Диссертация (1149786), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Получающаяся в результате такой операции сетка является, вообще говоря нерегулярной, что может несколько усложнить решение задачи аппроксимации функции, заданной на подразделенной области. Вопросы, возникающиепри применении спалайн-аппроксимации на нерегулярной сетке, были рассмотрены, например, в работах [15, 27].При рассмотрении симплициального подразделения двумерных областейзадача локального укрупнения перестает быть тривиальной.
Это связано с тем,что произвольная правильная триангуляция, вообще говоря, не допускает локального укрупнения с сохранением правильности. В работах [2, 29] для обеспечения возможности локального укрупнения был предложен подход основанный на использовании триангуляции специального вида в качестве исходной.106В выбранной подобласти (при условии, что эта подобласть достаточно велика),триангуляция укрупняется с сохранением правильности. При этом вновь полученная укрупненная триангуляция имеет ту же топологическую структуру, чтои исходная, и, в частности, допускает дальнейшее укрупнение.Попытки распространить аналогичный подход на симплициальное подразделение областей большего числа измерений наталкивается на дополнительные сложности.
Одна из причин невозможности прямого обобщения триангуляции специального вида заключается в том, что уже в R3 никакой невырожденный симплекс невозможно разбить на два меньших, каждый из которых подобен исходному большему. Соответствующее утверждение было сформулированов [5]. В той же работе предлагается один из вариантов выхода из сложившейсяситуации, который приводит к способу симплициального подразделения плоского слоя. Трехмерный слой разбивается на призмы с треугольными основаниями,а каждая призма в свою очередь разбивается на три симплекса. Для завершения описания способа специального симплициального подразделения требуется указание того, каким именно образом плоский слой разбивается на призмы,и как следует разделять каждую призму на симплексы, чтобы разбиения соседних призм было согласовано.
Оба этих вопроса решаются в [5] конструктивно.Во-первых, описывается разбиение слоя на призмы, являющееся естественнымобобщением триангуляции специального вида. Во-вторых, предлагается параметодов, позволяющих согласованно разбить все призмы на симплексы. Такжеприводится доказательство корректности означенных методов.Несмотря на неуниверсальность предложенного способа симплициальногоподразделения слоя, работа в этом направлении представляется важным шагом.С одной стороны, это позволяет уже сейчас производить теоретические построения, связанные с укрупнением симплициального подразделения в вопросах вейвлетного анализа, методе конечных элементов и других разделах, основанныхна работе с подразделениями.
С другой стороны, указанный способ дает действующий механизм, практически применимый, пусть не во всеобъемлющем,но в довольно широком круге задач. Симплициальное подразделение слоя легко обобщается на случай нескольких плоско-параллельных слоев, что позволяетпроизводить локальное укрупнение в двух измерениях и глобальное укрупнениев рамках рассматриваемой области в направлении третьего измерения.Другой подход к решению вопроса построения специального симплици-107ального подразделения трехмерных областей, допускающего локальное укрупнение в любом из трех направлений был предложен в [19].
В качестве базовых блоков, на которые изначально подразделяется область трехмерного пространства, используются кубы. Каждый куб, в свою очередь, разбивается на24 симплекса, так, что во-первых, подразделение получается правильным, а вовторых, разбиение соседних кубов оказывается естественным образом согласованным. Далее, предлагается алгоритм последовательного укрупнения исходного симплициального подразделения, состоящий из трех последовательныхшагов, каждый из которых приводит к уменьшению количества симплексов,образующих подразделение локальной подобласти. Сформулированы признакивозможности произвести каждый следующий шаг. Далее, после третьего шага,мы получаем укрупненное симплициальное подразделение, изоморфное исходному, отличающееся лишь масштабом. Это позволяет производить повторноеприменение упомянутых трех шагов алгоритма, до достижения требуемой степени дробления.Предложенный в [19] алгоритм обладает бóльшей сложностью, по сравнению с другими рассмотренными алгоритмами построения симплициального подразделения.
