Диссертация (1149527), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда система (2.5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания .Доказательство. Рассмотрим на пространстве IR × × 2 [−ℎ, 0] следующий функционал:0 (, , ˙ ) = (0) (0) + (ℎ − ())∫︁02 ˙ () ˙ ().(2.9)− ()Для доказательства теоремы 2.1 будем проверять условия леммы 2.1.Покажем, что условие (2.6) выполнено. Так как второе слагаемое в (2.9) неотрицательно, тодля проверки первого неравенства в (2.6) найдем положительный параметр 1 такой, что1 | (0)|2 6 (0) (0).(2.10)Поскольку > 0, то все собственные значения положительны и, следовательно, для выполнения (2.10) достаточно выбрать 1 , равным минимальному собственному значению .15Аналогично (2.10) верно неравенство(︂2 (0) (0) 6 1 | (0)| 6 1)︂2max | ()| ,∈[−ℎ,0]где 1 – максимальное собственное значение .Принимая во внимание, что max 2 = 1, оценим второе слагаемое в (2.9):∈[−ℎ,0]∫︁0(ℎ − ())2˙ () ˙ ()∫︁02 ˙ () ˙ () 66ℎ− ()− ()∫︁06ℎ˙ () ˙ () 6 2 ℎ− ()∫︁0|˙ ()|2 ,− ()где 2 – максимальное собственное значение .

Так как матрица – положительно определенная, то 2 > 0.Таким образом,(︂0 (, , ˙ ) 6 1)︂2∫︁0max | ()| + 2 ℎ|˙ ()|2 6 2 ‖ ‖2 ,∈[−ℎ,0]− ()где 2 = max(1 , 2 ℎ). Следовательно, условие (2.6) выполнено.Рассмотрим функцию ¯0 (), значениями которой в каждый момент времени будут значенияфункционала 0 (, , ˙ ), т.е.¯0 () = () () + (, ()),˙где∫︁02 ˙ ( + ) (˙ + ). (, ())˙= (ℎ − ())− ()Заметим, что > 0 и lim+ (, ())˙= ( , (˙ )) = 0 , так как ()|= = 0. Поэтому→¯0 () непрерывна справа и условие (2.7) выполнено.Принимая во внимание, что ( − ()) = (1 − ˙ ())(˙ − ()) = 0, оценим выражение¯˙ 0 () + 2¯0 () 6 2 () ()˙ + 2 () () ++ (ℎ − ())˙ ()()˙ − −2ℎ∫︁0− ()Введем обозначение:11 () = ()∫︁0(˙ + ),− ()16˙ ( + )(˙ + ).

(2.11)где под 1 | ()=0 будем понимать следующее: lim 1 = ().˙ ()→0Из неравенства Йенсена получаем оценку∫︁0˙ ( + ) (˙ + ) > () 1 1 .(2.12)− ()Если () – решение (2.5), то верно равенство[︃]︃∑︁[︀ ]︀0 = 2 ()2 + ˙ ()3 × ( + ℬ()) () − ()ℬ()1 + () − ()˙.(2.13)=1Определимвекторы1[, ,˙ 1 , . . . , , 1 ] ,=1∈IR3+и1 ()=[(), (),˙1 (), . . . , (), 1 ()] .Добавим (2.13) в правую часть (2.11) и воспользуемся оценкой (2.12). В итоге получим¯˙ 0 () + 2¯0 () 6 1 ()Ψ ()1 (),(2.14)где⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢Ψ () = ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Φ 11 () Φ 12 ()(1)Φ 13− ()2 ℬ()⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.⎥⎥⎥⎥⎥⎦...( )Φ 13...( )Φ 23− ()3 ℬ()*Φ 22 ()(1)Φ 23****0.........0...0...**0...00**0...0− ()−2ℎТаким образом, для выполнения условия (2.8) достаточно потребовать, чтобы матица Ψ ()была отрицательно определенной для всех > 0.

Рассмотрим следующие линейные матричныенеравенства:⎡Ψ−0⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+0⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣Φ− 11****Φ+ 11****(1)Φ 13Φ− 12...( )Φ 13⎤⎥(1)( ) ⎥Φ 22| ()=0 Φ 23 . . . Φ 23 ⎥⎥⎥*0...0 ⎥ < 0,⎥.... ⎥...*.. ⎥⎦*0...0⎤(1)( )+Φ 12Φ 13 . . . Φ 13⎥(1)( ) ⎥Φ 22| ()=0 Φ 23 . . . Φ 23 ⎥⎥⎥*0...0 ⎥ < 0,⎥....

