Диссертация (1149550), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Напомним, чторазделение ОКЯ на толстые и тонкие подразумевает сравнение толщины КЯс длиной волны рассеиваемого IF-фононами света.В пределе s1→ , то есть в случае, когда толщина ямного слоястановится гораздо больше длины волны фонона, уравнения (5.6а,б)превращаются в уравнение (5.2). Следовательно, IF-фононы в толстой ОКЯвырождаются в IF-фононы изолированного гетероперехода «яма-барьер».Такое поведение можно объяснить тем, что колебания атомов в IF-модах,локализованныхнаразныхинтерфейсах,междусобойпочтиневзаимодействуют.
Таким образом, мы приходим к выводу, что частотыинтерфейсных фононов в толстой ОКЯ, будут близки к частотам IF-фононовизолированного гетероперехода. На рисунке 5.6 представлены зависимостичастот четырех IF-мод для ОКЯ GaAs/InAs/GaAs и AlN/GaN/AlN (всфалеритной фазе).Частота фонона, см-1Частота фонона, см-1290280270240230220012349 10Толщина ямного слоя в единицах s=qdInAs, отн. ед.(a)920880840800760640620600580560540012349 10Толщина ямного слоя в единицах s=qdGaN, отн. ед.(б)Рисунок 5.6 - Зависимости (s) для IF-фононов в ОКЯ GaAs/InAs/GaAs (а) иAlN/GaN/AlN (б).
IFX-моды показаны красным, IFZ-моды - синимМожно видеть, что зависимости (s) для всех мод имеют характермонотонного перехода от частот объемных составляющих (s=0) к частотам76IF-модизолированногогетероперехода(s=).Критериемтолщины,разделяющим эти пределы, может служить значение s=2.5.3 СверхрешеткиРассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случайбинарной СР из изотропных материалов, перечисленных в таблице 5.1 и 5.3.Как и в случае других рассмотренных в этом разделе систем (ИГ и ОКЯ), втакой спектр полярных фононов, распространяющихся в плоскостиинтерфейса (qz), сводится к интерфейсным модам.Параметры gn,введенные в (4.25), в каждом слое имеют вещественное значение по модулюравное q.Как отмечалось в разделе 4.1.1, фононные состояния в бинарной СРразделяются на симметричные и антисимметричные по отношению кзеркальнойплоскости,проходящейчерезсерединукаждогослоя.Соответственно, интерфейсные фононы можно разделить на IFX и IFZ,аналогично тому, как мы определили их в ОКЯ.Положим z=0 на одном из интерфейсов (см.
рис. 2.1в), обозначимтолщину слоев d1 и d2 и введем параметр R как в формуле (5.6с). Чтобысохранить преемственность, будем предполагать, что слой «1» состоит изямного материала с меньшей шириной запрещенной зоны (GaAs, GaN), а чтослой «2» состоит из барьерного материала с большей шириной запрещеннойзоны (AlAs, AlN).Для IFX-мод в СР компоненты электрического поля будут задаватьсявыражениямиdEcosh[q(z)], d z 02 exp(iqx) E cosh[ q( z d )], 0 z d211, x , xEx , Slx122, x , x2(5.8)77d E sinh[q( z 2 )], d z 0 exp(iqx) E sinh[q( z d )], 0 z d211, x , zEz , Slx1(5.9)22, x , z2где Ex,Slx и Ez,Slx – электрическое поле фононной моды IFX в направлениях х иz соответственно,E1, x , x , E2, x , x , E1, x , z , E2, x , z- амплитуды компонент электрическихполей в ямном слое в вдоль направления х, в барьерном слое в вдольнаправления х, в ямном слое в направлении z, в барьерном слое внаправлении z соответственно для IFX моды, d1 и d2 – ямного и барьерногослоев соответственно, в таких обозначениях d=d1+d2 – период СР.
Фазовыесоотношения между ними имеют вид:En, x, z iEn, x, x,где n=1 или 2 соотвествует номеру ямного или барьерного слоя.Сшивание граничных условий приводит к вековому уравнению дляданной моды, которое можно представить в виде1 tanh( 12 s1 ) 2 tanh( 12 s2 ) 0(5.10)Здесь, как и ранее, использовано обозначение sn qdn . Уравнение (5.10)можно выразить через параметр R в виде:Rtanh 12 s 2 tanh 12 s1 (5.11)Аналогично для IFZ-мод в СР компоненты электрического поля будутзадаваться уравнениямиdEsinh[q(z)], d z 02 exp(iqx) E sinh[ g ( z d )], 0 z d211, z , xEx , SLz1(5.12)22, z , x22d E cosh[q( z 2 )], d z 0 exp(iqx) E cosh[q( z d )], 0 z d211, z , zEz , Slz122, z , z2(5.13)78где Ex,Slz и Ez,Slz – электрическое поле фононной моды IFX в направлениях х иz соответственно,E1, z , x , E2, z , x , E1, z , z , E2, z , z- амплитуды компонент электрическихполей в ямном слое в вдоль направления х, в барьерном слое в вдольнаправления х, в ямном слое в направлении z, в барьерном слое внаправлении z соответственно для IFZ моды.Фазовые соотношения между амплитудными коэффициентами для IFZмод такие же, как и для IFX-мод.
