде.....S1,i,j,k = S1i,j,k + S2i,j,k + S3i,j,k + S4i,j,k + S5i,j,k + S6i,j,k ,(71)75где0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)F 0+(+)F 0+(+)0 (+) 0 (+)Z (+) 0 (+) Z (+)def3Si,j,k = Z 0 (+) (+) 0 (+)Z(+) 0 (+)Z (+) 0 (+) Z (+)defS5i,j,k = Z 0 (+) (+) 0 (+)Z(+)0 (+)I+0 (+)I+0 (+)E (+)0 (+)E (+)A 00++A 0++0+A+D 0+00 (+)A 00++00 (+)B 00+defS1i,j,k = GA 00++00+B0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)0 (+)Z (+)0 (+)E (+)0 (+)E (+)F 0+(+)F 0+(+)A 0++0+ 0 (+)Z (+) (+) 4 def Z 0(+),S i,j,k = Z 0 (+) (+) 0 (+)ZC (+) 0 (+)ZB 00+ (+) 0 (+)C 00 6 def Z (+),Si,j,k = Z 0 (+)C 00 (+) 0 (+)ZC0 (+)0 (+)I+0 (+)I+0 (+)H (+)0 (+)H (+)D 00+A 00++D 00+000 (+)A 00++00 (+)D 00+0 (+)C 000 (+)C 00B00+B 0+B 00+ B 0+G 0 (+) B 0+ C 0E (+)E (+)G 0 (+) B 00+G 0 (+) C 00 2 def ,S i,j,k = A 0++D 0+D 0+0E (+)E (+)H (+)H (+)BB0+C0A 00+A 0+++A 0+B 0++C,,D 00+ C 00 .C0 D 00+ D 0+D 00+D 0+D 0+Предыдущие выкладки показывают, что верно следующее утверждение.Теорема 8.
Формулы (64) – (71) дают правильное симплициальное подразделение S2 куба Q2 ; это подразделение содержит 192 симплекса.В каждом кубе T r(s)Q2 из Q∞2 введем симплициальное подразделение,изоморфное комплексу S2 .Из теоремы 8 вытекаетТеорема 9. Комплекс M2 , составленный из симплициальных комплексов кубов, лежащих в M2 , является правильным симплициальным комплексом; комплекс M2 содержит 192 · K симплексов.3.5Базовое укрупнение симплициальногоподразделенияВ соответствии с алгоритмом укрупнения симплициального подразделения S1 ,описанному в третьем пункте (см. формулу (63)), для «нижнего основания»76куба Q2 получаемS1,iS1,jS1,i,j−→−→−→def eS1,i = A+A+A+A+A+A+ +A +A +def AeS1,j = +A A+ +A + A+ + A+ +def A+eS1,i,j = + A+ A+ + + A+BA 0+A 0+C0BC+BA 0+A 0+C0B+CB+A 0++A 0++0CB+C0BB0C0D+CC00CC0D 0+D 0+C0D+0+BB 0+C0DCC0B 0+B 0+C0D+CC0,C C0 0 D ,D0 C0 D 0 C C0 D 0+ ,0 D+ C0 D+ (72)0Аналогичным образом для «верхнего основания» куба Q2 имеем 000000 A B B C 00 A A0 B0 C0 A 00 A 0 C 0 D 0 def S1,k −→ eS1,k = 00, A C 0 D 00 D 0 A 00 B 00 C 00 C 0 0000000A C C D (73)(74)(75)77 000000 A+ B B C 00 A + A 0+ B 0 C 0 A 00 A 0 C 0 D 0 def ++ S1,i,k −→ eS1,i,k = +, A 00+ C 0 D 00+ D 0+ A 00 B 00 C 00 C 0 + 00 A + C 00 C 0 D 00+ 00+00+0+0 BBC A 00+0+0+0 AABC A 00+ A 0+ C 0 D 0 def S1,j,k −→ eS1,j,k = 00+,0000 ACDD A 00+ B 00+ C 00 C 0 00+00000ACCD 00+00+0+0 BC A+ B 00+0+0 A + A 0+BC+ A 00+ A 0+ C 0 D 0 def ++ S1,i,j,k −→ eS1,i,j,k = +.00+0 000 A+ CDD+ + A 00+ B 00+ C 00 C 0 + 00+00000 A+ CCD+ (76)(77)(78)Рассмотрим таблицу инциденций.......defeS1 + eS1,i + eS1,j + eS1,i,j + eS1,k + eS1,i,k + eS1,j,k + eS1,i,j,k .S∗ = e(79)e 2 соответствующий ей симплициальный комплекс.и обозначим SИз соотношений (72) – (79) вытекает следующее утверждение.e 2 , определяемый таблицей eТеорема 10.
Симплициальный комплекс SS∗ , является вложенным укрупнением симплициального подразделения S2 . Комe 2 содержит 48 симплексов.плекс Sf2 симплициальных подразделений вида Se2Рассмотрим объединение Mвсех кубов T r(s)Q2 , s ∈ Z32 , лежащих в множестве M2 .Из теоремы 10 вытекает следующее важное утверждение.f2 является правильным симплициальным комТеорема 11. Объединение Mплексом, представляющим собой вложенное укрупнение симплициального ком-78f2 содержит 48 · K симплексов.плекса M2 ; комплекс Mf2 можно добавить произвольТеорема 12.
К симплициальному комплексу Mное число окружающих его единичных кубов с подразделением вида A и с помощью элементарных укрупнений симплициальных подразделений упомянутыхединичных кубов добиться того, чтобы в результате получился правильныйсимплициальный комплекс.f2 окружен единичнымиДоказательство.
Симплициальный комплекс Mf2 границу тела упомянутогокубами с подразделением вида A. Обозначим ∂ Mкомплекса. Пусть грань Γ (квадрат) одного из указанных единичных кубов леf2 ; очевидно, что в этом случае Γ является также гранью некоторогожит в ∂ Mединичного куба, лежащего в M2 . Со стороны единичного куба с подразделением типа A на квадрат Γ опирается четыре симплекса, так что этот квадратсодержит две диагонали, делящие его на четыре части; со стороны комплексаf2 на эту грань опирается два симплекса, так что квадрат Γ со стороны комMf2 разделен на две части одной из упомянутых диагоналей (обозначимплекса Mее L).
В единичном кубе с подразделением вида A произведем элементарноеукрупнение путем двух слияний для двух пар симплексов таким образом, чтобы сохранить диагональ L. Такие преобразования произведем с каждым единичным кубом с подразделением вида A для каждой его грани Γ, лежащей воf2 . На этом процесс согласования заканчивается. Теорема докамножестве ∂ Mзана.Аналогично предыдущему рассмотрим кубическую сетку шага h и применим к ней построения этого пункта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
