Диссертация (1149684), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Здесь формально введенный параметр эф — эффективный коэффициент размножения нейтронов вреакторе, который показывает, во сколько раз следует изменить количествонейтронов, рождающихся при делении ядер топлива, чтобы осуществить самоподдерживающуюся ядерную реакцию при заданных параметрах реактора исоответственно получить нетривиальное решение уравнения (1.7).Уравнение (1.7) описывает задачу на собственные функции и собственныезначения оператора L, где L = M − Ma − Ms .
Известно, что (1.7) имеет бесконечный спектр собственных чисел . С.Б. Шиховым [116] было доказано,что эффективный коэффициент размножения эф совпадает с максимальнымсобственным числом, отделенным от следующих собственных чисел, а соответствующая собственная функция ˜0 — с наблюдаемым потоком нейтронов.Квазикритическое представление нейтронного поля весьма удобно при теоретическом анализе и численных расчетах реактора, но имеет весьма условнуюсвязь с действительностью, если эф значительно отличается от единицы. Вэтом случае рассчитанное по (1.7) нейтронное поле не существует в действительности, однако при незначительных отклонениях реактора от критическогосостояния квазикритическое представление с достаточной степенью точностипозволяет определить размножающие свойства системы.211.2. Сопряженное уравнение переносаСопряженные уравнения и функции, являющиеся решениями сопряженных уравнений, играют важную роль в теории ядерных реакторов.
Теория сопряженных уравнений реактора впервые была разработана Е. Вигнером [66].В дальнейшем эта теория усовершенствовалась в работах Л.Н. Усачева [109],С. Глесстона и М. Эдлунда [71], Г.И. Марчука [93], Дж. Льюинса [90] и др.Важнейшей особенностью сопряженных уравнений является то, что они даютвозможность построения теории возмущений [107, 110] и определения основныхкинетических параметров [109] при анализе нестационарных процессов.В данном разделе рассмотрены два типа сопряженных уравнений, на основе которых строятся уравнения кинетики реактора (см. главу 2).
Первый типсвязан с квазикритическим уравнением переноса, а второй — с уравнением переноса с внешним источником нейтронов.1.2.1. Сопряженное квазикритическое уравнение переносаПерепишем квазикритическое уравнение переноса (1.7) в следующем виде:L˜0 =1Mf ˜0 .эф(1.8)Здесь L = M − Ma − Ms .Рассмотрим операторы L+ и Mf + , сопряженные соответственно операторам L и Mf в смысле Лагранжа [104].
Тогда по определению верны следующиефункциональные равенства⟨⟩ ⟨⟩++ ˜+˜˜˜0 , L0 = 0 , L 0 ,⟨⟩ ⟨⟩+ ˜++˜˜˜ 0 , M f 0 = 0 , Mf 0 .(1.9)RRRЗдесь ⟨, ⟩ = Ω r · — скалярное произведение, а ˜0+ — функция,сопряженная ˜0 .Из соотношений (1.9) следует, что если функция ˜0 является решениемуравнения (1.8), то функция ˜0+ является решением сопряженного (1.8) урав22нения1Mf + ˜0+ .(1.10)эфВ общем случае оператор L ̸= L+ , поэтому конкретный вид операторовL+ ˜0+ =M+ , Ma + , Mf + и Ms + определяется на основании функционального равенства(1.9).На сопряженную функцию ˜0+ (r, Ω, ) накладываются те же условия, чтои на функцию потока нейтронов ˜0 (r, Ω, ). Также предполагается, что онаудовлетворяет симметричному (1.4) граничному условию˜0+ (rгр , Ωвнеш , ) = 0.(1.11)Сопряженный поток ˜0+ (r, Ω, ) является функцией ценности нейтроновотносительно асимптотической мощности.
Это означает, что если в некоторуюточку квазикритического реактора r0 впустить нейтрон с энергией 0 в направлении Ω0 , то через асимптотически бесконечное время в реакторе установится пространственно-энергетическое распределение нейтронов, соответствующеефункции ˜0+ (r0 , Ω0 , 0 ) в этой точке. Физический смысл сопряженной функциикак ценности был впервые определен Е.
Вигнером [66] и позднее уточнен Л.Н.Усачевым [109], им же дан физически строгий вывод уравнения (1.10) на основезакона сохранения ценности [110].На основе уравнения (1.10) для ценности в смысле Л.Н. Усачева строится классическая теория возмущений для эффективного коэффициента размножения [107], позволяющая оценить изменение коэффициента реактивности1 = 1−при малых возмущениях в состоянии реактора. К таким возмущеэфниям, например, можно отнести изменение изотопного состава вследствие выгорания топлива и накопления продуктов деления.