Сшивание граничных условий приводит квековому уравнению для данной моды, которое можно представить в виде1 coth( 12 s1 ) 2 coth( 12 s2 ) 0(5.14)или через параметр R:Rtanh 12 s1 tanh 12 s2 (5.15)Сопоставление уравнений (5.11) и (5.15) подтверждает, что длябинарных СР из изотропных материалов, как и для других рассмотренныхвышеизотропныхгетероструктур,выполняетсяобщееСвойство2,доказанное в разделе 4.3: если величина R соответствует значению частотыкакого-либо IF-фонона, то величина 1/R соответствует значению частотыдругого IF-фонона.Из вида уравнений (5.11) и (5.15) следует возможность их разделения начастотно-зависимую (левую) часть и структурно-зависимую (правую) часть.Рассмотрим подробнее вопрос о влиянии структуры, то есть вопрос о том,как зависят от геометрии СР значения R, получающиеся из соотношений(5.11) и (5.15). Прежде всего, отметим, что в бинарных СР с равнымитолщинами слоев (случай s1=s2) уравнения (5.11) и (5.15) переходят вуравнение R=-1, которое совпадает с вековым уравнением (5.2) для ИГ.Следовательно, в этом случае значение R не зависит от геометрии, то есть, отдлиныпериодаСР.Этоозначает,чтоичастотыIF-фононоввравнопериодных СР независимо от длины периода СР будут иметь те жезначения, что в ИГ (см.
таблицы 5.2 и 5.4). С помощью соотношений (5.8-5.9)79и(5.12-5.13)можнопостроитькартиныраспределенияамплитуднапряженности поля, индуцированного IF-фононами в равнопериодной СР.Они показаны на рисунке 5.7.IFXIFZIIIСлой 1Слой 21,0Ex 0,5E0,00,5Ez0,0-0,5E1,00,50,0x-0,5-1,01,51,00,50,0z-0,5-1,0-1,5Слой 1Слой 2Рисунок 5.7 - Электрическое поле, индуцируемое IF-фононами вравнопериодной СР с s1=s2=1.
Зависимости Ex(z) и Ez(z) показаны дляплоскостей, обозначенных как I и II соответственно.В случае, когда толщина барьерного слоя существенно больше толщиныямного слоя, система соответствует случаю ОКЯ. Если s2→∞ и с хорошейточностью можно считать tanh(s2/2)≈1, уравнения (5.11) и (5.15) переходят вуравнения (5.6а) и (5.6б) для IFХ и IFZ-мод в ОКЯ.Случай, когда толщины всех слоев много меньше длины волнырассеиваемого света (когда s1<<1 и s2<<1) представляет особый интерес всилу прикладной важности таких систем.
Приближение sn=qdn→0, где n=1или 2 с равным основанием мы можем называть случаем короткопериодныхСР или длинноволновым приближением.Заметим, что в этом приближении электрические поля, представленныена рисунке 5.7, становятся почти однородными: в модах IFX компонента80Ez=0 и поле направлено по x, а в модах IFZ компонента Ex=0 и поленаправлено по z. Эта особенность полярных фононов в короткопериодных СРзначительно упрощает схему расчета. В пределе тонкослойных СР, когда s1,s2<<1, уравнение (5.11) переходит вRd2d1(IFX)(5.16)(IFZ)(5.17)а уравнение (5.15) сводится к уравнениюRd1d2Рассмотрим вопрос о зависимости частот от структуры СР, то есть ототношения d1/d2.
Для численного описания такой зависимости удобно ввестипараметр f d2, изменение которого в интервале (0,1) включает всеd1 d 2возможные значения d1/d2.В соответствии с (5.16) и (5.17) мы имеем:для IFX: R ff 1или f RR 11для IFZ: R f 1 или f f1 RС использованием характеристик объемных составляющих из таблиц 5.1 и5.3 и уравнений (5.16) и (5.17) мы определили частоты IF-фононов в СРGaAs/AlAs и GaN/AlN при различном соотношении толщин слоев.Зависимости этих частот от параметраf приведены на рисунке 5.8б.Сравнение с экспериментальными данными показывает, что МДК корректнопредсказывает положения частот фононов в длинноволновом приближении.Одной из трудностей при определении положения линии интерфейсногофонона является возможное наложение полосы конфайнментного фонона.Это становится все более и более вероятнее в случае, когда материал, изкоторого сделана СР имеет небольшое LO-TO расщепление, как, например,для GaAs (23 см-1) и InAs (21 см-1) согласно таблице 5.1.
В таком случае для81более надежной локализации интерфейсных мод можно сделать следующуюпроцедуру. Проиллюстрируем еѐ на примере положения GaAs-подобных модСР GaAs10/AlAs3 из работы [113].В данной работе в спектре КРСрегистрируются полосы интерфейсных фононов в диапазоне AlAs-подобныхмод, в то же время для GaAs-подобных мод определение положенияинтерфейсныхмодзатрудненоналичиемблизкогорасположенныхконфайнментных мод. В таком случае можно воспользоваться следующейсхемой:1)построитьзависимостьR(ω)=εGaAs/εAlAs,гдеиспользуютсяэкспериментально определенные значения частот LO и ТО фононов, какголовные линии серии конфайнментных фононов, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
