Диссертация (1149354), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Деформации, согласнорис. 3.1(с), определяют изменения формы локальной зоны, в которойнапряжения равны нулю, в то время как вдоль оси y действуютрастягивающие напряжения 1 −, вдоль оси x – напряжение −. Полеперемещений точек внутри круговой вставки можно представить каквызванное деформациями вставки с модулями упругости, стремящимися кнулю. Упругие перемещения точек внутри вставки характеризуютсяпостояннымиизменятся,еслии, т.е.
граничные условия на контуре вставки неперемещенияоднородногоперемещениям точек фиктивной вставки приплоскости при действии сил 1 −и−поля(3.1)→ 0,добавитьк→ 0 в даннойвдоль соответствующих осей.В таком случае, отсутствие напряжений в круговой зоне не означаетотсутствия деформации материала.Деформацию круговой зоны (рис.
3.1(с)) не сложно найти, знаяперемещения, вызванные действиями известных граничных условий. На рис.3.2 (а)-(с) показана суперпозиция двух отдельных решений для задач приодноосном нагружении, с граничными условиями на границе круга,являющимися эквивалентными для задачи о пластине с круговым отверстиемпод действием одноосной нагрузки. Таким образом, мы можем использоватьрешение известной задачи Кирша [15].60Рис. 3.2.
Схематичное представление граничных условий для поля напряженийпластины под действием двуосного внешнего нагружения (а) в виде суперпозициисоответствующих условий под действием одноосной нагрузки (b,c), когда влокальной зоне круглой формы напряжения равны нулю [6].Для случая, когда начало координат находится в центре круговогоотверстия пластины (в нашем случае – в центре вставки с характеристиками→ 0,→ 0 ) при растяжении, задача Кирша позволяет найти поленапряжений вне кругового контура и перемещения точек на самой границе.Обычно, аналитические выражения даны в полярной системе координат [16].В декартовой системе координат компоненты поля напряжения вне круга(рис. 3.2(b)) будут следующими:∗∗32=3−2=1+221−=∗1+1−3+ 182(321−3−=где R – радиус вставки,+=,+ 10−+−+4)(+,+),(3.3)12,,=.А для случая, представленного на рис.
3.2(с) имеем∗∗∗∗=2−1−22=−+25−33+ 14+ 2261++−−,,(3.4)∗∗2=5−2(3+4)12+.Суперпозиция решений (3.3) и (3.4) вместе с однородным полем,напряжений (3.1) () определяет действующие напряжения вне вставки:∗=∗=∗∗+∗∗++∗=+,,(3.5)∗∗+.Компоненты перемещения точки на границе вставки, соответствующиезадачам на рис.
3.2 (b) и (c) определяются следующими уравнениями:∗(,)=31−/1,∗(,)=−1−/1,(3.6)∗∗ (,∗∗ (,Компоненты перемещений)=/) = −3,1,/1,в однородном поле напряженийопределяются через соответствующее однородное поле деформаций:( ,)=( ,−/)=−(3.7)/11.Суммируя компоненты (3.6) и (3.7), мы получаем действительныеперемещения произвольной точки ( ,( ,)=( ,∗()=,)+∗∗ (,)+∗() на границе отверстия:)+,∗∗ (,( ,)+)( ,(3.8))Легко проверить, что данные граничные условия в перемещениях (3.8)удовлетворяют следующему однородному полю деформаций:=− 1+2= 3−2+−(1 −62(1 −) /) / ,1,(3.9)= 0,где есть два неизвестных коэффициентаи. В уравнениях (3.9)деформация вставки выражена через модули упругости пластины. Согласнолинейной теории упругости решение (3.9) – единственно.С другой стороны, учитывая свойства материала самой вставки, поленапряжений (3.1) во вставке (рис.
3.1(а)) соответствует однороднымдеформациям, описанными соотношениями (3.2). Т.е., соотношения (3.9) и(3.2) дают нам систему из двух уравнений, которые содержат двенеизвестные величиныи, и могут быть записаны следующим образом:(1+ 2 2) −[1+ (1 −)2]=32,(1+ 2 2) −[1+ (1 −)2]=−2.Решая эту систему, находим неизвестные коэффициенты [6]:=[(3 − ) 1 + (5 + ) 2 ]( 1 + 2 2 ) − [ 1 + (1 − ) 2 ]2и(3.10)=[(3 − 1) 1 + (1 − 3( 1 + 2 2 ) − [ 1 + (1 −2Подставляя значенияи)2])2].в уравнения (3.1)-(3.5), получаем всекомпоненты поля напряжений вне вставки:= 1+=1−1−+2232+3−2=1+1−3−=+ 10+ 182+Внутри вставки3,=2−+−1−2+−2(3+4,= 0.+)+1−12−Эти величины удовлетворяют уравнениям равновесия.6322;2;(3.11)2.3.2.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.Рассмотрим поведение пластины с круговой вставкой при разных=отношениях модулей упругости при коэффициентах Пуассона= .1. Случай с более мягкой вставкой.Здесь предельным случаем является случай отсутствия материала(= 0) с соответствующими коэффициентами2. При вставке из такого же материала (= 0,коэффициенты1==2= 0.= ,== )= 1.3. Случай более жесткой вставки.→ ∞,При абсолютной жесткой вставке (= 0) получаемследующие коэффициенты:=5+3+2 −Графики для напряжений,=/ от более «мягкой» вставки к более«жесткой» приРис. 3(а). Отсутствие вставки(= ,= ,1−33+2 −== .Рис.
