Диссертация (1149527), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из (4.13) и |() − * | ∈ ℎ1 , ℎ* получаем (см. Рис.4.2)2 ∆||¨ > |sin | −2(︃| sin | > | sin |,где такое, что{︂}︂32 ∆2 ( ) = min 2 − * − ℎ* , * − ℎ* −= 1 (ℎ1 ) = 0 (ℎ1 ),ℎ21а√︃ () = (1 − cos ) – потенциальная энергия. Следовательно, | sin | >(︂)︂20 (ℎ1 )1− 1−,и√︃(︃ √)︃(︂)︂20 (ℎ1 ) ∆ ℎ* 6||¨ >1− 1−−+ 1 = 2 (ℎ1 ).2ℎ1√2 6 ∆1Таким образом, =, и неравенство < (3 − 0 ) выполнено тогда и только тогда,ℎ1 2 (ℎ1 )2когда 3 (ℎ1 ) > 0.∙ Докажем, что существуют 3 > 2 и > 0 такие, что из () ∈ [0 , 3 ] следует ˙ () < −2для почти всех ∈ (2 , 3 ), и ((3 )) − ((1 )) 6 −((1 )).62Рисунок 4.2: Оценивание синуса.
Из-за симметрии достаточно рассмотреть только первыйквадрант фазовой плоскости,{ :}︃ > 0, ˙ > 0}. Красные области обозначают{︃ т.е. + = √{︂[︂]︂}︂⋂︀1∆ 6 ⋂︀ : |() − * | ∈ ℎ1 , ℎ* .множество + : ||˙ 6ℎ12Рассмотрим полосу:Γ = {(, )˙ : ∈ ((2 ), ′0 ); |′0 | = 0 , sign ′0 = −sign (2 )} ,32 ∆2= 1 (ℎ1 ), и 0 < 0 < , т.е.ℎ21(︂)︂1 (ℎ1 )0 = arccos 1 −.где 0 такое, что (0 ) = * − ℎ* −|(˙ 2 )|> 0, следовательно, sign (¨ 2 ) = sign (˙ 2 ).
Из 3 (ℎ1 ) > 0из определения 2 имеем⃒⃒⃒⃒⃒ (2 ) + (2 ) ⃒⃒⃒⃒ . Тогда sign (следует, что ⃒ sin (2 )⃒ > ⃒⃒¨ 2 ) = −sign (2 ). Таким образом,⃒2√∆ 6sign (˙ 2 ) = −sign (2 ). Из определения 0 следует, что ||˙ >в полосе Γ (см. Рис.ℎ14.3).Рисунок 4.3: Полоса ΓВ итоге получаем:∆2∆2˙ () 6 − (() − * )2 ˙ 2 +6− =− .224263Теперь определим 3 в качестве первого момента времени > 2 , когда траектория () пересекает прямую () = ′0 , и оценим (3 ) − (1 ). Из (4.12) имеем (3 ) − (2 ) 6 −2∫︁3(() − * )2 ˙ 2 + (3 − 2 ) 6216 − ℎ218∫︁3 (︂′24∆2˙ − 2ℎ1216 − ℎ218)︂∫︁3 (︂)︂∫︁321˙ 2 − ˙ 2 = − ℎ21˙ 2 ,324′2′2где ′2 такое, что (′2 ) = sign (2 ) · min {|(2 )|, 0 }, и 2 6 ′2 . Из неравенства Буняковского (см.Гл.
