Диссертация (1149354), страница 5
Текст из файла (страница 5)
[25]Действительно, слоистая структура асбестовых нанотрубок [44,29]позволяет рассматривать трубку как трансверсально-изотропную (рис. 1.11).Каждый слой не меняет своей структуры, но модуль сдвига в поперечномсечении G' может существенно меняться в зависимости от наполнителя. Какуже упоминалось, трубка, наполненная водой, оказывается мягче, чем сухаятрубка, что может быть объяснено тем, что в этом случае существенноменяется (уменьшается!) модуль сдвига в поперечном сечении (или модульсдвига между слоями).Рис.1.11. Строение асбестовой нанотрубки32Следует уточнить, что теория ТР работает при условии 2 g 1, и врассмотренной задаче о консольном изгибе изотропной балки она можетвносить лишь малую поправку на модуль Юнга.
В этой связи, сделанныйвыше вывод следует пока трактовать как качественный.Были,однако,проведеныдополнительныеэксперименты,скомпозитными нанотрубками (о технике приготовления таких трубок см.,например, [29]). Они показали, что в случае плохо смачивающего асбестнаполнителя, например ртути, определяемый по теории БКЛ модуль Юнгалучше согласовывался с общепринятыми данными [44] и возрастал до уровня1011 Н / М 2 . Поскольку наполнитель жидкий - он не должен влиять на модульЮнга композитной нанотрубки. Более того, так как внутренний диаметртрубки приблизительно в 6 раз меньше внешнего, вклад, пусть дажетвердого, наполнителя в механическую жесткость пренебрежимо мал, фактор(1/6)4.
Как и в случае воды роль наполнителя сводится к влиянию Лапласовадавления на модуль сдвига G'. Но если вода хорошо смачивает асбест исжимает внутренний диаметр трубки, то ртуть не смачивает его и распираеттрубку. Это приводит к увеличению G', и, соответственно, параметра g вформуле (1.2).Таким образом, с помощью сканирующей зондовой микроскопии былопроведено исследование механической жесткости отдельных нанотрубокхризотилового асбеста, расположенных на трековой мембране из лавсана сосквозными субмикронными порами.
Анализ полученных результатовпоказал, что значения модуля Юнга нанотрубок асбеста, вычисленные потеории БКЛ, оказываются в несколько раз меньшие макроскопическогомодуля Юнга асбеста. Применение теории ТР позволяет объяснить и накачественномуровнеустранитьрассмотренынеклассическиеэтотеориирасхождение.длямногослойныхучитывающие модули сдвига для сравнения с теорией ТР.33Поэтомудалееоболочек1.4. ПРИМЕНЕНИЕОБОЛОЧЕК.НЕКЛАССИЧЕСКИХТЕОРИЙДля сравнения предлагается так же рассмотрение результатов,полученных с использованием неклассических теорий оболочек.Классическая теория тонких оболочек основывается на известныхгипотезах Кирхгоффа-Лява, которые предполагают следующее:1. Прямолинейныесрединнойволокнаповерхностиоболочки,доперпендикулярныедеформации,костаютсяеепоследеформации также прямолинейными и перпендикулярными кизогнутой срединной поверхности.2. Длина волокон, перпендикулярных к срединной поверхности,остается неизменной в процессе деформации и нормальныенапряжения на площадках, параллельных срединной поверхности,пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.Как показано в [51] эти гипотезы приводят в исходных уравнениях кпогрешности порядка O(h/R) по сравнению с единицей.
Такая погрешностьвполне приемлема при расчете многих конструкций, встречающихся вразличныхобластяхтехники,особеннометаллическихконструкций.Классическая теория пластин и оболочек, разработанная сначала дляизотропных однородных структур, получила широкое применение и вмеханике анизотропных конструкций. В этом случае при решении задачи одеформации анизотропных пластин и оболочек используются только другиесоотношения упругости [46].Приэтомдлярасчетааналитическиеметоды,тонкостенныхконструкций.пластинразработанныеВопросоидляоболочекприменяютсяоднородныхпогрешностииизотропныхэтогоподходаобсуждался в [26, 32]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных икруглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главныенаправления упругости материала совпадают с координатными, приопределенных механических параметрах такой подход дает хорошие34результаты [32,22,23,46].
Однако существует достаточное количествооболочек, в первую очередь изготовленных из неметаллических материалов,где точность классической теории становится недостаточной. Это можетбыть связано с достаточно большим отношением толщины к характерномуразмеру оболочки или пластины, или со свойствами материала. Многиесинтетическиематериалыобладаютповышеннойподатливостьюнамежслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величинекасательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметновлияют на общую деформацию оболочки. Теория изгиба таких оболочектребует введения, меньших ограничений, чем накладывают гипотезыКирхгоффа-Лява.
