Диссертация (1149527), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Полученные результаты могут быть применены к случаю наличия запаздыванияв дискретных измерениях. Пусть для некоторого ℎ1 ∈ IR (ℎ1 > 0) выполнено+1 − 6 ℎ1 , ∀ > 0.Рассмотрим закон обратной связи() = ( − ), 6 < +1 ,(2.41)где ∈ IR× – матрица усилений, – постоянное на каждом интервале 6 < +1запаздывание такое, что0 6 6 ℎ2 , ∀ > 0.Закон (2.41) можно переписать следующим образом:() = ( − ()),где () = − + , 6 < +1 , 0 6 () 6 ℎ1 + ℎ2 .В итоге получаем, что данный случай можно свести к предыдущему, положив ℎ = ℎ1 + ℎ2 .2.3Анализ робастной устойчивостиРассмотрим нелинейную систему с неопределенностями:()˙= ( + ∆) () +1∑︁(︁)︁(˜ + ∆˜ ) ˜ () + + ∆ ˜0 () (),=1˜0 () = ˜0 (),˜0 () = ˜0 (˜0 (), ),˜ () = ˜ (),˜ () = ˜ (˜ (), ),24(2.42) = 1, .

. . , 1 ,где () ∈ IR – вектор состояния, () ∈ IR – вектор управлений, ∈ IR× , ∈ IR× –постоянные известные матрицы, ˜ ∈ IR , ˜ ∈ IR , ˜0 ∈ IR – постоянные известные векторы.Предположим, что ˜ () = ˜ (˜ (), ) нелинейные функции, удовлетворяющие для всех > 0секторному условию:˜−˜2 6 ˜ ˜ 6 ˜+˜2 , = 1, . . . , 1 ,(2.43)где ˜−˜+ 6 – некоторые вещественные числа. Пусть как и прежде скалярная нелинейная функция ˜0 () = ˜0 (˜0 (), ) ограничена для всех > 0˜˜−˜+0 6 0 () 6 0,(2.44)где ˜−˜+0 6 0 – некоторые вещественные числа.Предположим, что неопределенности ∆, ∆˜ , ∆ имеют следующую структуру:∆ =∆˜ =2∑︁=13∑︁¯ ¯ ,¯ , = 1, .

. . , 1 ,(2.45)=1∆ = 0 ,где ¯ ∈ IR , ¯ ∈ IR ( = 1, . . . , 2 ), ¯ ∈ IR , ( = 1, . . . , 1 , = 1, . . . , 3 ) – известные постоян-ные векторы, 0 ∈ IR× – известная постоянная матрица, и , , – неизвестные вещественные числа, удовлетворяющие следующим неравенствам:+0 < − 6 6 ,+0 < − 6 6 ,(2.46)0 < − 6 6 + ,+ −+ − +где − , , , , , ( = 1, . . . , 2 , = 1, . . . , 1 , = 1, .

. . , 3 ) – известные положитель-ные вещественные числа (случай, когда они могут быть отрицательными, также может бытьсведен к текущему).Рассмотрим последовательность моментов времени 0 = 0 < 1 < . . . < < . . . и кусочнопостоянную функцию управления() = ( ), 6 < +1 ,(2.47)где lim = ∞.→∞Предположим, что ℎ ∈ IR (ℎ > 0) и+1 − 6 ℎ, ∀ > 025(2.48)и рассмотрим управление в виде обратной связи(2.49)() = ( ), 6 < +1 ,где ∈ IR× . Закон (2.49) может быть переписан следующим образом:() = ( − ()),(2.50)где () = − , 6 < +1 .Как и в предыдущем разделе требуется исследовать влияние величины верхней границы шагадискретизации ℎ на устойчивость замкнутой системы:1(︁)︁∑︁(˜ + ∆˜ ) ˜ (),()˙= ( + ∆) () + + ∆ ˜0 () ( − ()) +=1˜0 () = ˜0 (),˜0 () = ˜0 (˜0 (), ),˜ () = ˜ (),˜ () = ˜ (˜ (), ),(2.51) = 1, .

