Диссертация (1149684), страница 8
Текст из файла (страница 8)
К прямым методам относятся классические конечно-разностныеи конечно-элементные методы решения уравнений (2.1) или (2.11) как правилов диффузионном приближении. Недостатками данной группы методов являетсябольшое количество расчетных точек (а значит и большой объем требуемой памяти), т.к. шаг пространственной сетки в данном случае ограничен средней длиной свободного пробега нейтронов или определяется мелкой структурой активной зоны [94]. В связи с этим, несмотря на возможность получения с помощьюданных методов детальной информации о нейтронном потоке в активной зоне,интенсивное развитие получили непрямые методы, позволившие сократить число рассматриваемые переменных и тем самым увеличить скорость расчетов.Среди этих методов можно назвать вариационно-разностные, синтетически иузловые методы.Среди непрямых методов наибольшее распространение получили узловыеметоды, которые позволяют использовать крупную пространственную сетку,при этом потоки нейтронов усредняются по узлу сетки, игнорируя мелкуюструктуру активной зоны [10, 94].
В этом случае уравнение (2.1) заменяется насистему уравнений в частных производных. Стоит отметить, что при измельчении пространственной сетки узловые методы переходят в прямые конечно-разностные.Разумеется использование модели пространственно-временной кинетикипозволяет повысить точность описания переходных процессов в активной зонереактора, однако по сравнению с точечной моделью кинетики данный подход50обладает рядом недостатков. В частности, в отличие от точечной модели, коэффициент реактивности (или эффективный коэффициент размножения) невходит явно в уравнение (2.1) или систему уравнений (2.11), что затрудняетучет температурных обратных связей при рассмотрении динамики реактора.В этом случае все операторы, входящие в уравнение (2.1) или (2.11), должныбыть заданы как функции от температуры.В связи с вышеизложенным актуальным является создание математической модели кинетики реактора, сочетающей в себе простоту точечной и детальность пространственно-временной моделей.
Для описания переходных процессов в подкритических реакторах с внешним источником нейтронов в диссертационной работе предлагается использовать модель многоточечной кинетики.Идея двухточечности, впервые высказанная Р. Эйвери (R. Avery) в 1958 годуприменительно к связанным реакторам, заключается в рассмотрении кинетики двух областей, нейтронная связь между которыми учитывается с помощьюспециально введенных в уравнения коэффициентов связи.Уравнения двухточечной кинетики были получены Р.
Эйвери (R. Avery)исходя из интуитивных физических соображений [8]. Впоследствии был опубликован ряд работ, посвященных строгому выводу уравнений Р. Эйвери на основедиффузионного приближения [37, 39]. В диссертационном исследовании предлагается новая модель многоточечной кинетики, отличная по форме от предложенной Р. Эйвери (R. Avery), а также дан строгий вывод ее уравнений, на основеподхода, описанного Л.Н. Усачевым [109, 110] при выводе уравнений точечнойкинетики, и «методе связанных зон», предложенном В.В.
Селиверстовым [103]применительно к каскадным активным зонам.2.2. Метод связанных зонМетод связанных зон был предложен В.В. Селиверстовым [103] и заключается в представлении нейтронного поля в активной зоне суперпозицией нейтрон51ных полей, порождаемых нейтронами деления в каждой из секций каскаднойактивной зоны.Стационарное нейтронное поле в активной зоне ˜ (r, , Ω) описываетсяуравнением (1.1). Если разделить активную зону объема на непересекающихся областей 1 , 2 , ..., с делящимся материалом, то в силу линейностиуравнения (1.1) его можно представить как систему уравнений ( = 1..
)[73, 74]0 = −M˜ (r, , Ω) + Ms ˜ (r, , Ω) + Ma ˜ (r, , Ω) + Mfk ˜ (r, , Ω) ++ (r, , Ω).(2.5)Здесь ˜ (r, , Ω) представляет собой поле нейтронов в активной зоне, порожденное нейтронами Mk ˜ , рожденными в -ой области. Линейные операторыM, Ms , Ma , Mfk , искомая функция ˜ (r, , n) и (r, , Ω) определены во всемобъеме активной зоны , причем⎧⎨ M , при r ∈ f,Mfk =⎩ 0,при r ∈/ (2.6)⎧⎨ (r, , Ω), при r ∈ . (r, , Ω) =⎩ 0,при r ∈/ Предполагаем, что уравнения (2.5) удовлетворяют граничным условиям, аналогичным (1.4).В этом случае решение уравнения (1.1) и оператор Mf представимы в видеследующих сумм (см. рис. 2.1)˜ (r, , Ω) =∑︁˜ (r, , Ω),=1Mf =∑︁Mfk .=1Вид операторов M, Ms , Ma , Mf зависит от используемой физической модели переноса нейтронов (см.