В связи с этим появилось много уточненных теорий,построенных,какиклассическая,методомгипотезохарактерераспределения перемещений, деформаций или напряжений по толщинеоболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или инымспособом учитывают деформацию сдвига.
Широкое распространение втеории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезеС.П. Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [56,53]. В монографии[53] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этойгипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных ксрединнойповерхностинезависимотмодуляЮнгавсрединнойповерхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропияматериала оболочки.
В ряде работ [37,38] теорию, изложенную в [53],называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.В работе Палия О. М., Спиро В. Е. [52] для оболочек средней толщиныбыли предложены следующие уточняющие гипотезы: прямолинейныеволокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности додеформации, остаются после деформации также прямолинейными и косинусугла наклона таких волокон к срединной поверхности деформированнойоболочки равен осредненному углу поперечного сдвига. Так же при35построении теории оболочек средней толщины учитываются напряжения,возникающие по толщине, путем введения сложной функции изменениядлины нормали к поверхности.Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропныхпластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевыхзадач,представленаК.Ф.Черныха[54].вмонографииМетодомгипотезВ.А.Родионовой,построенаБ.Ф.Титаева,линейнаятеориянеоднородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малойподатливости поперечным сдвигам и деформированию в направлениинормали к срединной поверхности, поперечных нормальных напряжений инелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщинеоболочки.
Предложенную теорию можно трактовать как первое приближениепри приведении краевой задачи трехмерной теории упругости к двухмернойметодомвзвешенныхраспределениипоневязок.толщинеВводятсяоболочкистатическиепоперечныхгипотезыокасательныхинормального напряжений по закону соответственно квадратной и кубическойпараболы. А также кинематические гипотезы о распределении по толщинеоболочкитангенциальныхинормальнойсоставляющихвектораперемещения по закону полинома соответственно третьей и второй степениот z (нормальной координаты).
Функции, описывающие деформацию слояоболочки по теории Родионовой – Черныха, предлагается искать в видерядов, по полиномам Лежандра от координаты z.Пусть α, β – цилиндрические координаты на поверхности оболочки, α –полярный угол, β – координата вдоль образующей трубки, ℎ – толщины,–радиусы срединных поверхностей слоев оболочки, а L - длина трубки.Для определения коэффициентов Ламе используем обозначение.Нижний индекс j указывает какой криволинейной координате соответствуетрассматриваемая величина A, а верхний i – к какой оболочке онапринадлежит, так при i = 1 она относится к первой внутренней оболочке, i =N к последней внешней.36(),(),()– модули упругости в тангенциальных и нормальныхкоординатных направлениях,()– коэффициенты Пуассона.Рис.1.12 Локальная нагрузкаОпределяется напряженно-деформированное состояние многослойнойтрубки, находящейся под действием локально приложенной нагрузки, сиспользованием уточненной итерационнойтеориианизотропныхоболочек РТЧ и теории ПС.Теория РТЧ – это, как уже отмечалось, линейная теория однородныханизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливостипоперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединнойповерхности, а также поперечных нормальных напряжений и нелинейногораспределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки.Функции,( , , ),описывающие( , , ),перемещениеслояоболочки( , , ) по теории РТЧ предлагается искать в видерядов по полиномам Лежандра,,,от нормальной координаты∈ [− , ].Здесь( ) = 1,( )=2,ℎ( )=Имеет место равенство3761− ,ℎ2( )=20ℎ−3.ℎ/=/ℎ,2 +1а также формула дифференцирования полиномов Лежандра=2(2 − 1)ℎ+.С учетом этих формул получаем для перемещений следующиепредставления:( , , ) = ( , )∗+( , )∗( , , ) = ( , )∗+( , , )=+где , ,аи( )+( , )∗ ( ) +( , )∗( , )∗ ( ) +( , )∗ ( )( , )∗ ( ) +( , )∗( )( ),( )+( , )∗ ( ),( , )∗ ( ) +( , )∗( )( ),– компоненты вектора перемещения точек поверхности оболочки,характеризуют изменение длины нормали к этой поверхности,и– углы поворота нормали в плоскостях ( , ), ( , ) соответственно.Величиныиописывают нормальную кривизну волокна в плоскости( , ), аи– в плоскости ( , ), которые до деформации былиперпендикулярными к срединной поверхности оболочки.Рис.1.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