⎥...*.. ⎥⎦*0...017(2.15)(2.16)⎡Ψ−1⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+1Φ− 11(1)Φ− 12( )Φ 13 . . . Φ 13 −ℎ2 ℬ − *Φ 22| ()=ℎ(1)Φ 23****0.........0...0...**0...00**0...0−ℎ−2ℎΦ+ 11Φ+ 12⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣...( )Φ 23−ℎ3 ℬ − (1)( )Φ 13 . . . Φ 13 −ℎ2 ℬ + *Φ 22| ()=ℎ(1)Φ 23...( )Φ 23−ℎ3 ℬ + ****0.........0...0...**0...00**0...0−ℎ−2ℎ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ < 0,⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.17)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ < 0.⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.18)Определим вектор 0 = [, ,˙ 1 , . . . , ] . Тогда из (2.15), (2.16), (2.17) и (2.18) следует, чтоΨ () < 0 для всех > 0, так какℎ − () +ℎ − () 0 () − −0 − 0 () 0−+Ψ+000+−− 0 Ψ 0 0 +ℎℎ+−−0000−()()()−− () +0000−++Ψ+11 1−+− 1 Ψ 1 1 = 1 Ψ () 1 < 0 ∀1 ̸= 0.ℎ +ℎ−−0000Определим следующие квадратичные формы:0− (0 ) = 0 Ψ− 0 0 ,1− (1 )=1Ψ−10+ (0 ) = 0 Ψ+ 0 0 ,1+ (1 )1 ,=1Ψ+1(2.19)1 .Таким образом, если выполнены неравенства:0− (0 ) < 0 ∀0 ̸= 0,0+ (0 ) < 0 ∀0 ̸= 0,1− (1 )(2.20)< 0 ∀1 ̸= 0,1+ (1 ) < 0 ∀1 ̸= 0,то условие (2.8) леммы 2.1 выполнено.Введем квадратичные формы:() = 1, .

. . , ,() = 1, . . . , .0 (0 ) = ( − 1 )(2 − ),1 (1 ) = ( − 1 )(2 − ),Из (2.2) следует, что следующие неравенства выполнены вдоль траекторий системы (2.5):()0 (0 ) > 0,()1 (1 ) > 0,18 = 1, . . . , .Поэтому можно потребовать выполнения первого неравенства (2.20) только на множестве()0 (0 ) > 0 для всех = 1, . . . , , т.е.()(2.21)()(2.22)()(2.23)()(2.24)0− (0 ) < 0 при 0 (0 ) > 0 ∀ = 1, . . . , , ∀0 ̸= 0.Аналогичным образом:0+ (0 ) < 0 при 0 (0 ) > 0 ∀ = 1, .

. . , , ∀0 ̸= 0,1− (1 ) < 0 при 1 (1 ) > 0 ∀ = 1, . . . , , ∀1 ̸= 0,1+ (1 ) < 0 при 1 (1 ) > 0 ∀ = 1, . . . , , ∀1 ̸= 0.Преобразуем (2.21), (2.22), (2.23) и (2.24) с помощью S-процедуры. Рассмотрим следующиеформы:0− (0 ) = 0− (0 ) +∑︁1− (1 ) = 1− (1 ) +()κ0− 0 (0 ),=1∑︁0+ (0 ) = 0+ (0 ) +()κ1− 1 (1 ),∑︁1− (1 ) = 1− (1 ) +=1()κ0+ 0 (0 ),=1∑︁()κ1− 1 (1 )=1и потребуем, чтобы они были отрицательно определенными для некоторых неотрицательных{︀}︀ {︀}︀ {︀}︀{︀}︀наборов κ0− =1 , κ0+ =1 , κ1− =1 и κ1+ =1 соответственно:{︀}︀∃ κ0− > 0 =1 : 0− (0 ) < 0 ∀0 ̸= 0,(2.25){︀}︀∃ κ0+ > 0 =1 : 0+ (0 ) < 0 ∀0 ̸= 0,(2.26){︀}︀∃ κ1− > 0 =1 : 1− (1 ) < 0 ∀1 ̸= 0,(2.27){︀}︀∃ κ1+ > 0 =1 : 1+ (1 ) < 0 ∀1 ̸= 0.(2.28)Таким образом, условие (2.25) достаточно для выполнения (2.21) (в случае = 1 по теоремео неущербности S-процедуры эти условия экивалентны).

Аналогично условие (2.26) достаточно для выполнения (2.22), условие (2.27) достаточно для выполнения (2.23), и условие (2.28)достаточно для выполнения (2.24). Следовательно, если условия (2.25)–(2.28) выполнены, то иусловие (2.8) выполнено. Принимая во внимание (2.14) и (2.19), получаем следующие неравенства:0− (0 ) 6 0 Ψ−0 0 ,0+ (0 ) 6 0 Ψ+0 0 ,1− (1 ) 6 1 Ψ−1 1 ,1+ (1 ) 6 1 Ψ+1 1 .Следовательно, еслиΨ0− < 0,Ψ0+ < 0,Ψ1− < 0,то (2.8) выполнено.Теорема 2.1 доказана.19Ψ1+ < 0,2.2.2Случай расширенного функционала Ляпунова–КрасовскогоДалее рассмотрим более сложный случай, позволяющий добиться более точных результатов засчет использования “расширенного” функционала, предложенного Э.М.

