Диссертация (1149354), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Известно, что при увеличенииразмера отверстия это влияние ослабевает (размерный эффект). Равенствонулю коэффициентовозначает отсутствие поверхностных напряжений. Вэтом случае соотношения (2.3) переходят в известное решение задачи Киршао растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием.Задачу будем рассматривать в полярной системе координат ( ,) сцентром, совпадающим с центром кругового отверстия.Представим напряжения как линейную комбинацию классическихнапряжений и напряжений, порожденных поверхностными эффектами:( , )=( , )=++( , )=где:50(2.4)+,( , )=+1−( , )=−+(1 − 21+( , )=)− 1−(1 − 21+2)(1 −4(1 −+ 1+)−)3(1 − 2+3(1 − 2))3(1 − 2)cos 2cos 2(2.5)sin 2 .Заметим, что в постановке задачи Штурма-Лиуввиля (2.1) напряженияпредполагаются пропорциональными разыскиваемому собственному числу(критической внешней нагрузке).
В то же время в первых двух равенствах(2.5) первое слагаемое не зависит от нагрузки P и, следовательно, неудовлетворяет этому условию. Вместе с тем, с ростом нагрузки его вклад внормальные напряженияистановится все меньше. В связи с этим,полагая, что потеря устойчивости у кромок отверстия происходит придостаточно большом значении нагрузки, в расчетах на устойчивостьпренебрежем этим слагаемым.2.3.
РЕШЕНИЕ.Дляопределениякритическогонапряжениявоспользуемсяэнергетическим методом С.П. Тимошенко [57,33]:Δ =+.(2.6)Здесь U – потенциальная энергия изгиба пластины, асрединнойплоскостипластинки,накопившихся– работа усилий вкмоментупотериустойчивости, на дополнительных перемещениях, вызванных потерейплоской формы деформирования [55]:=2[(∆ ) − (1 − )ℒ( , )],(2.7)=ℎ21++2w – прогиб пластины после потери устойчивости,=()– цилиндрическая жесткость пластины,51– коэффициент Пуассона,ℒ( , ) = 21−+1−112+(2.8)Воспользуемся принципом возможных перемещений для поиска первойкритическойнагрузки∗(точкибифуркации),прикоторойможетвозникнуть искривленная форма первоначально плоской пластины.
Следуяэтому принципу, за основу возьмем приращение энергии деформациипластины в полярных координатах [30]:∞∆ =′′2− 2(1 − ) +11ℎ+ 2Прогиб пластины( , )=1′ +′′′′(+1+ ′′)−1+2′− ′′′(2.9)′ищем в виде двойного ряда∑∑,(2.10)удовлетворяющего условию затухания на бесконечности. Для функционала(2.10) условия свободных кромок отверстия являются естественными [48].Наличие симметрии относительно координатных осей ,позволяет средитригонометрических составляющих удерживать только косинусы четногочисла аргумента.Тогда U и W (в классическом случае, без добавлений, отвечающих заповерхностные эффекты) принимают следующую форму:=2+2− )++2(+)(−+2 ( + 1)+ +2( + 1)[ (52++)+ (+2+ 1)]−+2)+ 2(1(2.11)ℎ2=−++( +−2 +4++−+)( ++ 2)+++11++()−(4+ 2(+4)() { ( + 2)+ +4)( +++()()+2−4 ( + + 1))( + + 2)( +) +(+ −++ 4)Из принципа возможных перемещений следует, что в состоянииравновесия механической системы потенциальная энергия деформациидостигает минимума.