3(b).= )= .=− .64,== .=Рис. 3(c).= .,= .= .= .=Рис. 3(e).,=Рис. 3(d).Рис. 3(f).,= .=== .65=Рис. 3(g).= .,Рис. 3(i).= .=,Рис. 3(h).== . ,= .= .Рис. 3(k). Случай абсолютно «жесткой»=→ ∞,вставки (= .= .66,==− .)Графики для напряжений/ от более «мягкой» вставки к более«жесткой» приРис. 4(а). Отсутствие вставки(= .,Рис. 4(c).= .,= .Рис.
4(b).= )= ,== .=−=,Рис. 4(d).=− .= . ,67==− .==− .Рис. 4(e).= .,Рис. 4(g).= .,Рис. 4(f).====− .Рис. 4(h).== . ,=− .68==− .Рис. 4(i).= .,Рис. 4(k). Случай абсолютно «жесткой»=→ ∞,вставки (=− .= . ,=)=− .Как видно, из рис. 3(a)-(k) и 4(a)-(k), напряжения σy /σ в основномположительны(отрицательныезонывозникаютпристремлениикпредельным случаям: абсолютно «жесткой» вставке и при отсутствиивставки), в то время как среди напряжений σx /σ всегда бываютотрицательные значения, и максимальные по модулю из них приходятся наболее «мягкую» вставку или отсутствие ее.Отрицательные напряжения могут вызвать потерю устойчивости.Логично, что в случае вставки из того же материала, что и пластина, мыполучаем сплошную пластину, отсутствие отрицательных напряжений вкоторой означает невозможность потери устойчивости.Можно отметить, что область отрицательных напряжений σx /σвслучае со вставкой, которая жестче пластины, смещается на 90 градусов.Аналогичные результаты получаются, если задачу о равновесии плоскойформы равновесия решать методом конечных элементов в пакете ANSYS(рис.
3.5-3.6)69Рис. 3.5. Распределение напряжений при материале вставки в 10 раз мягче материалапластиныРис. 3.6 Распределение напряжений при материале вставки в 10 раз жестче материалапластиныТеперь рассмотрим поведение пластины с круговой вставкой приразличных коэффициентах Пуассона=и= .70, но при равных модулях Юнга/ приГрафики для напряжений== .Рис. 7 (a). Предельные случаи при= ,= / и= / ,=Рис. 7 (b).(совпадают)= .,= .= .Рис. 7 (c).= .=,71,= /= .=,,= /= .Графики для напряженийРис. 8 (a). Предельный случай при= ,= .= .,,= .= / ,=− .=Рис.
8 (c).=Рис. 8 (b). Предельный случай при= /,/ при= .,=− .=Рис. 8 (d).= /=− .= .72=,,= /=− .Как показывают рис. 8(a)-(d) при варьировании коэффициентовПуассона также возникают отрицательные области напряжений σx /σ.3.3.ПОСТАНОВКАЗАДАЧИОБУСТОЙЧИВОСТИПЛАСТИНЫ СО ВСТАВКОЙ.При вставках с модулями упругости отличными от модулей упругостипластины возникают отрицательные напряжения (рис. 4(a)-(k), 8(a)-(c)), азначит, может возникнуть потеря устойчивости системы.Эту задачу, как и ранее в главе II, предлагается решать энергетическимметодом в полярной системе координат, однако здесь добавляется ещеэнергия самой вставки. Так как решенная в главе II задача показала, чтопервая форма устойчивости происходит при четных косинусах; аналогичныевыводы есть в статье [30], то для оптимизации расчетов (уменьшениеколичества уравнений в два раза) в данной задаче берем в выражении дляпрогиба пластины только члены ряда с четными косинусами в следующемвиде:cos([2 − 2] )( , )=,,(3.12)а на вставке( , )=,cos([2 − 2] ) ∙.(3.13)Неразрывность функции прогиба и ее производной дает следующие условия:( , )|( , ) откуда коэффициенты,== ( , )|( , )можно выразить через ,,.В полярных координатах безразмерные напряжения на пластинезадаются формулами73=1−11−2=−+ 1−4∙1−11+2=−−1−− 1+3∙1−11+2∙2+1−++3∙+−3∙1−+cos (2 )cos (2 )1−+(3.14)sin(2 ),а внутри вставки,,====12,12+++−−==−12−(2 )(2 )−(3.15)sin(2 ).Напряжения (3.14)-(3.15) совпадают с напряжениями, полученнымиМусхелишвили [49] и представленными в несколько в другом виде [14]:- на пластине=11−2=+ (1 − 211+2=−−3− (1 − 311+2)+3)22;;2 ,где=−2(−+),=74(− 1) −2 + (( − 1)− 1)−+=- на вставке1= (2=122 );++ (6−132=−)2);2 ,где=2( + 1),+ ( − 1)=3−1+,= 0,=2(1 +( + 1),+=), = 1,2.Задача об устойчивости плоской формы деформирования пластинырешается энергетическим методом.