Фридман [42].()Пусть ∈ IR× , 1 ∈ IR× , 1 ∈ IR× , 2 ∈ IR× , 3 ∈ IR× ( = 1, . . . , ) и ∈ IR×– некоторые матрицы.Рассмотрим следующие матрицы:⎡ + ℎ +2⎣Θ=*⎡Ψ−0⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+0⎡Ψ−1⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−ℎ1 −ℎ1+ℎ +2− (1)−Φ−1| ()=0 Φ12| ()=0 Φ13| ()=0 Φ2...(1)...Φ34− (1)......0...Φ22| ()=0**Φ33| ()=0Φ34******Φ3...***0Φ12| ()=0Φ+13| ()=0+ (1)Φ2Φ22| ()=0 Φ+23| ()=0...+ ( )Φ2...Φ24(1)...Φ34+ (1)......0...Φ33| ()=0Φ34******Φ3...***0( )( )+ ( ).

. . Φ3⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎦ℎ1⎤ℎ2( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦− ( ). . . Φ5(1)Φ24...( )Φ24(1)...Φ34ℎ− (1)......0...ℎ1 3...*Φ22| ()=ℎΦ−23| ()=ℎ**Φ33| ()=ℎΦ34******Φ6...***0****20− ( ). . . Φ3(1)*− (1)( )Φ24*−Φ−4| ()=ℎ Φ12| ()=ℎ Φ13| ()=ℎ Φ5− ( ). . . Φ2( )Φ24**⎦,(1)Φ24Φ−23| ()=0Φ+1| ()=0⎤ℎ1 − ℎ− ( ).

. . Φ6**(1) ( ) ℎ3−ℎ−2ℎ⎡Ψ+1⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣+ (1)+Φ+4| ()=ℎ Φ12| ()=ℎ Φ13| ()=ℎ Φ5ℎ1⎤ℎ2( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦+ ( ). . . Φ5(1)Φ24...( )Φ24(1)...Φ34ℎ+ (1)......0...ℎ1 3...*Φ22| ()=ℎΦ+23| ()=ℎ**Φ33| ()=ℎΦ34*****Φ6...***0****(1) + ( ). . . Φ6*( ) ℎ3−ℎ−2ℎ*гдеΦ11 () = 2 + 2 + 2 − 1 − 1 − (1 − 2(ℎ − ()))Φ12 () = − 2 + 3 − 2 + (ℎ − ()) + ,2 + ,2Φ13 () = 1 + 2 ℬ() − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ),Φ22 () = −3 − 3 + (ℎ − ()),Φ23 () = 2 + 3 ℬ() − (ℎ − ())( − 1 ),Φ33 () = + − (1 − 2(ℎ − ()))()()Φ14 = 2 − 3 , + − 21 − 21,2()Φ24 = 3 ,()()Φ34 = 3 , = 1, . .

. , , −Φ−13 () = 1 + 2 ℬ − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ), +Φ+13 () = 1 + 2 ℬ − + (1 − 2(ℎ − ()))( − 1 ), −Φ−23 () = 2 + 3 ℬ − (ℎ − ())( − 1 ), +Φ+23 () = 2 + 3 ℬ − (ℎ − ())( − 1 ),Φ−1 () = Φ11 () −∑︁κ0− 1 2 ,Φ+1 () = Φ11 () −=1− ()Φ2− ()Φ−4= Φ11 () −+ ()Φ21()= Φ14 + κ0+ (1 + 2 ) ,2+ ()Φ3 = −κ0+ ,∑︁κ0− 1 2 ,Φ+4= Φ11 () −=11− ()()Φ5 = Φ14 + κ1− (1 + 2 ) ,2− ()Φ6 = −κ1− ,κ0+ 1 2 ,=11()= Φ14 + κ0− (1 + 2 ) ,2Φ3 = −κ0− ,∑︁+ ()Φ6 = −κ1+ ,∑︁κ0+ 1 2 ,=11+ ()()Φ5 = Φ14 + κ1+ (1 + 2 ) ,2 = 1, . .

