Диссертация (1149550), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Для мод, распространяющихся вдоль оси z, волновой векторимеет вид q  (0,0, q) , в пределе q  0 спектр таких мод состоит из A(LO) иE(TO) фононов.В работах [87, 91, 95] было показано, что в случае q  (0,0, q) возможнылишьмоды,локализованныевотдельныхслоях. Ониназываютсялокализованными (confined modes), если область локализации соответствуетслою конечной толщины, или полубесконечными (half-spaced modes), еслиобласть локализации – крайний полубесконечный слой гетероструктуры (ε0или εN на рисунке 4.2). В том и в другом случае поведение таких фононовопределяется только свойствами материала слоя локализации, а для их54описания достаточно использовать стандартную динамическую теориюкристаллов.В случаеq  (q,0,0) возможны решения, которые соответствуютинтерфейсным (IF), квазиконфайнментным (QC) и распространяющимся (PR)[87, 91, 95].

Для этих мод характерна делокализация в материалах соседнихслоев (то есть, по всей гетероструктуре). Свойства таких мод сильно зависяткак от геометрии гетероструктуры, так и от еѐ состава в целом. Основныеусилия исследователей были посвящены изучениям именно этих фононов.Рассмотрим подробнее случай q  (q,0,0) . Как известно [106], водноосной среде лучи, распространяющиеся перпендикулярно главной оси (внашем случае это ось z), делятся на обыкновенные (ordinary) инеобыкновенные (extraordinary). Мы оставляем в стороне случай обычнойволны с q  (q,0,0) и E=(0, E, 0), поскольку он соответствует E(TO)-модам,локализованнымвотдельныхслоях,исосредоточимсянаслучаенеобыкновенных волн, в которых электрическое поле лежит в плоскости xzEx ~ exp(iqx) Ex ( z ) , E y  0 ,Ez ~ exp(iqx) Ez ( z)(4.20)В этом случае уравнения (4.8-4.9) принимают вид: zzdEx ( z )  iqEz ( z )  0dz(4.21)dE z ( z )  iq xx E x ( z )  0 ,dz(4.22)а граничные условия на интерфейсах выглядят следующим образом:(4.23)(4.24)Решениезадачи, определяемойусловиями(4.21-4.24) призаданнойгеометрии гетероструктуры, позволяет найти частоты полярных оптическихфононов с волновым вектором в плоскости интерфейса.

В работе [95]приводится применение метода матриц переноса для описания поведенияинтерфейсных оптических фононов в произвольной гетероструктуре.55Краткое рассмотрение этих случаев, а так же приложение для случаягетеросистем, состоящих из материалов с разными εn, будет приведено вглавах 5-9. В общем случае конечного волнового вектора напряженностьэлектрического поля в n-ом слое в структуре с плоским гетероинтерфейсом –решение уравнений (4.21, 4.22) – будет являться линейной комбинациейплоских волн с волновыми векторами сонаправленным и противоположнонаправленным с направлении z.En, z ( z )   An exp( gn z)  An exp(  g n z)  exp(iqx)En, x ( z )  i(4.24а)q An exp( g n z )  An exp( g n z )  exp(iqx)gn(4.24б)Из-за того, что в плоскости интерфейса, а точнее в направлении х,сохраняется периодичность, присущая объемному материалу, характеррешения в этом направлении остается периодическим.

В направлении z из-заразличия в составе в n-ом слое вводится параметр gn, который имеет видgn  qОнзависитотдиэлектрических xx , n zz , n(4.25)проницаемостейматериалавнаправлениях х и z, поэтому является частотно-зависимым и дляанизотропных слоев в общем случае принимает разные значения. Для случаяизотропныхматериаловразличиемеждудиэлектрическимипроницаемостями в направлениях х и z отсутствует.

