Диссертация (1149527), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3.18) тележка движется по рельсам. Движение тележки осуществляется благодаря двум троссам, управляемым сервомоторами.45Рисунок 3.19: Тросовая маятниковая системаАлгоритмы управления реализованы в среде MATLAB с использованием пакета RWTHMindstorms NXT (Aachen Path) или nxtOsek. В первом случае (RWTH) есть возможность управления микроконтроллером робота напрямую через компьютер. Пакеты команд передаются наблок NXT во время выполнения программы. Во втором случае (nxtOsek), программа исполняется непосредственно на борту микроконтроллера. Это позволяет сократить задержки при передачеданных.В результате применения полученных алгоритмов на экспериментальных установках быловыявлено, что алгоритм (3.20) раскачки обеспечивает достижение цели – система успешно выходит на нужный уровень энергии.
Однако, несмотря на то, что для стабилизации используютсядискретные алгоритмы (3.21), на практике эту задачу решить не удается. Это связано с тем, чтоданные с датчиков LEGO передаются с задержкой длительностью не менее 3-х миллисекунд (насамом деле суммарное запаздывание намного больше – передача данных по проводам, времяответа компьютера и т.п.). С помощью решения линейных матричных неравенств установлено,что для систем с параметрами, соответствующими данным лабораторным установкам (в связис достаточно малым вращающим моментом сервомоторов NXT также имеются ограничения на46величину управления), максимально возможное значение шага дискретизации значительно меньше минимальной величины запаздывания (для данных систем максимальный шаг дискретизацииимеет порядок 10−5 ).
Хотя проверяемые условия являются только достаточными, значительныеотличия в теоретических и реальных оценках заставляют полагать о невозможности стабилизации описанных выше LEGO-систем с помощью данного алгоритма и LEGO-актуаторов.3.5Синхронизация систем «маятник на тележке», управляемых через сетьС развитием цифровых коммуникационных технологий все чаще возникает задача управленияобъектами через сетевой канал связи. Когда имеется несколько управляемых объектов, несколькорегуляторов, удобно использовать для связи компьютерные сети, в том числе Интернет.
Конечно, такой вид управления вносит свои новые сложности. Среди них: нестационарные задержкив канале связи, повышение влияния погрешностей датчиков и актуаторов, грубости математических моделей и т.д. Был проведен эксперимент [70], задачей которого являлось применениеразличных подходов (теоретического и экспериментального) для исследования влияния вышеприведенных факторов на управление стабилизацией двух систем «Маятник на тележке», гдекак и измерения так и управляющие сигналы передавались по сетевому каналу связи.В данном разделе приведена в основном только теоретическая часть эксперимента, в которойоценивается граница шага дискретизации по времени измеряемого сигнала и запаздывания вканале связи (см.
Замечание 2.2). Про практическую часть эксперимента более подробно можнопрочитать в [70].Рассмотрим упрощенную модель системы, описываемую уравнениями:⎧⎨ ¨1 () = − sin 1 () − 1 cos 1 ()(),⎩ ¨ () = − sin (),22(3.22)где () ( = 1, 2) – угол отклонения -го маятника от вертикали, () – управление (силя тягипервой тележки), и – массы тележек и длины маятников (предполагается, что тележки и + 2- эффективные длины маятников, маятники имеют одинаковые массы и длины), =2– массы маятников.Заметим, из второго уравнения (3.22) видно, что второй (ведущий) маятник совершает свободные колебания (в предположении отсутствия трения). В практическом эксперименте, чтобыведущий маятник соответствовал поведению (3.22), трение маятника компенсировалось алгорит-47мом раскачки (3.20), т.е. поддерживалась амплитуда, соответствующая амплитуде при свободныхколебаниях.Система (3.22) может быть переписана следующим образом()˙= () + 1 1 () + ( + 0 0 ()) (),0 () = cos 1 (),1 () = 1 (),1 () = sin 1 () cos1 () + 2 (),2(3.23)где⎡() = ⎣1 () − 2 ()⎤⎡⎦,=⎣0 1⎤⎦,⎡=⎣00 00˙ 1 () − ˙ 2 ()⎡⎤⎡⎤⎡ 1 ⎤00⎦ , 1 = ⎣⎦⎣⎦0 = ⎣12 , 1 = 2 .−−0а 1 для всех > 0 удовлетворяет неравенствам⎤⎦,−12 6 1 1 6 12 .Предположим, что амплитуда колебаний маятника не превышает 60∘ .
Тогда, 0 удовлетворяет0.5 6 0 6 1для всех > 0.В качестве алгоритма синхронизации рассмотрим следующий закон управления:() = ( − ), 6 < +1 ,где +1 − 6 ℎ1 ,0 6 6 ℎ2 ,∀ > 0,Для системы с параметрами = 9.8,(3.24)ℎ1 + ℎ2 = ℎ. = 0.25, = 1, = [17.7, 3.875] результа-ты моделирования показывают, что верхняя граница интервалов дискретизации и запаздываниясистемы (3.23) находится в пределахℎ = 0.174 и ℎ = 0.175. Рисунки 3.20-3.22 иллюстрируютграфики углов отклонения маятников, угловых скоростей и управления для ℎ = 0.09 (устойчивый случай), а Рисунки 3.23-3.25 – для ℎ = 0.176 (неустойчивый случай).48Рисунок 3.20: Углы отклонения.