. . , 1 () = − , ∈ [ , +1 ).Введем новые переменные:0 () = 0 (),0 () = 0 (0 (), ), () = (), () = ( (), ), = 1, . . . , ,где0 = ˜0 , = ¯() ,для = 1 + 1, . . . , 1 + 2 , = ¯() = ˜для = 1, . . . , 1 , = 1 + 2 + 1 3 ,() = − 1 ,() = − 1 − 2 , = ˜1 , = ¯1()для = 1 + 2 + 1, . . . , 1 + 2 + 3 , = ˜2 ,... = ¯2()для = 1 + 2 + 3 + 1, .

. . , 1 + 2 + 23 , = ˜1 , = ¯1 ()для = 1 + 2 + (1 − 1) 3 + 1, . . . , ,0 (0 (), ) = ˜0 (0 (), ),⎧− −⎪⎪−˜0 ,0 = ⎪⎨+ −−˜0 ,0 = ⎪⎪⎪⎩ − = + ˜− ,00() = − 1 − 2 − 3 ,() = − + 3 ,+ +˜0 ,+0 = если˜−0 > 0,+ ++˜0 ,0 = если˜+˜−0 < 0, 0 > 0,− ++˜0 ,0 = если˜+0 6 0,26 () = ˜ (),−˜− = ,+˜+ = −− = () , () = () (),для = 1 + 1,⎧⎪⎪⎪⎨˜ () = 1() 1 (),⎪⎪⎪⎩для = 1, .

. . , 1 ;++ = (). . . , 1 + 2 ,() = − 1 ;−−˜−1, = 1() ++˜+1, = 1() если˜−1 > 0,+−˜−1, = 1() ++˜+1, = 1() если˜−˜+1 < 0, 1 > 0,+−˜−1, = 1() −+˜+1, = 1() если˜+1 6 0,для = 1 + 2 + 1, . . . , 1 + 2 + 3 , () = − 1 − 2 ;⎧−+⎪⎪−˜−+˜+если ˜−2,2,2 > 0,⎪ = 2() = 2() ⎨++ () = 2() ˜2 (),−˜−+˜+если ˜−˜+2,2,2 < 0, 2 > 0, = 2() = 2() ⎪⎪⎪−−⎩ − = + +˜+если ˜+2,2 6 0, = 2() 2() ˜ 2 ,для = 1 + 2 + 3 + 1, . . . , 1 + 2 + 23 ,() = − 1 − 2 − 3 ;...

() = 1 () ˜1 (),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩для−−˜− = 1 () 1 ,++˜+ = 1 () 1 ,если˜−1 > 0,+−˜− = 1 () 1 ,++˜+ = 1 () 1 ,если˜−˜+1 < 0, 1 > 0,+−˜− = 1 () 1 ,−+˜+ = 1 () 1 ,если˜+1 6 0, = 1 + 2 + (1 − 1)3 + 1, . . . , ,() = − + 3 .Из (2.43), (2.44), (2.45) и (2.46) следует, что+−0 6 0 () 6 0 ,+ 22− 6 6 , = 1, . . . , .В результате систему (2.51) можно переписать следующим образом:()˙= () + ( + 0 0 ()) ( − ()) +∑︁ (),=10 () = 0 (),0 () = 0 (0 (), ), () = (), () = ( (), ), () = − ,(2.52) = 1, . . . , , ∈ [ , +1 ).Таким образом, система (2.52) совпадает с системой (2.5), и теоремы 2.1 и 2.2 справедливыи для данной задачи.27Глава 3Приложения к исследованию дискретногоуправления механическими системами3.1Управление маятникомРассмотрим систему, описывающую колебания физического маятника:()¨ =1sin(()) + 2 (),(3.1)где – угол отклонения маятника от вертикального положения, – управляющий вращающиймомент, и – масса и длина маятника соответственно.Пусть закон управления задан в следующем виде:() = ( ), ∈ [ , +1 ), +1 − 6 ℎ, = 0, 1 .