В данной задаче потенциальная энергиясистемы есть результат суммы энергий на пластине и вставке. То же самоекасается работы усилий срединной плоскости, поэтому полная энергияпредставляется как∆ =Здесьи++ (+)определяются теми же выражениями, что и в (2.7-2.8), апределы интегрированияименяются от 0 до 1 (единица вбезразмерном виде представляет собой границу раздела вставки и пластины,т.е. отношениевставке== 1).
Таким образом, энергии, содержащие прогибы на( , ), определяются как=2(− 2(1 −где75)),=1==1212222+121)1+22222,−2122+2222201−=+20ℎ12(1 −223ℎ2,Выражения1+и+2,,, содержащие коэффициенты,, каждый раз( , ),меняются в зависимости от количества членов ряда прогибапоэтому эти выражения не приводятся в аналитическом виде и каждый разсчитаются численно. Выражения дляитолько с четными косинусамиряда имеют вид:=2(+,,+2(1 −+ 2+,, ++2− (2 − 2) )(− (2 − 2) )++ +22 ( + 1)+ + +2)( + 1)[ ((2 − 2) + +=ℎ(2+76+) + (2 − 2) (+2)+ 1)]=21+ (2+,+3∙,1−+++4212,− 4)=−+1+∙(+ 2, 1+,1−+− + +21−+− ,1+++4+−++2−4∙1−+++2,(2 − 2),,++3∙1−+1+2,−+1−+3∙+2+1+,−1−+−4∙,,2=1+) ++1+2,,++4+2∙1++1−+−+2(2 − 2)(2,1−++1−−3∙+2+∙ (2 − 2) − ,,1− +1−+2∙−3∙+ +2+(2 − 4))+,+4++4,.А частные производные приращения потенциальной энергии пообобщенным координатам, которые приравниваются нулю для нахожденияминимума потенциальной энергии по принципу виртуальных перемещенийвыражаются так:77=(=,++2+ (1 − )− 4)(− 4) + (1 − ) [4 ∙ ( ++ +2,(=∙2]}+ 1) + − (2 − 2) )(− (2 − 2) ) + (1 − ) [(2 − 2) ∙ ( ++ +2,]},+ 1) +≥2==42(22+=,1+−)1+1−+−+2+2−4∙1−+1+−4∙+1−+3∙+2+1−++1−+3∙+2++ + 2+41+,−1+2≥ 3 до1− −2 ,2 −2−+,2 −4 +,2+ +211− +1− +−4∙+3∙++ +2+ +4− 1 (в последнем случае ,2 не учитывается)++41−+,−+2 ∙=02=,8=−+2∙4 ∙2=−,1+1++(1 −+1−1−+242,+4,∙2)−8+3∙,1−+1++2∙−2 ∙,1−++1−−3∙+2+1++2∙1−++ [2,,2матрицы U и W и решая задачу,+ви, ,2∙2 ∙не учитывается)+1−−3∙+2+− (2 − 2) ] ∙,2+4++4+, при от 3 до − 1 (в последнем случае+4Собирая коэффициенты при1+2 −4 +,2 −4≥ 3 до − 1 (в последнем случае[(2 − 2) − (2 − 4) ] ∙+1−−3∙+2+1+,4+21− 1− 2+− 2 −2+ +212 ,2 −2 2 − 2+11− 1+ 2+3∙,++ +42=−,222=2,2,++4∙не учитывается)соответственно в= 0 на собственные числа, находимискомую первую критическую нагрузку∗, соответствующую выходупластины из плоской формы равновесия и равную минимальномуположительному значению собственного числа .78 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