В этом состоянии обобщенные силы, т.е. частныепроизводныеприращенияпотенциальнойэнергиипообобщеннымкоординатам, равны нулю:∆( + ΛW) = 0,=где∞∙20=∙∞=12−=122+−+2++2+ (1 − ) , 2 + (1 − ) ( 2 ( ++ 1) +,=ℎ2=0+53+,) ,≥12=2)( +( +−(+ 2)− (2−((0,∙+ 2)+( ++ 4)−( +2)()∙ ( + 2), =1( + + 4) ∙ ( + 2),=2( + + 2)( + + 4)∙ ( − 2)∙ ( + 2)− ( )− ( ), ≥3( + + 4)( + + 4)+ 2)()44( + + 1)( + + 2)( + + 4)=−+ =01−( +)− 2), =0+ 4)+ − 2), =1+ + 4) + − 2), =2+ + 4)( + − 2), ≥3( + + 4)2( + + 1)+=( +( +( +()+((+)(−+1,40,Искомая первая критическая нагрузка∗+,=0=1, =2≥3, соответствующая выходупластины из плоской формы равновесия, будет равна минимальномуположительному значению собственного числа λ (см.
также [10]).Учет поверхностных напряжений вдоль поверхности пластины.Далее помимо поверхностных эффектов на границе отверстия учитываетсядополнительный вклад поверхностных напряжений, учет которых меняетизгибную жесткость пластины, т.е., следуя [21]:=ℎ+6(1 − )ℎ +54ℎ.2(2.12)2.4.ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.Используя метод Ритца, в программе Maple, рассчитаны критическиенагрузки для классического случая, для случая учета поверхностныхэффектов на границе круга и для случая учета поверхностных напряженийвдоль поверхности пластины.Расчеты выполнены для пластин из алюминия, основные константы= 58.17 ГПа,которогоН= 6.8511 ,м= 26.13 Гпа.Данные для поверхности [18,17]:Н= −0.376 ,Н= 0,9108ммдля Al [111].Отношение критической нагрузки, учитывающей поверхностные эффекты награнице круга к классической нагрузке (P/) и учитывающей полнуюсистему сил к классической критической нагрузке (Отношениекрит.
нагр.h=2 нмh=3 нмh=4 нмh=5 нмh=10 нмпол /):R =10 нмR =20 нмR =40 нмR =50 нмP/0,9900,9940,9950,996пол /1,2181,2291,2241,225P/0,9910,9950,9960,997пол /1,1421,1471,1491,150P/0,9910,9950,9970,998пол /1,1041,1101,1111,112P/0,9910,9950,9970,998пол /1,0811,0861,0891,090P/0,9910,9950,9980,999пол /1,0361,0411,0431,043Табл. 2.1Таким образом, видно, что для этого случая учет поверхностныхнапряжений, действующих по границе отверстия, уменьшает критическуюнагрузку по сравнению с классическим случаем. При увеличении толщиныпластины отношение нагрузок, учитывающей поверхностные натяжения, кклассической, асимптотически стремится к 1, т.е.
для более «толстых»55пластин поверхностные эффектыне влияют на критическую нагрузку.График (рис. 2.2) представлен для R=20 нм и h от 3 нм до 10 нм.Рис.2.2. Отношение /для R=20 нм и h от 3 нм до 10 нмРис.2.3. Пунктирная линия - отношение /, сплошная линия- отношениепол /Из табл. 2.1 видно, что учет поверхностных эффектов на лицевыхсторонах пластины увеличивает критическую нагрузку при выбранныхупругих и поверхностных модулях, и учет изменения изгибной жесткостипластины играет бОльшую роль, чем учет поверхностных эффектов награнице круга.
График (рис. 2.3) представлен для случая R=20 нм и h от 3 нмдо 30 нм, пунктирная линия – отношение56/, сплошная линия –отношениепол /. При увеличении толщины пластины поверхностныеэффекты становятся пренебрежимо малы.2.5.ВЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ II.работеисследованапотеряустойчивостиприрастяжениибесконечной пластины с круговым отверстием с учетом поверхностныхэффектов. Был рассмотрен классический случай задачи (без учетаповерхностных сил) и проведен сравнительный анализ относительноклассического случая двух следующих добавлений: учет поверхностных силна границе отверстия и учет поверхностных сил вдоль всей пластины. Врезультате получено, что изменения изгибной жесткости пластины играютбОльшую роль, чем учет поверхностных сил на границе отверстия.Рассмотрение поверхностных эффектов имеет смысл только при очень малойтолщине и выполнении соотношения ℎ/ ≪ 1, вследствие чего необходимоучитывать зависимость от обоих параметров.В работе [30] для критической нагрузки, учитывающей поверхностныесилы на границе отверстия, приводится зависимости критической значениянагрузки при различных значениях R.