. . ,(3.2)где () = [(), ()]˙ , ∈ IR2 – коэффициент обратной связи, ℎ ∈ IR > 0.В данном случае в качестве нелинейности выступает функция sin(). Найдем параметры1 и 2 . Для этого проведем две прямые с угловыми коэффициентами 1 и 2 соответственно,проходящие через начало координат и определяющие сектор, в котором лежит график функцииsin() (Рис. 2.2). Воспользуемся уравнением касательной к графику функции sin() в некоторойточке * : = sin(* ) + cos(* )( − * ).В качестве углового коэффициента первой прямой получаем 1 = cos(0) = 1, а в качествеуглового коэффициента второй прямой – 2 = cos(* ), где точка * определяется из условияпрохождения второй касательной через начало координат:(* ) = * .28(3.3)В результате получаем2 = 1, 1 ≈ −0.2173.Рассмотрим систему (3.1), (3.2) со следующими параметрами: = 9.8, = 1, = 2, =[−23.6, −6]. Разрешимость линейных матричных неравенств из Теорем 2.1 и 2.2 проверяласьв среде Matlab с использованием пакета Yalmip [28, 56].

В таблице 3.1 представлены значенияверхней границы шага дискретизации (для = 0), при которых система (3.1), (3.2) экспоненциально устойчива в целом с достаточно малой скоростью затухания.Теорема 2.1Теорема 2.2Моделированиеℎ = 0.192ℎ = 0.302ℎ = ℎ* , 0.428 < ℎ* < 0.432Таблица 3.1: Верхняя граница на шаг дискретизацииНа Рис. 3.1 представлен график зависимости верхней границы ℎ шага дискретизации от скоростизатухания .Рисунок 3.1: Зависимость верхней границы шага дискретизации от скорости затухания3.2Робастное управление маятником с трениемПриведем пример, аналогичный предыдущему, за исключением того, что в данном случае учитывается трение, и некоторые параметры могут быть точно не известны. Рассмотрим систему:()¨ =1sin(()) − ()˙ + 2 (),29(3.4)где – угол отклонения маятника от вертикального положения, – управляющий вращающиймомент, и – масса и длина маятника соответственно, – коэффициент вязкого трения.Пусть закон управления задан в следующем виде:() = ( ), ∈ [ , +1 ), +1 − 6 ℎ, = 0, 1 .