раздел 1.4).52Рис. 2.1. Схема разбиения активной зоны на области.Нестационарное уравнение (2.1) можно аналогично свести к следующейсистеме:1 (r, , Ω, )= −M (r, , Ω, ) + Ms (r, , Ω, ) + Ma (r, , Ω, ) ++ Mfk (r, , Ω, ) + (r, , n, ),(2.7)также определенной во всем объеме активной зоны .Для уравнений (2.7) предполагается, что они удовлетворяют граничнымусловиям аналогичным (2.2). В этом случае общее решение (2.1) будет иметьвид: (r, , Ω, ) =∑︁ (r, , Ω, ).=12.3. Модель многоточечной кинетики2.3.1. Уравнения модели многоточечной кинетики без учетазапаздывающих нейтроновМноготочечные уравнения кинетики могут быть получены с на основе модели связанных зон с объемный источником [73, 74].Основное допущение модели многоточечной кинетики (по аналогии с точечной моделью) заключается в возможности разделения переменных для функции (r, , Ω, ) в виде: (r, , Ω, ) ≈ ˜ (r, , Ω) ().(2.8)53Запишем систему квазикритических сопряженных уравнений для уравнения (2.7) в виде [109] (см.
раздел 1.2.1):+ ˜+˜+0 = M+ ˜+ (r, , Ω) + M+s (r, , Ω) + Ma (r, , Ω) +1 + ˜+M (r, , Ω), fk (2.9)++где M+ , M+s , Ma , Mfk — сопряженные в смысле (1.9) операторы, а коэффициенты определяются формулой (1.17). Предполагаем, что уравнения (2.9)удовлетворяют граничным условиям аналогичным (1.11).Для вывода уравнений многоточечной кинетики применим традиционнуюпроцедуру, использованную при выводе уравнений точечной кинетики [109]:умножим уравнения системы (2.7) на ˜+ (r, , Ω), а уравнения системы (2.9)— на (r, , Ω, ) соответственно, вычтем полученные соотношения и проинтегрируем результат по всему объему реактора, по всем энергиям и направлениям скоростей нейтронов.
При этом вследствие сопряженности уравнений (2.7) и(2.9) сокращаются члены, учитывающие поглощение и замедление нейтронов,а в силу граничных условий (2.2) и (1.11) сокращаются члены, описывающиеперенос нейтронов. С учетом разделения переменных (2.8) в результате получаем:⟨˜ (r, , Ω)˜+ (r, , Ω),+∑︁ ()⟨⟩⟩ () − 1 ⟨ ˜ += () (r, , Ω), M ˜ (r, , n) +⟩˜+ (r, , Ω), M ˜ (r, , Ω)+⟨⟩˜+ (r, , Ω), (r, , Ω, )=1̸=здесь ˜ (r, , Ω) — решения системы (2.5).Вводя новые обозначения⟨⟩˜ (r, , Ω)˜+ (r, , Ω),⟩, = ⟨+˜˜ (r, , Ω), M (r, , Ω) = 1..
,,54⟨эф () =⟩+˜1 (r, , Ω), (r, , Ω, )⟩ , = 1.. ,+˜˜ (r, , Ω), M (r, , Ω)⟩⟨+˜˜ (r, , Ω), M (r, , Ω)⟩ , , = 1.. ,=⟨+˜˜ (r, , Ω), M (r, , Ω)⟨имеем уравнения модели многоточечной кинетики в общем виде () () − 1 1 ∑︁=++ эф (), () =11(2.10)̸= (0) = нач .2.3.2. Уравнения модели многоточечной кинетики с учетомзапаздывающих нейтроновИсходя из физических особенностей ядерного реактора, в общем случаев уравнениях кинетики рассматриваются мгновенные и запаздывающие нейтроны. Мгновенные нейтроны испускаются непосредственно при делении ядертоплива, а запаздывающие появляются через некоторое время при радиоактивном распаде осколков деления (так называемые ядра-предшественники запаздывающих нейтронов). Хотя запаздывающие нейтроны составляют менее одного процента выхода нейтронов при делении, они чрезвычайно важны, так какопределяют в динамике реакторов характерное время переходных процессов[113].
