Диссертация (1149786), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В результате получим комплексы M2hf2h ; пусть Ph и Peh количества симплексов в комплексах M2h и Mf2h соответиMственно.Справедливо следующее утверждение.Теорема 13. Если граница области Ω непрерывно дифференцируема, то вернаасимптотикаPh= 4.limehh→+0 PДоказательство использует предположенную гладкость границы областиΩ и тот факт, что число симплексов в исходном подразделении куба равно 192,а после укрупнения подразделения в нем оказывается 48 симплексов.793.6Дополнительное укрупнение подразделенияe 2 содержит 48 симПолученное только что симплициальное подразделение Sплексов.
Нетрудно видеть, что можно провести дальнейшее укрупнение, объединяя определенные пары симплексов, принадлежащих разным слагаемымсуммы (79); на этом пути получится симплициальное подразделение куба Q2 ,содержащее 24 симплекса.В дальнейшем для наглядности векторные индексы, участвующие в обозначениях таблиц (72) – (78), введем также и в обозначения элементов этихтаблиц, например, таблицы (72) и (78) будем представлять в видеeS1,i = eS1,i,j,k = A+ (i)A+ (i)A+ (i)A+ (i)A+ (i)A+ (i)A 00++ (i, j, k)A 00++ (i, j, k)A 00++ (i, j, k)A 00++ (i, j, k)A 00++ (i, j, k)A 00++ (i, j, k)B(i)A 0+ (i)A 0+ (i)C 0 (i)B(i)C(i)00+0B (i)B 0 (i)C 0 (i)D+ (i)C(i)C 0 (i)B (i, j, k)A 0+ (i, j, k)A 0+ (i, j, k)C 0 (i, j, k)B 00 (i, j, k)C 00 (i, j, k)0+0C (i)C 0 (i)D 0+ (i)D 0+ (i)C 0 (i)D+ (i)B (i, j, k)B 0+ (i, j, k)C 0 (i, j, k)D 00+ (i, j, k)C 00 (i, j, k)C 0 (i, j, k),0C (i, j, k)C 0 (i, j, k)D 0+ (i, j, k)D 0+ (i, j, k)C 0 (i, j, k)D 00+ (i, j, k).Учитывая, что в таблице инциденций можно переставлять строки (и приэтом она по-прежнему будет представлять тот же табличный класс), перестановкой строк преобразуем таблицу eS2 в таблицу eS,.......defeS=eS1 + eS2 + eS3 + eS4 + eS5 + eS6 + eS7 + eS8 ,где в первых двух слагаемых в основном участвуют вершины «нижнего осно-80вания» куба Q1 и их сдвиг на вектор kBA A+ (i) B(i)A0def AeS1 = 00 A (k) A 0 (k)AA0 00 A (k) A 0 (k)def eS2 = BC00B (i) C (i) 00BC,B 0 (k) C 0 (k) C0D000C (k) D (k) 00ACDDA+ (j) C 0 (j) D(j) D 0 (j) 0ABCC;A+ (i) B(i) C(i) C 0 (i) ACC0D+0A (j) C(j) C (j) D(j) 0(80)0(81)в следующих трех слагаемых широко представлены отражения упомянутыхвершин относительно плоскости, в которой лежит грань куба Q1 , содержащаявершины B, B 0 , C, C 0 , а также относительно плоскости, в которой лежит гранькуба Q1 , содержащая вершины C, C 0 , D, D 0 :000B (i)C (i)A + (i) A+ (i) 00000 A + (i, k) A + (i, k) B (i, k) C (i, k) A (i)000A(i)C(i)D(i)+def++e(82)S3 = 00,000 A + (i, k) A + (i, k) C (i, k) D + (i, k) A (i)00C (i)D+ (i) D + (i) + + A+ (i, j) C 0 (i, j) D+ (i, j) D 0+ (i, j) def eS4 = A+ (i)C(i)C (i)D+ (i) 0A+(i,j)C(i,j)C(i,j)D(i,j)++++0+0A (j)B (j)B (j)C (j) ,+0+0A+(i,j)B(i,j)B(i,j)C(i,j)++0+0+0A (j)A (j)B (j)C (j) A 00+ (j, k) A 0+ (j, k) B 