. . ,(3.5)где () = [(), ()]˙ , ∈ IR2 – коэффициент обратной связи, ℎ ∈ IR > 0.В случае известных параметров:=2,=1, = 9.8 ,=8, = [−20.6, −3],с помощью теоремы 2.2 было установлено, что значение верхней границы шага дискретизации, при котором система (3.4), (3.5) экспоненциально устойчива в целом с достаточно малойскоростью затухания, равно 0.95 (для = 0).3.2.1Случай неопределенного коэффициента тренияПусть коэффициент трения точно не известен, и выполнено условие0 < 1 6 6 2 .Система (3.4) может быть переписана следующим образом:()˙= ( + ∆)() + 1 1 () + (),1 () = 1 (),1 () = sin 1 (),где⎡⎤⎡⎤⎡⎤[︂]︂00 10⎦ , ∆ = ⎣ ⎦ 0 − 1 , = ⎣⎦,=⎣10 012⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤0011 = ⎣ ⎦ , 2 = ⎣ 1 ⎦ , 1 = ⎣ ⎦ .−0В свою очередь согласно разделу 2.3 систему (3.23) можно представить в виде:()˙= () + 1 1 () + 2 2 () + (),1 () = 1 (),1 () = sin 1 (),2 () = 2 (),2 () = 2 ,где⎡=⎣0 10 0⎤⎡⎦,=⎣30⎤0⎦,12(3.6)⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤00101 = ⎣ ⎦ , 2 = ⎣ 1 ⎦ , 1 = ⎣ ⎦ , 2 = ⎣ ⎦ ,−01а нелинейности 1 и 2 для всех > 0 удовлетворяют неравенствам:1 12 6 1 1 6 2 12 ,1 22 6 2 2 6 2 22 .Значения верхней границы шага дискретизации ℎ (для 1 = 7.5, 2 = 8.5), при которыхсистема (3.4), (3.5) экспоненциально устойчива в целом с достаточно малой скоростью затуханияприведены в Таблице 3.2.3.2.2Случай неопределенной массыПусть масса маятника точно не известна, и выполнено неравенство0 < 1 6 6 2 .Система (3.4) может быть представлена следующим образом:()˙= () + 1 1 () + ( + 0 0 ()) (),1 () = 1 (),1 () = sin 1 (),где⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤0100− ⎦ , = ⎣ ⎦ , 0 = ⎣ 1 ⎦ , 1 = ⎣ ⎦ ,002а нелинейности 1 и 0 для всех > 0 удовлетворяют условиям:=⎣01 12 6 1 1 6 2 12 ,⎡1 = ⎣10⎤⎦,116 0 6.21Значения верхней границы шага дискретизации ℎ (для 1 = 0.97, 2 = 1.03), при которыхсистема (3.4), (3.5) экспоненциально устойчива в целом с достаточно малой скоростью затуханияприведены в Таблице 3.2.3.2.3Случай неопределенной длиныПусть длина маятника точно не известна, и выполнено неравенство0 < 1 6 6 2 .Система (3.4) может быть представлена следующим образом:()˙= () + 1 1 () + 2 2 () + ( + 0 0 ()) (),1 () = 1 (),1 () = sin 1 (),2 () = 2 (),12 () = 2 ,31где⎤0⎦,⎦ , = ⎣ ⎦ , 0 = ⎣=⎣10 00⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤0010⎦ , 1 = ⎣ ⎦ , 2 = ⎣ ⎦ ,1 = ⎣ ⎦ , 2 = ⎣−01⎡0 1⎤⎡0⎤⎡а нелинейности1 , 2 и 0 для всех > 0 удовлетворяют условиям:21 21 6 1 1 6 12 ,111 212 6 2 2 6 22 ,21116 0 6 2 .221Значения верхней границы шага дискретизации ℎ (для 1 = 1.99, 2 = 2.01), при которыхсистема (3.4), (3.5) экспоненциально устойчива в целом с достаточно малой скоростью затуханияприведены в Таблице 3.2.3.2.4Случай неопределенных коэффициента трения, массы и длиныПусть , , точно не известны, и выполнены неравенства0 < 1 6 6 2 ,0 < 1 6 6 2 ,0 < 1 6 6 2 .Система (3.4) может быть представлена следующим образом:()˙= () + 1 1 () + 2 2 () + ( + 0 0 ()) (),1 () = 1 (),2 () = 2 (),1 () = sin 1 (),2 () = 2 ,где⎡=⎣⎡1 = ⎣00 10 0⎤⎦,⎤⎡⎦,=⎣⎡⎤2 = ⎣0−100⎤⎡⎦,0 = ⎣⎡⎦,01 = ⎣101⎤⎦,⎤⎦,⎡2 = ⎣01⎤⎦.1 , 2 and 0 for all > 0 satisfy1 221 6 1 1 6 12 ,111 22 22 6 2 2 6 ,21 2116 0 6.22 21 12Значения верхней границы шага дискретизации ℎ (for 1 = 7.5, 2 = 8.5, 1 = 0.97, 2 =1.03, 1 = 1.99, 2 = 2.01), при которых система (3.4), (3.5) экспоненциально устойчива в целом сдостаточно малой скоростью затухания приведены в Таблице 3.2.Исходная система может быть рассмотрена как система с неопределенностями, принадлежащими некоторому политопу, как предлагается в Замечании 2 (Remark 2) в [42] (в данном подходе32для каждой вершины политопа рассматривается линейная система, и соответствующие линейные матричные неравенства должны быть разрешимы для всех таких систем одновременно).Результаты, полученные с помощью Замечания 2 в [42], также приводятся в Таблице 3.2.Замечание 2КачествоТеорема 2.2Моделированиев [42]Известные параметрыоценкиℎ = 0.79ℎ = 0.95ℎ = ℎ* , 1.75 < ℎ* < 1.7754%ℎ = 0.73ℎ = 0.86ℎ = ℎ* , 1.69 < ℎ* < 1.751%ℎ = 0.65ℎ = 0.82ℎ = ℎ* , 1.7 < ℎ* < 1.7148%ℎ = 0.74ℎ = 0.88ℎ = ℎ* , 1.74 < ℎ* < 0.7551%ℎ = 0.31ℎ = 0.36ℎ = ℎ* , 1.62 < ℎ* < 1.6322%Неизвестное трение7.5 6 6 8.5Неизвестная масса0.97 6 6 1.03Неизвестная длина1.99 6 6 2.01Неизвестные трение,масса, длина7.5 6 6 8.50.97 6 6 1.031.99 6 6 2.01Таблица 3.2: Верхняя граница на шаг дискретизацииЗаметм, что оценки, полученные с помощью теоремы 2.2, являются более точными по сравнению с оценками из Замечания 2 в [42].

Характеристики

Список файлов диссертации