Параметр gn являетсявещественным и по модулю равняется q. В анизотропных материалах взависимости от частотной области решений возможны диэлектрическиепроницаемости в направлениях х и z разных знаков. При этом параметр gnстановится мнимым, а характер электрического поля в слое по мере удаленияот интерфейса меняется с затухающего по экспоненциальному закону нараспространяющийся. Прежде чем приступать к решению конкретныхзадач, заметим, что для любых решений уравнений (4.21-4.24) можновыделить ряд общих свойств.564.2 Свойство 1.Для любого решения уравнений (4.21-4.24) для произвольной плоскойгетероструктуры одновременно выполняются условия Ez  0. Dx  0(4.26)Здесь под усреднением подразумевается усреднение функции A(z)kfА A( z )dzkik kfгде kf, ki(4.27)i- это координаты по оси z, между которыми заключенарассматриваемая структура.

В случае если структура является бесконечной,то следует перейти к предельному выражению  A( z )dz А  lim  k k kfkiki k f f(4.28)iВ силу периодичности идеализированной структуры СР предел (4.28)может быть явно редуцирован к формуле вида (4.27). При этом разность kf-kiбудет иметь смысл периода СР.В случае структур с бесконечными слоями, такими как, например, МКЯили ОКЯ, заключенными в полубесконечные барьерные слои под равенствомусредненного значения А нулю подразумевается равенство нулю числителя в(4.27)kf A( z)dz  0(4.29)kiДоказательство (изотропный случай)Рассмотримвначаледоказательстводлягетероструктуры,составленной из изотропных материалов.

Доказательство основывается нарассмотрении величин Dx и Ez в каждом слое и анализе их вклада в57интегральное выражение вида (4.29). В случае изотропной гетероструктурывеличина электрического смещения в n-ом слое дается выражениемD  E x ,nxx ,nx ,nxx ,n A exp  qz   A exp  qz  exp iqx nn(4.30)Интегрируя это выражение вдоль слоя и суммируя вклады по всем слоям,получим D ( z)dz x1qxx , nn A exp  qz sn 1nsn A exp  qz sn 1nsn exp iqx   0(4.31)где j – отличает сорт материалов гетероструктуры. В силу изотропностиструктуры сумму в (4.31) можно разделить по группам так, чтобы каждая изних содержала слагаемое вида Dz ,n ( z n )  Dz ,n1 ( z n ) , которое совпадает ссоотношением (4.24), выражающем условие непрерывности на интерфейсенормальной составляющей смещения. Что и доказывает равенство нулювыражение (4.31).Аналогичная ситуация для компоненты Ez, выражение для которой в nом слое:E   A exp  qz   A exp  qz   exp  iqx z ,nnnИнтегрируя это выражение вдоль слоя и суммируя вклады по всем слоям,получим E ( z)dz z1 A exp  qz qnnsn 1sn A exp  qz sn 1nsn exp iqx   0(4.32)Слагаемые в правой части (4.32) можно сгруппировать так, чтобы онипредставляли собой уравнения (4.23) с точностью до того же множителя 1/q.Доказательство (одноосный анизотропный случай)В случае одноосной анизотропной структуры идея доказательствааналогична, но аргументация несколько усложняется.

В случае анизотропнойсреды запишем компоненту напряженности поля вдоль направления х в n-омслое в виде:E   E exp( g z )  E exp( g z )  exp  iqx x ,nx ,nnx ,nn(4.33а)58Тогда из уравнения Максвелла (4.21) компонента вдоль направления z можетбыть записана так: ggEz ,n  i n Ex,n exp( g n z )  i n Ex,n exp( g n z )  exp  iqx q q(4.33б)По аналогии с изотропным случаем рассмотрим интегральную величину Dx всмысле (4.29):zn 1zn 1 Ex,nEx,nD(z)dzexpgzexpgz exp  iqx  (4.34)n xx ,n  gnn xgnznzn nВ сумме в правой части (4.34) можно выделить группы слагаемыхследующего вида:EEexpgzexpgz exp  iqx   ggEE ...

  exp  g z  exp   g z   exp  iqx  g gzn 1x ,nxx , nnnnnnznx ,nnnnnE gx , n 1xx , n 1znx ,nxx , nzn 1x ,nnexp  g z  n 1n 1(4.35)nnEgx , n 1exp   g z   exp  iqx   ...n 1n 1nЕсли воспользоваться соотношением (4.25), то в (4.35) можно выделитьгруппы слагаемых вида (4.36) gg1i  zz,n  n E x,n exp( g n z n )  n E x,n exp(  g n zn ) exp(iqx ) qq q gg1 i  zz,n1  n1 E x,n1 exp( g n1 z n )  n1 E x,n1 exp(  g n1 z n ) exp(iqx )qq q(4.36)Согласно (4.33б), выражения в квадратных скобках соответствуют значениямна интерфейсах функций Ez,n(z) и Ez,n+1(z), а всѐ выражение (4.36) можнозаписать в видеiDz ,n ( zn )  Dz ,n1 ( zn ),q(4.36а)59которое с точностью до множителя i/q соответствует граничному условию,обеспечивающемунепрерывностьнормальнойсоставляющейвекторасмещения. Следовательно, выражение (4.36а), как и вся сумма в (4.34), равнынулю.

Что и требовалось доказать.Теперь обратимся к доказательству первой части утверждения (4.26). Поаналогии с изотропным случаем рассмотрим интегральную величинунормальнойсоставляющейEzвсмыслеВоспользовавшись(4.29).соотношением (4.33б), получаем: E ( z)dz  q   i  E1zx ,nexp  g z nnzn 1zn iE exp   g z x ,nnzn 1zn exp iqx (4.37а)Сумму в правой части выражения (4.37а) можно разбить на группы вида(4.37б)1zz i  Ex,n exp  g n z  znn1  iEx,n exp   g n z  znn1 exp  iqx  q n ...   i   Ex,n exp  g n zn   Ex,n exp   g n zn   exp  iqx  (4.37б)  i   Ex,n1 exp  g n1 zn   Ex,n1 exp   g n1 zn   exp  iqx   ...Показанная здесь группа есть не что иное, как граничное условие,выражающее непрерывность тангенциальной составляющей электрическогополя (с точностью до множителя –i ).

Следовательно, сумма в (4.37а) равнанулю. Что и требовалось доказать.Итак, в ходе приведенных в этой главе доказательств было показано,что для интерфейсных мод в структурах, выращенных из изотропныхматериалов, а так же для интерфейсных и квазиконфайнментных мод вструктурах, выращенных из анизотропных одноосных материалов, должнывыполняться условия (4.26).4.3 Свойство 2Заметим, что длягетероструктур, построенных из изотропныхматериалов, соотношение (4.25) принимает простой вид:gn = q60В таком случае, показатели экспонент gn не зависят от n и, следовательно, отчастоты  Уравнения (4.21-4.24) после подстановки (4.24а-4.24б) становятсялинейными относительно величин Rn=εn/εn+1, что позволяет значительноупростить процесс решения,Особенно простым становится решение такой задачи для бинарныхизотропныхгетероструктур,которыехарактеризуютсяединственнымпараметромR=ε1(ω)/ε2(ω)=εzz,1(ω)/εzz,2(ω)=εxx,1(ω)/εxx,2(ω)(4.38)Подстановка (4.24а-б) в уравнения (4.21-4.24) приводит к системелинейных уравнений относительно коэффициентовAn ,An .Условиемразрешимости такой системы является равенство нулю определителясоответствующейматрицы,чтоприводиткстепенномууравнениюотносительно R.

Решение такого уравнения значительно облегчается, еслииспользовать дополнительное обстоятельство, которое мы обозначим какСвойство 2.Свойство 2:В гетероструктуре, составленной из двух изотропных материалов,каждому значению параметра R, удовлетворяющему уравнениям (4.21-4.24),соответствует значение R 1, которое также является решением задачи.RДоказательствоДоказательство основывается на рассмотрении пары сшиваемыхуравненийнапроизвольноминтерфейсе.Допустимнамизвестныкоэффициенты A , A , A , A , входящие в выражения (4.24а - 4.24б), иn 1n 1nnзначение параметра R, удовлетворяющее уравнениям (4.21-4.24).

Характеристики

Список файлов диссертации