0+ (j, k) C 0 (j, k) 0(83)81def eS5 = A (j)A (j)C (j)D (j)00+0+00A (j, k) A (j, k) C (j, k)D (j, k) ++0A (j)B (j)C(j)C (j);+0(i,j)B(i,j)C(i,j)C(i,j)A+++0+0+0A+ (i, j)A + (i, j)B (i, j)C (i, j) 00+0+A + (i, j, k) A + (i, j, k) B 0+ (i, j, k) C 0 (i, j, k) +0+00(84)в остальных слагаемых в основном участвуют вершины «верхнего основания»куба Q2 : +0+00A + (i, j)C (i, j)D + (i, j) A+ (i, j) 00+00 A + (i, j, k) A 0+(i,j,k)(i,j,k)C(i,j,k)D++ A 00 (k)0000B(k)B(k)C(k)defe(85)S6 = 00,0000 A + (i, k)B(i,k)B(i,k)C(i,k) A 00 (k)0000C (k)D (k)D (k) 00+ A (j, k) C 0 (j, k)D 00 (j, k) D 0 (j, k) 00B 00 (k) A (k) 00 A + (i, k)B 00 (i, k) 00C 00 (k)def A (k)eS7 = 00+ A (j, k) C 00 (j, k) A 00 (i, k)C 0 (i, k) + 00+ A + (i, j, k) C 0 (i, j, k) 00+ A (j, k) B 00+ (j, k) 00+ A + (i, j, k) B 00+ (i, j, k) 00C 00 (i, k)def A + (i, k)eS8 = 00+ A + (i, j, k) C 00 (i, j, k) A 00+ (j, k) B 00+ (j, k) 00+ A + (i, j, k) B 00+ (i, j, k)C (k)C (k)000C (i, k)C (i, k)000C (k)D (k),C 0 (j, k)D 00 (j, k) D 00+ (i, k) D 0+ (i, k) 000D + (i, j, k) D + (i, j, k) 000C (j, k)C (j, k) C 00 (i, j, k) C 0 (i, j, k) 000C (i, k)D + (i, k) .C 0 (i, j, k) D 00+ (i, j, k) B 0+ (j, k) C 0 (j, k) 0+0B (i, j, k) C (i, j, k) 000(86)(87)В каждой из таблиц (80) – (87) соседние строки (а именно, строки I и II,III и IV, V и VI) представляют собой симплексы, объединение которых дает снова симплекс.
Заметим, что такое объединение носит локальный характер: объединение любых двух из этих симплексов сохраняет правильность симплициального подразделения куба Q2 (т. е. при этом не требуются изменения82в структуре остальной части подразделения).В результате получаем отображенияeS1−→ A A+ B 0 C 0 f def 0000 ,A A B C S1 = A A 00 C 0 D 0 A A+ C 0 D 0 f def 0eS2 −→ S 2 = A A+ C C , A A+ C C 0 A+ A 00 B 0 C 0 +f def 0000eS3 −→ S 3 = A+ A + C D + , A+ A+ C 0 D 0 ++0 A+ A+ CC+f def ++0+0eS4 −→ S 4 = A A+ BC , + A A 00+ B 0+ C 0 A+ A 00+ C 0 D 0 f def ++0eS5 −→ S 5 = A A+ CC , +0+0 A A 00+BC++ A+ A 00+ C 0 D 0 ++ +f def 000000eS6 −→ S 6 = A A + B C , A 00 A 00+ C 0 D 0 A 00 A 00 C 0 C 00 +f def 0000+000eS7 −→ S 7 = A AC C ,00 A 00 A 00+CD+++ A 00+ A 00+ C 0 C 00 +f def 00+00000eS8 −→ S 8 = A + A + CC .0+0 A 00+ A 00+BC+(88)(89)(90)(91)(92)(93)(94)(95)Таким образом, доказана следующая теорема.fТеорема 14.
Симплициальное подразделение S 2 с таблицей инциденцийf def f . f . f . f . f . f . f . fS=S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + S 8,(96)83где слагаемые определяются формулами (88) – (95), является правильнымe 2 ; оно содержит 24 симплекса.укрупнением подразделения Sf2 возТак же, как и прежде, укрупнение в симплициальном комплексе Mможно одновременно для четырех кубов, имеющих общее ребро. Например, рассмотрим некоторое ребро одного из упомянутых кубов; не нарушая общности,будем считать, что этим ребром является ребро L куба Q2 ∈ Q2 с концами Adefdefdefи A 00 .
