Диссертация (1149354), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.Численные результаты для числа∗в формуле=,представленные в таблице 3.1, качественно очень хорошо согласуются срезультатами, полученными методом конечных элементов в пакете ANSYS13.1 [27]: чем вставка «мягче» (модуль Юнга вставки→ 0), темближе кминимальному собственному числу, соответствующему потере устойчивостипластины с отверстием. При равных модулях упругости вставки и пластины,т.е.
в случае однородной изотропной пластины, потери устойчивости непроисходит, о чем говорят отрицательные собственные числа. Чем вставка«жестче», тем быстрее наступает потеря устойчивости (правая ветвь графикарис.3.9). Стоит отметить, что ввиду сходимости при большом количествечленов программа в пакете Maple (см. Приложение 1) считает очень долго,для чего требуются специальные ресурсы.01/52/53/54/51отрицотрицотрицотриц--5,3729,28802,9673отрицотрицотрицотриц--7,41,9879отрицотрицотрицотриц--9,51,862719,8423отрицотрицотриц--11,613,128967,6737отрицотриц--13,71,83191,8195708,074597,4611--1,819439,041532,1056отриц17,911,835411,0629отриц--K,L3,216/53103,2--отрицотрицотриц5,3--отрицотрицотриц7,4--отриц652,282164,1885K,L799,5--отриц90,926931,992711,6--отриц61,782625,833113,7--отриц17,9--отриц53,666347,876423,558322,7894Табл. 3.1.
Минимальное положительное , соответствующее нагрузке, при которойпроисходит потеря устойчивости для разных соотношений модулей Юнга вставки кпластине.Рис.3.9. Зависимость критической нагрузки от отношения модуля вставки кмодулю пластины (результаты, полученные в ANSYS)Построеныформыпотериустойчивостииопределенысоответствующие им критические нагрузки.
Получено хорошее совпадениепервых критических нагрузок, построенных методом конечных элементов иописанным выше аналитическим методом. На рис.3.10 и 3.11 приведеныформы потери устойчивости растягиваемой вдоль оси Y пластины совставкой.80Рис. 3.10. Потеря устойчивости при материале вставки в 10 раз мягче материала пластиныРис. 3.11.
Потеря устойчивости при материале вставки в 10 раз жестче материалапластиныНа рис. 3.10 вставка в 10 раз мягче, чем пластина (вставка "мягче" (модуль Юнга вставки→ 0), тем=/10). Чемближе к минимальномусобственному числу, соответствующему задаче о потери устойчивостипластины с отверстием [39].
При равных модулях упругости вставки ипластины, т.е. в случае однородной изотропной пластины, потериустойчивости не происходит.На рис. 3.11 вставка в 10 раз жестче, чем пластина. В этом случаеобласти зоны сжимающих напряжений, как уже отмечалось, расположены81вдоль оси X (на 90 градусов смещены по сравнению со случаем, когдавставка мягче пластины).3.5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ III.Расчеты показывают, что потеря устойчивости пластины с круговойжесткозакрепленной вставкой случается при меньших нагрузках в случае,когда модуль упругости вставки либо много меньше пластины (т.е. вставкаочень «мягкая») либо, наоборот, много больше (т.е. вставка очень«жесткая»). Отметим, что формы потери устойчивости при//<1 и> 1 – разные.
В случае «жесткой» вставки области зоны сжимающихнапряжений, как уже отмечалось, расположены вдоль оси X (на 90 градусовсмещены по сравнению со случаем, когда вставка мягче пластины).По мере приближения модуля Юнга вставки к модулю Юнга пластиныпотеря устойчивости происходит либо при очень больших нагрузках, (в этихслучаях, вероятно, скорее может произойти разрушение пластины), либо непроисходит вовсе (в случае одинаковых материалов).ЧисленныерасчетыпроизводилисьвпрограммеMaple(см. Приложение 1 «Программа расчета собственных чисел задачи о потериустойчивости пластины со вставкой из другого материала»).82Литература:1.
Bhushan B. Scanning Probe Microscopy in Nanoscience and Nanotechnology,Heidelberg: Springer, 2010. 710 p.2. Binnig G., Quate C., Gerber Ch. Atomic Force Microscope // Physical ReviewLetters. 1986. Vol. 56. № 9. Р. 930−934.3. Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone. Measurement ofthe elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene // Science 2008,v. 321, c. 385.4. Cuenot S., Demoustier-Champagne S., Nysten B. Elastic modulus ofpolypyrrole nanotubes // Physical Review Letters. 2000.
Vol. 85. № 8. Р.1690–1693.5. D.M. Schaefer, A. Patil, R.P. Andres, R. Reifenberger. Elastic properties ofindividual nanometer-size supported gold clusters // PRB 1995, v. 51, p. 5332.6. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V. Field of Stresses in an Isotropic Plane withCircular Inclusion under Tensile Stresses. Engineering, 2012, 4 583-589.7.
Eshelby D.E. Definition of the Stress Field, Which was Creating by EllipticalInclusion // Proceedings of the Royal Society A, Vol. 241, No 1226, 1957,p.3768. Eshelby D.E. Epastic Field outside the Elliptical Inclusion // Proceedings ofthe Royal Society A, Vol. 252, No 1271, 1959, p.5619. G. Y. Jing, H. L. Duan, X.