1) имеем следующую оценку:∫︁3˙ 2 >′213 − ′2⎞2⎛∫︁3⎟⎜⎝ ˙ ⎠ .′2Следовательно, (3 ) − (2 ) 6 −1 2 1ℎ24 1 3 − ′2⎞2⎛∫︁3⎟⎜⎝ ˙ ⎠ =′2=−1 2 1112ℎ1((3 ) − (′2 )) 6 − ℎ212 .′243 − 263 − ′2 0Так как3 − ′2 62 0 ℎ1|(3 ) − (′2 )|√ ,6||˙∆ 61получаем (3 ) − (2 ) 6 − √ ℎ1 0 ∆ .2 61Обозначим () = = √ ℎ1 0 ∆ − . Таким образом, если 4 (ℎ1 ) > 0, то2 6 (3 ) − (1 ) 6 − < 0.В результате, все условия Леммы 4.1 выполнены. Теорема 4.2 доказана.4.3Численный примерРассмотрим систему (4.1), (4.6) со следующими параметрами: = 1,2 − 0.01 = 19.59,* = 9.6.64 = 1, = 9.8,ℎ=Теорема 4.2 говорит о том, что если ее условия выполнены при некотором начальном па−1раметре ℎ* , то () ∈ [для всех > 0. Кроме того, для малых ∆ величина κ2* −ℎ* ,* +ℎ* ]близка к ℎ* , т.е.
можно заключить, что ℎ* главным образом играет роль границы области начальных условий (см. Рис. 4.5). Пусть = 0.1. Цветные области на Рисунках 4.4 и 4.5 показываютте множества ℎ* и ∆ , для которых система неравенств (4.11) разрешима. Более того, цветныешкалы на Рисунках 4.4 и 4.5 приводят значения минимально возможного κ1 и максимальновозможного κ2 соответственно. (Очевидно, что нас интересует то решение системы (4.11), длякоторого κ1 минимален, а κ2 максимален, т.е. ширина области начальных данных максимальна, а ширина области сходимости минимальна. Нетрудно видеть, что κ1 и κ2 достигают своихминимума и максимума соответственно на одном и том же решении ℎ1 системы (4.11).)Рисунок 4.4: Зависимость минимально возможного κ1 от ∆ и ℎ* .Рисунок 4.5: Зависимость максимально возможного κ2 от ∆ и ℎ* .65−1Из Рис.
4.4 можно видеть, что с возрастанием ℎ* ширина области притяжение [* −κ1 ,* +κ1 ]также увеличивается. Таким образом, важно расставить приоритет между точностью сходимостии шириной начальной области.Пусть ℎ* = 8. Покажем влияние коэффициента усиления на области притяжения и начальных данных. По аналогии с Рисунками 4.4 и 4.5, на Рисунках 4.6 and 4.7 цветные областипоказывают те множества и ∆ , для которых система неравенств (4.11) разрешима, а цветныешкалы – значения минимально возможного κ1 и максимально возможного κ2 соответственно.Рисунок 4.6: Зависимость минимально возможного κ1 от ∆ и .Рисунок 4.7: Зависимость максимально возможного κ2 от ∆ и .Заметим, что в данном случае из Теоремы 4.2 получается, что ∆ < 6.5, однако, для любогобольшого существует достаточно малое ∆ такое, что система неравенств (4.11) разрешима.66−1Из Рис.
4.6 видно, что для фиксированного ∆ ширина области притяжения [* −κ1 ,* +κ1 ]уменьшается с уменьшением . Например, если ∆ = 1.8, то κ1 = 3.23, κ2 = 7.94 для = 0.4(Рис. 4.8), и κ1 = 2.17, κ2 = 7.999 для = 0.01 (Рис. 4.9), таким образом, область притяженияменьше во втором случае (для = 0.01), однако стоит отметить, что время сходимости больше также во втором случае. Следовательно, уменьшая коэффициент усиления можно добитьсябольшей точности, но и время сходимости при этом, что на самом деле очевидно и естественно,тоже увеличится.Рисунок 4.8: Фазовый портрет. ∆ = 1.8, = 0.4Рисунок 4.9: Фазовый портрет. ∆ = 1.8, = 0.0167Заметим, что в случае, показанном на Рисунках 4.8 и 4.9, ошибка управления () былаопределена «наихудшим» образом, а именно: () = −sign( ()) ∆ .Действительно, так как ˙ () = −(() − * )2 ˙ 2 − () (), «худшим» вариантом ошибки () является тот, при котором второе слагаемое в выражении для ˙ неотрицательно и имеетмаксимальное абсолютное значение.Теперь рассмотрим квантователь (), заданный следующим образом: = { < < + , ˙ < ˙ < ˙ + ˙ }⋂︁ℎ(︁˙ )︁(см.