В связи с этим сопряженнуюфункцию ˜0+ (r, Ω, ) также назвают ценностью по отношению к эффективному коэффициенту размножения эф .Помимо использования уравнения (1.10) в теории возмущений, оно применяется для построения модели точечной кинетики [109], в параметры которой23входят важные нейтронно-физические характеристики реакторных систем: эффективная доля запаздывающих нейтронов и время жизни мгновенных нейтронов [83]. На основе данного подхода в главе 2 предложена модель многоточечнойкинетики и формулы для вычисления указанных характеристик.1.2.2. Сопряженное уравнение переноса с внешним источникомнейтроновПерепишем неоднородное уравнение переноса (1.1) в следующем виде:L˜ = Mf ˜ + ,(1.12)где L = M − Ma − Ms , а — описывает внешние источники нейтронов.При решении задач, описываемых неоднородными уравнениями, обычноимеют цель получить в результате значение некоторой величины, являющейсялинейным функционалом от потока ˜ с весовой функцией Σ следующего вида:ZZZ⟨⟩˜˜˜Σ ( ) = r Ω (r, Ω, ) · Σ(r, ) = , Σ .(1.13)Рассмотрим теперь сопряженное (1.12) уравнение переносаL+ ˜ + = Mf + ˜ + + Σ,(1.14)с граничным условием (1.11).
Здесь функция Σ выступает в качестве дополнительного источника, а сопряженные операторы определены в предыдущемразделе.Применив условия (1.9) к прямому (1.12) и сопряженному (1.14) уравнениям, получим следующее соотношение:⟨⟩ ⟨⟩+ ˜˜ , = ,Σ ,из которого следует (˜ + ) = Σ (˜ ). Поэтому если необходимо найти значениефункционала Σ (˜ ), можно решить сопряженную задачу (1.14) и определить (˜ + ).24Сформулируем физический смысл сопряженной функции ˜ + (r, Ω, ), определяемой неоднородным уравнением (1.14).
Рассмотрим источник нейтроновединичной интенсивности, помещенный в точку фазового пространства с координатами (r0 , Ω0 , 0 ), т.е. (r, Ω, ) = (r − r0 )(Ω − Ω0 )( − 0 ). В этом⟨⟩+˜˜случае Σ ( ) = , (r − r0 )(Ω − Ω0 )( − 0 ) = ˜ + (r0 , Ω0 , 0 ). Следовательно, сопряженная функция описывает зависимость функционала Σ (˜ ) отточки помещения источника нейтронов единичной мощности. Таким образом,˜ + (r, Ω, ) дает вклад частиц, находящихся в той или иной точке системы,в интересующий функционал Σ (˜ ), иными словами, ˜ + (r, Ω, ) представляет собой ценность нейтронов в точке (r, Ω, ) относительно ядерного процесса,характеризующегося макросечением Σ, и связанного с ним функционала (1.13).Аналогично классической теории возмущений, на основе уравнения (1.14)могут быть получены выражения для оценки изменений линейных функционалов вида (1.13) и их отношений (дробно-линейных функционалов), определяющих различные реакторные величины, при различных возмущениях реакторав виде линейных соотношений.
Данный подход в литературе получил названиеобобщенная теория возмущений [107].Обобщенная теория возмущений находит естественное применение при решение различного рода оптимизационных задач, связанных с проектированием и регулированием ядерных реакторов. Для этого необходимо сформироватьподлежащий оптимизации целевой функционал (1.13), определить для него соответствующую функцию ценности (1.14) и построить зависимость изменениязначения данного функционала от возмущений управляющих параметров. Например, в работе [18] обобщенная теория возмущений использовалась для оптимизации материального состава сборки с целью увеличения коэффициентавоспроизводства и реактивности.Как было отмечено в предыдущем разделе, для вывода классических уравнений точечной кинетики и для определения основных кинетических параметров реактора используется сопряженное квазикритическое уравнение (1.8).
Од25нако в последнее время в литературе встречаются уравнения точечной кинетики для реактора с источником, полученные с использованием сопряженногоуравнения вида (1.14). При таком подходе в качестве неоднородности, как правило, выступают различные линейные комбинации с макросечением деления Σ[20, 22, 44]. В работе [32] также предложен способ комбинирования квазикритического и неоднородного сопряженных уравнений для определения единойфункции ценности относительно и эффективного коэффициента размножения ивнешнего источника нейтронов. Авторами работы проанализирована кинетикапри пуске и остановке реактора с использованием моделей точечной кинетики,полученных на основе различных функций ценности. В результате сравнениярезультатов существенного различия выявлено не было, что свидетельствует онекотором произволе при выборе функций ценности для усреднения кинетических параметров.1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