Отмечается размерный эффект, иотмечается, что при R=1 нм происходит наибольшее снижение критическойнагрузки (3-7 % ), а при увеличении значения R влияние поверхностных силна границе отверстия уменьшается. Но рассмотрение отверстий радиуса 1-2нм имеет смысл только для пластин, имеющих еще меньшую толщину.Асимптотическоестремлениекединицеотношенийнагрузок,учитывающих поверхностные эффекты к классической нагрузке приувеличение толщины является дополнительным доказательством корректнойпостановки задачи. Численный анализ производился в программе Maple.57ГЛАВА 3.УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВОЙ ВСТАВКОЙ ИЗДРУГОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИИзвестно, что области сжимающих напряжений наблюдаются нетолько при одноосном растяжении пластины с отверстием.
Сжимающиенапряжения наблюдаются также в пластинах с включением, а значит и в этомслучае возможна потеря устойчивости. В качестве простейшего примерарассмотрим задачу о потере устойчивости плоской формы равновесия приодноосном растяжении напряжениями σ пластинки со вставленной круговойшайбой из другого материала.3.1.ВЫВОД НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ПЛАСТИНЕ СОВСТАВКОЙ.Рассматривается задача о бесконечной пластине с круговой вставкой издругого материала с приложенной на бесконечности вдоль оси y нагрузкой.Наличие материала с другими упругими характеристиками в областитвердого тела при нагрузке вызывает неоднородное поле напряжений.
Вслучае, если в пластине имеется отверстие, то мы получаем известную задачуКирша. Решение этой задачи в полярной системе получено в 1898 году ивошло во все учебники и справочные пособия. Решение этой задачи дляпроизвольной вставки в полярной системе координат (с центром во вставке)получено Мусхелишвилли [49].
В работе [6] представлено решение этойзадачи в декартовой системе координат. Для решения используется методсуперпозиции линейной теории упругости [16,19,45].Предположим, что,коэффициент Пуассона пластины, а– соответствующие модуль Юнга и,- модуль упругости и коэффициентПуассона вставки. Схема приложенной нагрузки представлена на рис.1(a).Растягивающее напряжение направлено вдоль оси y.58Согласно теореме Эшелби в случае эллиптической вставки, поленапряжений внутри вставки является однородным и симметричным поотношению к оси растяжения, т.о. при задании растягивающего однородногонапряжения, напрвленного вдоль оси Y, внутри вставки образуетсяоднородное поле напряжений пропорциональное этому напряжению [7,8]Обозначим поле напряжений внутри вставки как= 0, гдеи=,=и– коэффициенты, которые будут определены ниже.Согласно принципу суперпозиций, полное решение краевой задачиможет быть представлено в виде суперпозиции более простых решений приусловии, что результирующие граничные условия остаются такими же.
Нарис.1 показан случай, который не нарушает это условие и ведет к выделениюоднородного решения (рис.1(b)), которое имеет следующие характеристики:=,=,=0(3.1)Можно использовать принцип суперпозиции и для решения придвуосной внешней нагрузки (рис.1(c)) при условии, что напряжения равнынулю только внутри вставки.
Вдоль оси y действуют растягивающиенапряжения 1 −, вдоль оси x – напряжение −.Рис. 3.1. Схематичное представление граничных условий для полянапряжений пластины с отверстием (а) в виде суперпозиции однородного полянапряжений (b), вызванного двуосным внешним нагружением и поля напряженийпластины под действием двуосного внешнего нагружения (с), где напряжениявнутри круглой вставки равны нулю [6].59Таким образом,из полных деформаций вставки (рис. 3.1(а))вычитается часть (рис. 3.1(b)), находящаяся под действием однородного полянапряжений. Согласно закону Гука, и напряжениям (3.1), эта частьоднородна и характеризуется следующими компонентами:−=1,−=1,= 0.(3.2)Упругие модули пластины и вставки разные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