Рис. 4.10), где = 0.042, ˙ = 0.0128. Тогда ∆1 = 0.021, ∆2 =и = + , ˙ +22Рисунок 4.10: Области квантования0.0064 и ∆ = 1.8. С помощью рисунков 4.11 и 4.12 можно сравнить поведение траекторийс ошибкой (), вызванной квантованием, с поведением траекторий в предыдущем случае сошибкой (), заданной «наихудшим» образом (при = 0.4 и = 0.01 соответственно).68Рисунок 4.11: Фазовый портрет. ∆1 = 0.021, ∆2 = 0.0064 (∆ = 1.8), = 0.4Рисунок 4.12: Фазовый портрет. ∆1 = 0.021, ∆2 = 0.0064 (∆ = 1.8), = 0.01Рассмотрим более точный квантователь: ∆1 = 0.001, ∆2 = 0.002 (следовательно, ∆ = 0.199).При ∆ = 0.199 система (4.11) разрешима для 0 < 6 11.5.
Рис. 4.13 показывает фазовыйпортрет для = 4, где из Теоремы 4.2 получено, что κ1 = 1.9, κ2 = 7.96, т.е. для всех начальных−1данных, таких, что (0) ∈ [1.64,17.56] , траектории замкнутой системы (4.1), (4.6) удовлетворяют−1−1() ∈ [1.6,17.6] для всех > 0, и существует > 0 такое, что () ∈ [7.7, 11.5] для всех > .69Рисунок 4.13: Фазовый портрет. ∆1 = 0.001, ∆2 = 0.002 (∆ = 0.199), = 4Лучшего результата можно добиться, уменьшив (хотя время сходимости возрастет).Например, для = 0.1 получаем κ1 = 0.259, κ2 = 7.9999, т.е.
для всех начальных дан−1ных, таких, что (0) ∈ [1.6001,17.5999] , траектории замкнутой системы (4.1), (4.6) удовлетворяют−1−1() ∈ [1.6,17.6] для всех > 0, и существует > 0 такое, что () ∈ [9.341, 9.859] для всех > (Рис. 4.14).Рисунок 4.14: Фазовый портрет. ∆1 = 0.001, ∆2 = 0.002 (∆ = 0.199), = 0.170ЗаключениеВ заключение перечислим основные научные результаты работы:1.
Получены новые условия на шаг квантования для обеспечения экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурье с дискретным регулятором (Теоремы 2.1, 2.2) [21, 65];2. Получены новые условия на шаг квантования для обеспечения робастной экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурьес дискретным регулятором (Раздел 2.3) [66];3. Полученные результаты применены к исследованию систем дискретного управления механическими объектами: управление маятником (Раздел 3.1) [65], робастное управлениемаятником с трением (Раздел 3.2) [66], синхронизация трех мобильных роботов (Раздел3.3) [30], стабилизация маятника на тележке (Раздел 3.4) [17, 20, 62, 64], синхронизациясистем «маятник на тележке», управляемых через сеть (Раздел 3.5) [70];4. Впервые получены оценки точности достижения цели управления в задаче управленияэнергией маятника с помощью обратной связи с квантованием (Глава 4, Теорема 4.2) [22].71Список рисунков2.1Секторная нелинейность .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2 = () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.3 = ( 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1Зависимость верхней границы шага дискретизации от скорости затухания . . . . . 293.2Секторная нелинейность . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3Отклонения и , = 1, 2 в системе (3.14) для ℎ = 0.15 . . . . . . . . . . . . . . . 363.4Отклонения и , = 1, 2 в системе (3.14) для ℎ = 1.32 . . . . . . . . . . . . . . . 363.5Отклонения и , = 1, 2 в системе (3.14) для ℎ = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . 373.6Отклонения и , = 1, 2 в системе (3.14) для ℎ = 1.81 . .
. . . . . . . . . . . . . 373.7Отклонения и , = 1, 2 в системе (3.14) для ℎ = 1.82 . . . . . . . . . . . . . . . 383.8Система «маятник на тележке» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9Зависимость верхней границы шага дискретизации от скорости затухания . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