Однако его несомненным преимуществом является возможность рекурсивного применения, которая принципиально разрешает задачу локального укрупнения подразделения в любых направлениях.Иллюстрацией практического применения разработанных симплициальных подразделений специального вида, а также специальной триангуляции,как частного случая, является компьютерное моделирование. Во-первых, такое практическое использование подтверждает удобство предлагаемого способа.Во-вторых, оно позволяет определить дополнительный круг вопросов, требующих решения, для эффективного применения инструмента.В качестве средства разработки был выбран объектно-ориентированныйязык программирования Java [65].
Объектная ориентированность языка позволяет наглядно выразить зависимости таких объектов как точка, дуга, симплекси подразделения разных видов, включая зависимости наследования. Другойособенностью языка Java, повлиявшей на его выбор, является поддержка технологии Streams, появившейся в стандартной библиотеке, начиная с восьмойверсии [67].Технология Streams вкупе с поддержкой λ-выражений расширила предо-108ставляемый Java программный интерфейс так, что появилась явная поддержка функционально-ориентированного стиля программирования. Одним из важнейших следствий этого подходя является естественным образом организуемаяпараллельная обработка больших массивов данных обеспечиваемая на уровнестандартной библиотеки языка.Подводя итог работы, можно отметить, что в целом, поставленные задачибыли удовлетворительно решены.
Полученные методы, хотя и не обладают универсальностью, являются полезным добавлением к инструментальному набору,прилагающемуся к вейвлетному анализу. Кроме собственной ценности, полученные результаты формируют круг новых задач, решение которых составитпредмет дальнейших исследований.109Список литературы[1] Арсентьева, Е.
П. Об измельчении триангуляции вблизи границы области/ Е. П. Арсентьева // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика и процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 76–84.[2] Арсентьева, Е. П. Адаптивные сплайн-вэйвлетные разложения двумерныхпотоков числовой информации / Е. П.
Арсентьева, Ю. К. Демьянович //Сб. Пробл. мат. ан. 56, 2011. С. 3–22.[3] Арсентьева, Е. П.Алгоритмыневырожденногосимплициальногоподразделениясизмельчениемвблизиграницы/Е. П. Арсентьева, Ю. К. Демьянович // В: Компьютерные инструменты в образовании. Информатика. 2011. С. 23–30.[4] Герасимов, И. В. Алгоритм построения аппроксимации Зламала при локальном укрупнении триангуляции / И. В.
Герасимов // Компьютерные инструменты в образовании, вып. 2, 2014. С. 20–28.[5] Герасимов, И. В. Способ локального укрупнения симплициального подразделения в R3 / И. В. Герасимов // Компьютерные инструменты в образовании, вып. 6, 2014. С. 3–11.[6] Герасимов, И. В. Аппроксимация Зламала для укрупняемого симплициального подразделения слоя / И. В.
Герасимов // Процессы управления иустойчивость: Труды 45-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат.Дом С.-Петерб. гос. ун-та, Т. 2, 2015. С. 390–397.[7] Демьянович, Ю. К. Об аппроксимации и сходимости метода сеток в эллиптических задачах / Ю. К. Демьянович // ДАН, 170, № 1 1966. С. 27–30.[8] Демьянович, Ю. К.Вэйвлеты&минимальныеЮ. К. Демьянович. — СПб.: Изд. СПбГУ, 2003.
463 с.сплайны/[9] Демьянович, Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения / Ю. К. Демьянович // Доклады АН, Т. 401 4, 2005. С. 493–442.110[10] Демьянович, Ю. К. Вейвлетный базис B-сплайнов для неравномерной сетки / Ю. К. Демьянович // Математическое моделирования, Т. 18 10, 2006.С. 123–126.[11] Демьянович, Ю. К.
Локальный базис всплесков на неравномерной сетке /Ю. К. Демьянович // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 334, СПб.,2006. С. 84–110.[12] Демьянович, Ю. К. Об асимптотических разложениях координатныхсплайнов / Ю. К. Демьянович // Записки научных семинаров ПОМИ.Т.
359, СПб., 2008. С. 17–30.[13] Демьянович, Ю. К. Негладкие сплайн-вэйвлетные разложения и их свойства / Ю. К. Демьянович // Записки научных семинаров ПОМИ. 24 Т. 395,СПб., 2011. С. 31–60.[14] Демьянович, Ю. К. Сплайн-вэйвлеты при однократном локальном укрупнении сетки / Ю. К. Демьянович // Численные методы и вопросы организации вычислений. XXV.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
