Диссертация (1149527), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Опишем S-процедуру в контексте изложения в [6]и [7].Пусть = {} – евклидово пространство, (), 1 (), 2 (), . . . , () – произвольные∑︀вещественные функции. Пусть () = () +κ (), где κ1 , κ2 , . . . , κ – некоторые неот=1рицательные вещественные числа. Рассмотрим два условия: () > 0 при 1 () > 0, . . . , () > 0 для всех ∈ , ̸= 0,∃κ1 > 0, . . .

, κ > 0 :() > 0 для всех ∈ , ̸= 0.(1.1)(1.2)Очевидно, что из условия (1.2) следует условие (1.1). Обратное, вообще говоря, неверно. Однако,в специальных случаях условие (1.2) следовать из (1.1) может. Тогда говорят, что S-процедуранеущербна.Часто условие (1.1) возникает в задачах, связанных с построением функций Ляпунова. Приэтом функции (), 1 (), 2 (), .

. . , () зависят от некоторых «конструктивных» параметров. В итоге, требуется найти некоторую область в пространстве этих параметров, для которыхвыполняется соотношение (1.1), которое само по себе является довольно сложным для проверки.Вместо этого применяется S-процедура, т.е. условие (1.1) заменяется условием (1.2), не содержащем дополнительных ограничений. Хотя данный прием и решает задачу, при этом, вообще7говоря, может произойти потеря некоторого множества в пространстве параметров. В случаенеущербности S-процедуры такой потери не происходит.В.А. Якубовичем был получен следующий результат [29]: если = 1, а () и () – квадратичные формы, то S-процедура неущербна.

Более формально этот результат сформулирован вследующей теореме.Теорема 1.1 (О неущербности S-процедуры для случая квадратичных форм, строгого основногонеравенства и одной связи). Пусть – евклидово пространство, () и () – произвольныевещественные квадратичные формы, и существует такой вектор 0 , что (0 ) > 0. Следующие утверждения равносильны:1) () > 0 на множестве, где () > 0, ̸= 0;2) существует такое число κ > 0, что () − κ() > 0 для всех ∈ , ̸= 0.1.2Метод скоростного градиентаРассмотрим нелинейную управляемую систему, описываемую уравнением состояния(1.3)˙ = (, ),где ∈ IR – вектор состояния, ∈ IR – управление. Требуется построить закон обратной связи = (),обеспечивающий достижения цели управленияlim ((, 0 )) = 0,→∞где () – гладкая неотрицательная целевая функция, 0 = (0).Метод скоростного градиента, предложенный А.Л.

Фрадковым в 1979 г. [4,25,26], заключается в следующем. Сначала требуется вычислить скорость изменения целевой функции вдольтраекторий системы:(, ) = (∇ ())T (, ).Затем вычисляется градиент функции (, ) по входным переменным:(︂∇ (, ) =8)︂T.В результате можно выписать алгоритмы скоростного градиента в дифференциальной форме()˙= −Γ ∇ ((), ()),(1.4)() = −Γ ∇ ((), ()),(1.5)и в конечной формегде Γ > 0 – положительно определённая матрица коэффициентов усиления.

Данный алгоритместественно называть алгоритмом скоростного градиента, так как в нём изменение () происходит пропорционально градиенту скорости изменения целевой функции.1.3Неравенство ЙенсенаСледующее интегральное неравенство известно как неравенство Йенсена, которое играет важную роль в задаче устойчивости систем с запаздыванием.Утверждение 1.1 (Интегральная формулировка неравенства Йенсена). Для любой матрицы ∈IR× , = > 0, константы > 0 и вектор-функции ∈ 2 [0, ] выполнено неравенство∫︁⎛ ⎞⎛ ⎞∫︁∫︁ () () > ⎝ ()⎠ ⎝ ()⎠ .000Доказательство данного неравенства построено на свойствах дополнений Шура, котороеможно найти в [44].1.4Неравенство БуняковскогоПриведем одно из важнейших неравенств математического анализа, установленное В.Я. Буняковским.Утверждение 1.2 (Неравенство Буняковского).