ℎ = 0.09Рисунок 3.21: Угловые скорости. ℎ = 0.09Рисунок 3.22: Управление. ℎ = 0.0949Рисунок 3.23: Углы отклонения. ℎ = 0.176Рисунок 3.24: Угловые скорости. ℎ = 0.176Сравнения оценок, полученных с помощью Теоремы 2.2 с результатами моделирования приведены в Таблице 3.5 .Теорема 2.2МоделированиеТочность оценокℎ 6 0.099ℎ 6 ℎ* , 0.174 < ℎ* < 0.17556%Таблица 3.5: Граница на шаг квантования и запаздывание, для которых система (3.23) экспоненциальноустойчиваЗависимость верхней границы ℎ от скорости сходимости приведена на Рис.
3.26.50Рисунок 3.25: Управление. ℎ = 0.176Рисунок 3.26: Зависимость верхней границы от скорости сходимостиДля практического эксперимента были сконструированы две системы «маятник на тележке»с помощью конструктора Lego Mindstoms NXT2.0 (см. Рис. 3.27). Каждая маятниковая системаимеющая два мотора и один датчик угла, соединена с компьютером через usb-кабель.Точность измерений датчика угла составляет 1 градус. Люфт шестеренок мотора примерно десять градусов. Трение и период колебаний были получены из свободной динамики: обамаятника были запущены без регуляторов из одного и того же положения. Период колебанийкаждого маятника около 1 секунды.
Маятники являются практически одинаковыми, но одинимеет большее трение (см. Рис. 3.28).51Рисунок 3.27: Две системы «маятник на тележке»Рисунок 3.28: Свободная динамики маятниковых систем. Период колебаний каждого маятникаоколо 1 секунды. Маятники являются практически одинаковыми, но один имеет большеетрениеМаятники соединены через локальную сеть. Согласно архитектуре программного обеспечения процедура передачи данных актуаторам и получение измерений от датчиков не является52Рисунок 3.29: Гистограмма задержек («пакет» – это единичная передача данных междусистемой и регулятором).параллельной (альфа-версия ПО «Облачная Мехатронная Лаборатория» [2]). Каждый раунд алгоритма состоит из шести последовательных процедур: получить значение угла от датчика 1(1-ый маятник), получить значение угла от датчика 2 (2-ой маятник), послать сигнал на мотор1 (1-ый маятник), послать сигнал на мотор 2 (1-ый маятник), послать сигнал на мотор 3 (2-оймаятник), послать сигнал на мотор 4 (2-ой маятник).
Каждая операция имеет непредсказуемуюзадержку. Некоторая статистика представлена на Рис. 3.29.Результаты работы алгоритма (3.24) с параметрами регулятора [17.7, 3.875] (такими же, как ив теоретическом примере) представлены на Рис. 3.30. Суммарное значение запаздывания и шагадискретизации равно 0.7 сек. Видно, что, некоторая относительно приемлемая синхронизацияпроисходит, хотя об экспоненциальной синхронизации говорить, конечно, не приходится.53Рисунок 3.30: Практический пример синхронизации маятниковых систем. ℎ = 0.7 сек.54Глава 4Управление маятником с квантованиемТеория управления изначально развивалась в идеальных предположениях о передаче информации в контуре обратной связи. С течением времени, однако, все чаще стал возникать следующий вопрос: а сколько информации на самом деле нужно, чтобы обеспечить желаемое качествоповедения системы, либо обратно, на сколько цель управления может быть достигнута при конкретном количестве информации.
Такие задачи возникают, главным образом, из практическихприложений, где часто возникает недостаток информационных ресурсов, вызванный ограничениями датчиков, каналами связи, вопросами безопасности и т.д.Среди различных причин, из-за которых возникают ограничения на количество предаваемойинформации в цикле обратной связи, квантование является самой распространенной и, в то жевремя, достаточно изученной. Под квантователем мы будем понимать функцию, которая отображает непрерывный вещественный сигнал в кусочно-постоянный, принимая конечное множествозначений, тем самым кодируя данный сигнал в конечный алфавит.В качестве наиболее выдающихся работ, в которых изучается эффект квантования в системах управления, можно привести [35, 36, 48, 57], с кратким обзором современной литературы поданной тематике можно ознакомиться в [67]. Одним из подходов анализа систем с квантованием является подход, в котором эффекты квантования представляются в качестве дополнительныхошибок [54].
Если регулятор обладает некоторой робастностью по отношению к таким ошибкам,то тогда качество системы ухудшается в «разумных» пределах, при этом оставаясь приемлемым.В случае стабилизации положения равновесия это означает, что вместо глобальной асимптотической стабилизации мы имеем следующее: имеются две вложенные инвариантные областитакие, что все траектории, начинающиеся в большей области, сходятся в меньшую (данный фактобычно устанавливается Ляпуновскими методами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