M. Sun, Z. S. Zhang, J. Xu, Y. D. Li, J. X. Wang, andD. P. Yu. Surface effects on elastic properties of silver nanowires: Contact atomicforce microscopy // Phys. Rev. B 2006, v. 73, c. 235409.10.Grekov M., Kashtanova S., Morozov N., Yazovskaya A. // Fracture Mechanicsfor Durability, Reliability and Safety / Book of Abstracts of 19th EuropeanConference on Fracture. Kazan. 2012.
P. 376.11.Grekov M.A., Morozov N.F. Solution of the Kirsch problem in view ofsurface stresses // Memoirs on Differential Equations and MathematicalPhysics. 2011. Vol. 52. P. 123-129.Vol. 53. P. 163-164.8312. Jean-Paul Salvetat, G. Andrew, D.
Briggs, Jean-Marc Bonard, Revathi R.Bacsa, Andrzej J. Kulik, T. Stockli, N. A. Burnham, L. Forro. Elastic and ShearModuli of Single-Walled Carbon Nanotube Ropes // Phys. Rev. Lett 1999, v. 84,c. 944.13. John E. Sader, James W. M. Chon and Paul Mulvaney. Calibration ofrectangular AFM cantilevers // Rev. Sci. Instr. 1999, v. 70, p. 3967.14.Kachanov M., Shafiro B., Tsurkov I. Handbook of Elasticity Solutions.Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2003.15.Kirsch G. Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre// Zantralblatt Verlin Deutscher Ingernieure, Vol.
42, 1898, pp.797-80716.Lai M., Krempl E., Ruben D. Introduction in Continuum Mechanics, 4thEdition, Elsevier, Oxford, 201017.Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosizedstructural elements. Nanotechnology 11 (2000) pp.139–14718.Shenoy V.B. Atomistic calculations of elastic properties of metallic for crystalsurfaces. Phys.
Rev. 2005, B 71, N 9, p.94 -104.19.Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity, McGraw Hill, NewYork, 1970.20. Zhong Q., Inniss D., Kjoller K., Elings V. Fractured polymer/silica fiber surfacestudied by tapping mode atomic force microscopy // Surface Science Letters. 1993.Vol. 290. № 1−2. Р. L688–L692.21.Альтенбах Х., Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об уравнениях линейнойтеории оболочек при учете поверхностных напряжений, Изв.
РАН,Механика твердого тела, 2010, с.618-62022.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М. 1961, 384 г.23.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Наука, 1987. 360 с.24. Андриевский Р.А. , Глезер А.М. Прочность наноструктур // УФН 2009,т. 179(4), с. 337.8425.Анкудинов А.В. Диагностика наноустройств методами сканирующейзондовой микроскопии.
Диссертация на соиcкание доктора физикоматематических наук, СПб, 2015.26.Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композитасимметричного строения как изотропной пластины. Вестник С.Петербургского ун-та. 1993, №1. С. 61-6627.Бауэр С.М., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Задача Кирша и смежныепроблемы // труды Международного научного симпозиума по проблемаммеханики деформируемых тел, посвящённый 105-й годовщине со днярождения А.А.Ильюшина, 2016 г.28.Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф.
Применениенеклассических моделей теории оболочек к исследованию механическихпараметров многослойных нанотрубок. // Вестн. С.-Петербург. ун-та.Сер.1. вып.1, 2011. с. 22-30.29. Белотоцкий В.И., Кумзеров Ю.А., Фокин А.В. Генерация второйоптической гармоники в нанопроволоках сегнетоэлектрических материалов// письма в ЖЭТФ, 2008, т. 87, с. 465.30.Бочкарев А.О., Греков М.А.
Локальная потеря устойчивости пластины скруговым наноотверстием при одноосном растяжении // ДАН. 2014.Т.457 № 3, с.282-28531.Бочкарев А.О., Даль Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин свырезами. ДАН СССР. 1989. Том 308, №2, с.312-315.32.Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов.М. Машиностроение, 1988, 272 с.33.Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М., Наука, 1967.34.ГольдштейнР.В.,ГородцовВ.А.,УстиновК.Б.Влияниеповерхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости надеформирование шарообразных включений нанометровых размеров вупругой матрице.
Физическая мезомеханика. 2010. Т.13, №5, с.127-138.8535.Греков М.А.,Язовская А.А.Эффектповерхностнойупругостииостаточного поверхностного напряжения в упругом теле, ослабленномэллиптическим отверстием нанометрового размера. ПММ, 2014, Т.14,вып. 2.36. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические модели колебаний стержней,пластин и оболочек. М.1973, 274 с.37. Григоренко Я.М.
Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращенияпеременной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973, 223 с.38. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженнодеформированного состояния анизотропных неоднородных пластин. Прикл.механика, 1997, т. 33, № 11, с. 3-3739.Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение иустойчивость тонких тел с трещинами. Киев., Наук. думка, 1981.40.Елецкий А В. Механические свойства углеродных структур иматериалов на их основе // УФН 2007, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