Если () ∈ 2 [, ], () ∈ 2 [, ], то⎛∫︁⎞2⎛∫︁ () ()⎠ 6 ⎝⎝⎞2 ⎛ 2 ()⎠ · ⎝∫︁⎞2 2 ()⎠ .Доказательство данного неравенства можно найти в [16] (глава VII, параграф 1, теорема 4).9Глава 2Анализ устойчивостидискретно-непрерывных нелинейныхмногосвязных систем2.1Постановка задачиРассмотрим нелинейную систему:()˙= () +∑︁ () + ( + 0 0 ()) (),=1где0 () = 0 (),0 () = 0 (0 (), ), () = (), () = ( (), ),(2.1) = 1, . .

. , ,() ∈ IR – вектор состояний, () ∈ IR – управляющий вектор, ∈ IR× , ∈ IR× ,0 ∈ IR× – постоянные матрицы, ∈ IR , ∈ IR , 0 ∈ IR – постоянные векторы.Предположим, что для всех > 0 график каждой функции = ( , ) (где рассматривается как параметр, а – как аргумент функции) расположен в двуполостном секторе междупрямыми = 1 и = 2 (рисунок 2.1), где 1 < 2 – некоторые вещественные числа.Таким образом, выполняется неравенство1 2 6 6 2 2 , = 1, . . . , .Предположим, что нелинейная функция 0 () = 0 (0 (), ) ограничена для всех > 0:+−0 6 0 () 6 0 .10(2.2)Рисунок 2.1: Секторная нелинейностьЗамечание 2.1. Приведем несколько примеров секторных нелинейностей, удовлетворяющих(2.2):∙ = () (см. раздел 3.1): 1 ≈ −0.2173, 2 = 1 (см.

Рис. 2.2),Рисунок 2.2: = ()∙ = ( 2 ): 1 ≈ −0.855, 2 ≈ 0.855 (см. Рис. 2.3),∙ насыщение, реле с зоной нечувствительности, квантование, кусочно-линейная функция идр. (см. [49]).Пусть заданы последовательность моментов времени 0 = 0 < 1 < . . . < < . . . и кусочнопостоянная функция управления() = ( ), 6 < +1 ,11Рисунок 2.3: = ( 2 )где lim = ∞.→∞Предположим, что для некоторого ℎ ∈ IR (ℎ > 0) выполнены неравенства:+1 − 6 ℎ ∀ > 0,и рассмотрим закон управления в виде обратной связи(2.3)() = ( ), 6 < +1 ,где ∈ IR× . Закон (2.3) перепишем в виде() = ( − ()),(2.4)где () = − , 6 < +1 .Таким образом требуется исследовать влияние величины верхней границы шага дискретизации ℎ на устойчивость замкнутой системы:()˙= () + ( + 0 0 ()) ( − ()) +∑︁ (),=10 () = 0 (),0 () = 0 (0 (), ), () = (), () = ( (), ), () = − ,2.2(2.5) = 1, .

. . , , ∈ [ , +1 ).Основные результатыПространство абсолютно непрерывных на [−ℎ, 0) функций : [−ℎ, 0] → IR с интегрируемымквадратом первой производной обозначим через .[︃]︃ 21∫︀0Введем в норму: ‖ ‖ = max | ()| +|˙()|2 .∈[−ℎ,0]−ℎ12Функцию () на интервале [−ℎ, 0) доопределим не умаляя общности нулем, т.е. () ≡ 0при ∈ [−ℎ, 0). Через функцию () : [−ℎ, 0] → IR обозначим сужение функции () напромежуток [ − ℎ, ]: () = ( + ).Определение 2.1. Нулевое решение системы (2.5) будем называть экспоненциально устойчивым в целом с показателем затухания , если существует > 1 такое, что для решения ()системы (2.5) с начальным условием 0 выполнено неравенство|()|2 6 −2(−0 ) ‖0 ‖2 ∀ > 0 .Далее под экспоненциальной устойчивостью в целом с показателем затухания системы(2.5) будем понимать устойчивость ее нулевого решения в смысле определения 2.1.Доказательство основного результата основано на предварительной лемме 2.1, доказательство которой приведено в [42].Лемма 2.1.

Пусть существуют положительные числа 1 , 2 и функционал : IR × ×2 [−ℎ, 0] → IR такой, что˙ 6 2 ‖‖21 |(0)|2 6 (, , )∀ ∈ .(2.6)Пусть () удовлетворяет (2.5) и функция ¯ () = (, , ˙ ) непрерывна справа по , абсолютнонепрерывна для всех ̸= и удовлетворяет условиюlim− ¯ () > ¯ ( ).(2.7)¯˙ () + 2¯ () 6 0(2.8)→Если для заданного > 0 неравенствовыполнено для почти всех , то система (2.5) экспоненциально устойчива в целом с показателемзатухания .2.2.1Случай стандартного функционала Ляпунова–КрасовскогоВведем обозначения:ℬ() = + 0 0 (),ℬ − = + 0 −0,ℬ + = + 0 +0.Пусть , – симметричные положительно определенные матрицы размера × , 2 , 3 –{︀}︀ {︀}︀ {︀}︀ {︀}︀некоторые произвольные матрицы размера × и κ0− =1 , κ0+ =1 , κ1− =1 , κ1+ =1 –положительные вещественные числа.13Рассмотрим следующие матрицы:⎡− (1)Φ−Φ−Φ2 12⎢ 1⎢⎢ * Φ 22| ()=0 Φ(1) 23⎢⎢−− (1)Ψ0 = ⎢ **Φ3⎢⎢..⎢ **.⎣**0⎡Ψ+0⎡Ψ−1⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ψ+1⎢⎢⎢⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Φ+ 12+ (1)Φ2Φ 22| ()=0Φ+1⎢⎢⎢ *⎢⎢=⎢ *⎢⎢⎢ *⎣**− ( ).

. . Φ2...( )Φ 23......0...− ( ). . . Φ3...+ ( )Φ2(1)Φ 23...( )Φ 23+ (1)......0...*Φ3...*0+ ( ). . . Φ3⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎦...− ( )Φ5−ℎ2 ℬ − ⎤...( )Φ 23−ℎ3 ℬ − ......0...0...⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,⎥⎥⎥⎥⎥⎦Φ− 12− (1)Φ5*Φ 22| ()=ℎ(1)Φ 23**− (1)**Φ6...**0. . . Φ6**0...0−ℎ−2ℎΦ+4Φ+ 12+ (1)Φ5...+ ( )Φ5−ℎ2 ℬ + *Φ 22| ()=ℎΦ 23(1)...Φ 23**+ (1)**Φ6.........0...**0.

. . Φ6**0...Φ−414− ( )( )+ ( )00⎤⎥⎥−ℎ3 ℬ + ⎥⎥⎥⎥0⎥,⎥..⎥.⎥⎥⎥0⎦−2ℎ−ℎгде “*” обозначает симметричный блок симметричной матрицы, аΦ 11 () = 2 ( + ℬ()) + ( + ℬ()) 2 + 2,Φ 12 () = − 2 + ( + ℬ()) 3 ,()Φ 13 = 2 ,()Φ 23 = 3 , = 1, . . . , ,Φ 22 () = −3 − 3 + (ℎ − ()),Φ− 11 = Φ 11 ()|ℬ()=ℬ− ,Φ+ 11 = Φ 11 ()|ℬ()=ℬ+ ,Φ− 12 = Φ 12 ()|ℬ()=ℬ− ,Φ+ 12 = Φ 12 ()|ℬ()=ℬ+ ,−Φ−1 = Φ 11 −∑︁κ0− 1 2 ,+Φ+1 = Φ 11 −∑︁=1− ()Φ2+ ()Φ2Φ−4=11= 2 + κ0− (1 + 2 ) ,21= 2 + κ0+ (1 + 2 ) ,2∑︁−κ1− 1 2 ,= Φ 11 −− ()Φ3 = −κ0− ,+ ()Φ3 = −κ0+ ,Φ+4=Φ+ 11−∑︁=1− ()Φ5+ ()Φ5κ0+ 1 2 ,κ1+ 1 2 ,=11= 2 + κ1− (1 + 2 ) ,21= 2 + κ1+ (1 + 2 ) ,2− ()Φ6 = −κ1− ,+ ()Φ6 = −κ1+ .Теорема 2.1. Пусть для заданного > 0 существуют матрицы ∈ IR× ( > 0), ∈{︀}︀IR× ( > 0), 2 ∈ IR× , 3 ∈ IR× , а также положительные вещественные числа κ0− =1 ,{︀ + }︀ {︀ − }︀{︀}︀κ0 =1 , κ1 =1 и κ1+ =1 такие, что следующие линейные матричные неравенства:Ψ0− < 0,Ψ0+ < 0,Ψ1− < 0,Ψ1+ < 0выполнены.

Характеристики

Список файлов диссертации