. , .Теорема 2.2. Пусть для заданного > 0 существуют матрицы ∈ IR× ( > 0), ∈IR× ( > 0), 2 ∈ IR× , 3 ∈ IR× , ∈ IR× , 1 ∈ IR× , ∈ IR× , 1 ∈ IR× , 2 ∈ IR×}︀ {︀}︀{︀()и 3 ∈ IR× (i=1,. . . ,N), а также положительные вещественные числа κ0− =1 , κ0+ =1 ,21{︀κ1− }︀=1{︀}︀и κ1+ =1 такие, что следующие линейные матричные неравенства:Θ > 0,Ψ−0 < 0,Ψ+0 < 0,Ψ−1 < 0,Ψ+1 < 0выполнены. Тогда система (2.5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания .Доказательство. Рассмотрим дискретизацию с постоянным шагом +1 − = ℎ, = 0, 1, . . .Введем расширенный функционал(2.29) (, , ˙ ) = 0 (, , ˙ ) + 1 (, ),где⎤⎡ + ⎢21 (, ) = (ℎ − ()) ⎣*− + 1, + ⎦−1 − 1 +2⎥[︀]︀и = (0), − () (0) .Для выполнения (2.6) потребуем(2.30)Θ > 0.Действительно, (0) (0) + 1 (, ) = () ℎ − () Θ + Θ|ℎ=0 > 1 | (0)|2 ,ℎℎ(2.31)где 1 = min(1 , 2 ), а 1 и 2 – минимальные собственные значения и Θ соответственно.Как и ранее, рассмотрим функцию¯ () = (, , ˙ ).(2.32)¯ () непрерывна справа по , и условие (2.7) выполнено, так как ¯0 () непрерывна справа, иlim− 1 (, ) = 1 ( , ) = lim+ 1 (, ) = 0 (поскольку () = ℎ при → − , а () = 0 при→→ → + , а следовательно, () = ( − ())).Оценим выражение¯˙ () + 2¯ () 6 2 () ()˙ + 2 () () + (ℎ − ())˙ ()()˙⎡⎤ + ∫︁ 0− + 1⎥⎢2− −2ℎ˙ ( + )(˙ + ) − ()⎣() + ⎦− ()*−1 − 1 +2(︀)︀+ (ℎ − ()) ˙ ()( + )() + 2˙ ()(− + 1 )( − ()) + 21 (, ()).

(2.33)22Если () – решение (2.5), то верны равенства:0 = 2 [−() + ( − ()) + ()1 ] ×[︃× ()1 + ˙ ()2 + ( − ()) +∑︁() 3]︃,=1[︃]︃∑︁[︀ ]︀0 = 2 ()2 + ˙ ()3 () + ℬ()( − ()) + () − ()˙,=1правые части которых добавим в правую часть (2.33) и, используя неравенство Йенсена, получим, что¯˙ () + 2¯ () 6 ()Ψ() (),где () = [(); ();˙( − ()); 1 (); . . . ; (); 1 ()] , ∈ IR4+ ,⎡(1)( )Φ () Φ12 () Φ13 () Φ14 . . .

Φ14 ()1⎢ 11⎢(1)( )⎢ *Φ22 () Φ23 () Φ24 . . . Φ24 ()2⎢⎢( )(1)⎢ * () *Φ33 () Φ34 . . . Φ34⎢⎢(1) Ψ() = ⎢ ***0 ...0 ()1 3⎢⎢.........⎢ ***...⎢⎢( ) ⎢ ***0 ...0 ()3⎣******− ()−2ℎ(2.34)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.35){︀}︀Аналогично предыдущему случаю воспользуемся S-процедурой (с параметрами κ0− =1 ,{︀ + }︀ {︀ − }︀{︀}︀κ0 =1 , κ1 =1 и κ1+ =1 ) и, рассматривая четыре предельных случая, вместо (2.35) перейдем к следующим линейным матричным неравенствам:Ψ−0 < 0,(2.36)Ψ+0 < 0,(2.37)Ψ−1 < 0,(2.38)Ψ+1 < 0.(2.39)Далее воспользуемся вспомогательной леммой, доказательство которой приведено в [42].Лемма 2.2.

Линейные матричные неравенства (2.30), (2.36) – (2.39) выпуклы по ℎ: если ониразрешимы для ℎ, то они разрешимы для всех ℎ̄ ∈ (0, ℎ].Таким образом, теорема 2 доказана в случае постоянного шага дискретизации: +1 − 6 ℎ.Обобщим полученный результат на случай переменного шага дискретизации: +1 − = ℎ̄ 6 ℎ, = 0, 1, . . .23Рассмотрим функционал Ляпунова–Красовского (, , ˙ ) = ¯ () = () () + (+1 − )∫︁ 2(−) ˙ () ()˙+⎡+ (+1 − ) ()⎣+ − + 12*−1 − 1 ++ 2⎤⎦(), ∈ [ , +1 ), (2.40)где () = [(); ( )] . Заметим, что в (2.40) второе и третье слагаемые равны нулю при → −¯¯¯¯и → + . Следовательно, непрерывен, так как lim () = ( ). Применяя к ()→рассуждения, аналогичные предыдущим, и используя лемму 2.2 получаем заключение теоремы2.Замечание 2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации