Диссертация (1149527)
Текст из файла
Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиСейфуллаев Руслан ЭльмановичИсследование нелинейных гибридных систем методом матричныхнеравенств01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор технических наук,профессор Фрадков А.Л.Санкт-Петербург2015СодержаниеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Вспомогательные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1S-процедура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2Метод скоростного градиента . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3Неравенство Йенсена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.4Неравенство Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Анализ устойчивости дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем . 102.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 102.2Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.32.2.1Случай стандартного функционала Ляпунова–Красовского . . . . . . . . . . 132.2.2Случай расширенного функционала Ляпунова–Красовского . . . . . .
. . . 20Анализ робастной устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Приложения к исследованию дискретного управления механическими системами . 283.1Управление маятником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 283.2Робастное управление маятником с трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1Случай неопределенного коэффициента трения . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2Случай неопределенной массы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 313.2.3Случай неопределенной длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.4Случай неопределенных коэффициента трения, массы и длины . . . . . . . 323.3Синхронизация трех мобильных роботов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333.4Маятник на тележке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.53.4.1Алгоритмы раскачки и стабилизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2Лабораторные установки маятниковых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Синхронизация систем «маятник на тележке», управляемых через сеть . . . .
. . . 474 Управление маятником с квантованием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5524.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 594.3Численный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 73Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743ВведениеСовременные системы управления, как правило, реализуются на компьютерах, в следствие чегоих математические модели включают как непрерывную так и дискретную части, т.е. являются гибридными. При расчете и реализации таких систем возникает важная задача выбора шага (интервала) дискретизации, обеспечивающего устойчивость и приемлемое качество системы. С 1950-хгодов предлагались различные подходы к решению данной проблемы (см., например, [33,46,47]),которая становилась все более актуальной с началом широкой популяризации сетевого управления. Даже для линейных систем эта задача не является тривиальной, если требуется не простодоказать, что при достаточно малом шаге дискретности система сохраняет свойства непрерывной, а найти достаточно хорошие, «неконсервативные» оценки предельно допустимой величинышага дискретизации.
Для нелинейных гибридных систем поставленная задача, несмотря на еёважность, изучена недостаточно.В последние годы в мировой литературе вырос интерес к подходу, основанному на преобразовании дискретно-непрерывного описания системы к виду систем с переменным (пилообразным) запаздыванием. Идея подхода не нова: он применялся в работах А. Д. Мышкиса [15], Ю. В.Михеева, Э.
М. Фридман, В.А. Соболева [14, 27], а метод функционалов Ляпунова–Красовского[10] широко применяется для анализа систем с запаздыванием (например, см. [8, 50]). В начале2000-х годов в работах Э.М. Фридман и ее соавторов были получены результаты с использованием обобщённого функционала Ляпунова–Красовского [42] в сочетании с дескрипторнымметодом исследования систем с переменным запаздыванием [40]. Подход приобрел эффективную расчетную составляющую, основанную на линейных матричных неравенствах (LMI), ипревратился в мощный метод расчета, позволяющий существенно снизить консервативностьоценок [41–43, 55]. Однако до недавних пор метод переменного запаздывания и его расширенияприменялись только к линейным системам [37,45,51,58,59,61]. Даже для такого хорошо исследованного класса систем как системы Лурье [5,7] с нелинейностями, удовлетворяющие секторнымквадратичным связям, соответствующие результаты отсутствовали.
В то же время секторнымсвязям удовлетворяют многие важные классы нелинейности, такие как синусоидальные нели-4нейности, насыщение, реле с зоной нечувствительности, квантование, кусочно-линейные функции и др [49].Таким образом, распространение данного подхода на нелинейные системы является актуальной задачей.Целью диссертационной работы является получение оценок шага дискретизации в гибридных системах, гарантирующего их экспоненциальную устойчивость, методом переменного запаздывания для класса нелинейных систем Лурье.
Для достижения поставленной цели в работерешаются следующие задачи:1. получить условия на шаг квантования для обеспечения экспоненциальной устойчивостис заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурье с дискретнымрегулятором;2.
получить условия на шаг квантования для обеспечения робастной экспоненциальнойустойчивости с заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурье сдискретным регулятором;3. применить полученные результаты к исследованию систем дискретного управления механическими объектами;4. получить оценки точности достижения цели управления в задаче управления энергиеймаятника с помощью обратной связи с квантованием.В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.Во второй главе рассматриваются нелинейные системы в форме Лурье с секторными нелинейностями. Система замкнута квантованной по времени линейной обратной связью.
Согласнометоду переменного запаздывания, предложенного Э.М. Фридман и ее соавторами, эффект квантования моделируется как запаздывание с последующим построением и применением функционалов Ляпунова–Красовского. На основании так называемой S-процедуры задача оценки шагаквантования сводится анализу разрешимости и решению системы линейных матричных неравенств, то есть двух задач, которые с вычислительной точки зрения поддержаны эффективнымиалгоритмическим и программным обеспечением.
В разделе 2.3 данный подход распространяетсяна исследование робастной устойчивости нелинейных многосвязных систем Лурье с секторными нелинейностями.В третьей главе полученные результаты применяются к различным задачам управления механическими объектами. В разделе 3.1 рассматривается задача стабилизации маятника в верти5кальном положении с помощью дискретной обратной связи. В разделе 3.2 исследуется задачаробастной стабилизации в вертикальном положении маятника с трением с помощью дискретного регулятора в различных случаях, когда неизвестны те или иные параметры системы. Вразделе 3.3 рассмотрена задача синхронизации трех мобильных роботов в случае постоянногошага дискретизации. В разделе 3.4 изучается система «маятник на тележке», где решается задачараскачки и дискретной стабилизации маятника и тележки.
Также для этой системы приводятся описания экспериментальных лабораторных установок Lego Mindstorms NXT, позволяющихпроводить натурные эксперименты, наглядно демонстрирующие результаты полученных алгоритмов. В разделе 3.5 представлен пример сетевого управления синхронизацией двух систем«маятник на тележке».В четвертой главе рассматривается задача управления энергией Гамильтоновых систем вслучае квантованных измерений сигнала. Подход продемонстрирован на примере управленияэнергией маятника с помощью обратной связи с квантованием, содержащем в себе все трудности, характерные для нелинейных частично-устойчивых систем. В качестве номинального алгоритма используется алгоритм скоростного градиента, асимптотически стабилизирующий произвольный уровень энергии в случае отсутствия квантования.
В качестве кандидата в функцииЛяпунова выбирается квадратичное отклонение между текущим и желаемым уровнем энергии(которая убывает для замкнутой системы без квантования). Показано, что в случае присутствияквантования даже с достаточно малым шагом, функция Ляпунова все равно уже не являетсявсюду убывающей, однако периоды и величины возможного возрастания ограничены, а убывающее поведение является доминирующим. Установлено, что если начальный уровень энергиидостаточно отделен от уровня равновесий, то траектория за конечное время войдет в область,близкую к желаемому уровню энергии. Основной результат главы состоит в получении оценоккак для границы ошибки квантизации, так и для границ области притяжения и области начальных данных.В Заключении перечислены основные результаты работы.По теме диссертации опубликовано 14 работ [17–22,30,53,62–66,70], в том числе 7 в изданияхиз перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, 7 работ в изданиях из баз цитирования Webof Science и Scopus.
Основные результаты представлены на 12 российских и международныхконференциях.6Глава 1Вспомогательные сведения1.1S-процедураВ нелинейной теории управления часто используется специальный прием, названный в [1]S-процедурой. Существует довольно много различных интерпретаций данного метода (например, [1, 11–13] и др.), связанных со специфическими особенностями задач его использования.В частности, S-процедура используется в задаче, которая возникает при построении функцииЛяпунова: одна квадратичная форма должна быть отрицательно определенной в области неотрицательности другой квадратичной формы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