В зависимости от среднего времени запаздывания выделяются 6 или 9групп запаздывающих нейтронов.С учетом запаздывающих нейтронов уравнение (2.1) можно представитьследующим образом [83]:1 (r, , Ω, )= −M (r, , Ω, ) + Ms (r, , Ω, ) + Ma (r, , Ω, )+∑︁() p+ (1 − ) (r, ) () + (r, , Ω, ),(2.11)Mf (r, , Ω, ) +4=155 (r, )= Mpf (r, , Ω, ) − (r, ), (r, , Ω, 0) = нач (r, , Ω), нач (r, 0) = (r).4Mf , а полн () — полный спектр энергий нейтроновполн ()деления в реакторе; — число групп запаздывающих нейтронов, (r, ) —Здесь Mpf =концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов -й группы, [с−1 ] — постоянная распада -й группы ( = 1, ), — доля запаздывающих∑︀нейтронов -й группы, причем = . Функции () и () описывают=1нормированный на единицу спектр энергий соответственно мгновенных и запаздывающих нейтронов -й группы.
При этом соотвествующее стационарноеуравнение (1.1) остается неизменным.Повторяя изложенные в разделе 2.2 рассуждения, заменим (2.11) эквивалентной системой уравнений1 (r, , Ω, )= −M (r, , Ω, ) + Ms (r, , Ω, ) + Ma (r, , Ω, )+∑︁ () p () p(1 − )+ (1 − )Mfk (r, , Ω, ) +Mfk (r, , Ω, )+44=1̸=+∑︁ (r, ) () + (r, , n, ),(2.12)=1∑︁ (r, )= Mpkf (r, , Ω, ) + Mpkf (r, , Ω, ) − (r, ),=1̸= (r, , Ω, 0) = нач (r, , Ω), (r, 0) = нач (r).Система сопряженных уравнений для (2.12) в этом случае будет иметь вид+ ˜+˜+0 = M+ + (r, , Ω) + M+s (r, , Ω) + Ma (r, , Ω) +(︃)︃∑︁1˜++(1 − ) () + () Mp+fk (r, , Ω),=1(2.13)56Применяя процедуру, использованную при выводе уравнений (2.10), с учетом разделения переменных (2.8), получим систему уравнений многоточечноймодели кинетики с учетом запаздывающих нейтронов в виде, аналогичном (2.3):(︂)︂ ∑︁)︁ ∑︁ () () − 1 () (︁эфэф () + эф (),= − +− +=1=1̸=эфэф∑︁ () = () + () − (),=1 (0) =нач , (0)(2.14)̸=нач= .Параметры в уравнении (2.14) определяются по следующим формулам:⟨⟩()+˜ (r, , Ω), Mfk ˜ (r, , Ω)4эф=⟨(︂⟩,)︂∑︀()()+˜ (r, , Ω), (1 − )+Mfk ˜ (r, , Ω)44=1⟨⟩˜ (r, , Ω)˜+ (r, , Ω), = ⟨)︂⟩,(︂∑︀()() Mfk ˜ (r, , Ω)˜+ (r, , Ω), (1 − )+44=1(︂⟩⟨)︂∑︀()()+˜ (r, , Ω), (1 − )+Mfk ˜ (r, , Ω)44=1 = ⟨⟩,(︂)︂∑︀()()+˜ (r, , Ω), (1 − )+Mfk ˜ (r, , Ω)44=1⟨⟩+˜ (r, , Ω), () (r, ) () = ⟨)︂(︂⟩,∑︀()()+ ˜ (r, , Ω), (1 − )+Mfk ˜ (r, , Ω)44=1⟨⟩+˜ (r, , Ω), (r, , Ω, )эф () = ⟨(︂)︂⟩.∑︀()()+ ˜ (r, , Ω), (1 − )+Mfk ˜ (r, , Ω)44=1Здесь , = 1, , = 1, .Стоит отметить, что в общем случае коэффициенты размножения зависят от времени в силу температурных эффектов при изменении мощности и57процессов выгорания топлива в реакторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