Если кубы Q 02 = T r(−2i)Q2 , Q 002 = T r(−2j)Q2 , Q 0002 = T r(−2i − 2j)Q2 также лежат в Q2 , то произведем операцию укрупнения вида (96) как в кубе Q2 ,так и в кубах Q 02 , Q 002 , Q 0002 , укрупняя пары симплексов, прилегающих к ребруL. Заметим, что подобная операция имеет локальный характер: она не требует каких-либо дополнительных преобразований для сохранения правильностиполучающегося комплекса.Проделаем эту операцию для всех ребер, которые являются общими длячетырех кубов T r(s)Q2 , лежащих во множестве Q2 . В результате из комплексаf2 получится правильный симплициальный комплекс. Очевидно, что описанMная в этом пункте операция укрупнения локальна: ее можно сделать лишь дляодного ребра, общего всем кубам из Q2 .fОбозначим S комплекс, составленный из триангуляций тех кубов Q2 , всеребра которых подверглись упомянутой операции.3.7Изоморфизм исходного и результирующегоподразделенийfТеорема 15.
Симплициальное подразделение S является подразделением вида A.fДоказательство. Достаточно рассмотреть подразделение S 2 куба Q2 .fПерегруппируем строки в таблице S так, чтобы каждая группа четырех строксоответствовала одной из шести граней рассматриваемого куба Q2 ; в результатеполучим таблицу инциденций eS∗∗ , представляющую тот же табличный класс,fчто и таблица S ,.....defeS∗∗ = eSI + eSII + eSIII + eSIV + eSV + eSV I ,(97)84где A A B0 C0 +0000 AABCdefeSI = A A 00 B 0 C 0 , ++ 000000 A A+ B C A A 00 C 0 D 0 +00 AACDdefeSII = A+ A 00+ C 0 D 0 , 0000+00A AC D A+ A 00+ B 0+ C 0 ++ ++0+0 AABCdef+eSIII = A+ A 00+ B 0+ C 0 , 00+00+0+0AA+ BC A A 00 C 0 D 0 ++ ++0 A+ A+ C D 0+ defeSIV = A+ A 00+ C 0 D 0 , +++ 0000+0 A + A + C D 0+ A 00 A 00 C 0 C 00 + 0000+000AACCdefeSV = A 00+ A 00+ C 0 C 00 ,+ 0000+000 A+ A+ C C A A C C0 ++0A A C C defeSV I = A A+ C C 0 . ++ ++0 A A+ C C (98)(99)(100)(101)(102)(103)Из (97) – (103) следует, что полученное симплициальное подразделение куба Q2изоморфно исходному подразделению куба Q1 ; более того, если кубы Q1 и Q2параллельно перенести так, чтобы их центры совпали с началом координат, тосимплициальное подразделение куба Q2 можно получить гомотетией с коэфициентом 2 из симплициального подразделения куба Q1 .853.8Об обобщении на случай иного числа измеренийИз приведенного выше изложения видно, что алгоритм укрупнения специального симплициального подразделения обладает бóльшей сложностью, по сравнению с укрупнением триангуляции специального вида, задаваемой, например,таблицей (8).
С другой стороны, получаемое в результате укрупнения симплициальное подразделение обладает важным преимуществом, а именно, оно нетолько обладает той же топологической структурой, что и исходное подразделение, но и отличается только лишь масштабом. Для сравнения, одношаговоеукрупнение триангуляции вида (8), приводило к триангуляции, изоморфнойисходной, но повернутой на 45o . Закономерен вопрос: нельзя ли произвестиобобщение приведенного в данной главе симплициального подразделения надвумерный случай.Можно заметить, что рассмотрение плоскости, рассекающей симплициально-подразделенную область через боковые грани образующих подразделениекубов, задает триангуляцию, подвергаемую укрупнению вместе с симплициальным подразделением. При ближайшем рассмотрении, можно обнаружить, чтопервый шаг укрупнения симплициального подразделения в точности соответствует процедуре укрупнения триангуляции, как это указано в разделе 1.5.Второй шаг укрупнения симплициального подразделения затрагивает тольковнутреннюю структуру образующих кубов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
