Диссертация (1149354), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Компоненты смещения оболочки38Теория ПС – это теория оболочек средней толщины, в которой принятыследующие гипотезы:1. Прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединнойповерхности до деформации, остаются после деформации такжепрямолинейными.2. Косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхностидеформированной оболочки равен осредненному углу поперечногосдвига.Математическая формулировка принятых гипотез сводится к следующимравенствам:( , ) = ( , ) + ( , )∗ ,( , ) = ( , ) + ( , )∗ ,( , )=( , )=( , )+( , ),( , )=−( , )=−гдеи( , ) + ( , , ),( , )=1( , )1( , )++( , )+( , ),( , ),( , ),углы поворота нормали в плоскостях ( , ), ( , );,,и– углы поворота нормали к срединной плоскости и углы сдвига в тех жеплоскостях.
Функция ( , , ) характеризует изменение длины нормали ксрединной поверхности (заметим, что при z=0 эта функция должна бытьравной нулю [52])39Рис.1.14. Компоненты деформации оболочкиНа рис. 7,8 представлены основные характеристики деформацииоболочки.,,,– компоненты деформации, характеризующие изменениялинейных размеров элементов срединной поверхности в направлениикоординатных линий.,– характеризуют изменения кривизн срединной поверхности придеформации оболочки.,,– характеризуют изменения угловых размеров элементовоболочки, сдвиг срединной поверхности.,,– кручение срединной поверхности при деформации оболочки.Под кручением понимается предел отношения угла взаимного поворотапротивоположных сторон элемента срединной поверхности, вызванногодеформацией, к расстоянию между ними при стремлении размеров этогоэлемента к нулю.,,,,– усилия, действующие в направлениях координатныхлиний оболочки.
В отдельных случаях можно допустить, что.40==,,,,–моменты,действующиевнаправлениикоординатных линий оболочки. В отдельных случай можно допустить, что=,,=– перерезывающие силы,,.– внешние поверхностные усилия, приложенные к оболочке,– моменты, возникающие в оболочке под действием внешнихусилий.Рис.1.15. Напряжения, усилия и моменты, действующие в оболочкеКоэффициентыЛамеикривизны,определяющиегеометриюцилиндрической оболочки, имеют вид=,()= 1,=1(),()= 0.(1.3)Приведем основные величины к безразмерному виду по следующимформулам:()R()=ℎ( ) =,()41ℎ().(),()(),(), ,,=1ℎ(), ,,(),,(), ,()()()(), ,,,(),,(), ,(), ,,()(),(),,=,,=,(), ,(), ,,(), ,где P,,={,(),(), ,(), ,(), ,=}ℎ(), ,{,(), ,,(), ,=(),(), ,()=.{, ,(), ,},(), ,}., ,=.– давления на внутренней и внешней областях оболочки.Для удобства введем следующие параметры:=,1−==1−==−ℎ( ) ,=ℎ( )(2=()()=+1−,ℎ( ) ,(),1−=,1−,−==),+2ℎ( )=2()=1−+1−32ℎ( )()42,ℎ( )(2=ℎ( )ℎ( )1++22ℎ( )1+−2,()ℎ( )1−.2=32+ 2 ),ℎ( )1−,2( = 1,2,3)ℎ( ),Соотношения теории оболочек.Деформации оболочки для рассматриваемых теорий выражаются черезкомпоненты перемещения по следующим формулам:Теория РТЧ()=ℎ()()=ℎ==ℎ()()=ℎ()=ℎ()=ℎ(),()+(),==−ℎ() ()()=()(),()()()=()()()()()=ℎ(),()()+(),= ,()= ,()=,(),()(),()()()()()()(),,=ℎ(),+2()+2()()=,()()()+()()()()()()()(),()()()()()()()()()()()()+()Теория ПС==ℎ(),()()(),()(),()=(),()=+()(),(),=().(1.4)Отличающиеся в теориях компоненты деформаций выделены жирнымшрифтом.Приведем уравнения связи моментов и усилий с компонентамидеформаций для теории РТЧ, преобразованные для случая цилиндрическойоболочки.
Подставляя приведенные зависимости (1.3) в соотношения (1.4)можно получить уравнения связи с компонентами перемещения.()=ℎ( )()+ℎ( )()+() (),()=ℎ( )()+ℎ( )()+() (),+(),()ℎ( )=6()+43()()()()()=()()()()ℎ( )=6() () ()=ℎ()5ℎ( )=65ℎ( )=6=()()()()(),()()=()−ℎ()+6()+()+=()−ℎ6()()16,() ()ℎ()()6()()6()()+()+(),, (1.5)− ℎ( )()()(),()()ℎ( )+60()()()ℎ( )+12ℎ( )=10()+()ℎ( )−60(),()Подставим соотношения (1.5) для шести компонентов смещения в формулы(1.4) и сведем их таким образом в зависимость от пяти основныхкомпонентов смещения , , ,()()()1= ()2ℎ()и()ℎ( )=−()612()()1−()2()(),()ℎ( )=− ()()612():(),()+()()=()10ℎ( )()()=(),−ℎ( )−10−()10ℎ( )()1= ()ℎ−()()−()(),ℎ( )()()()16(),+().Проведем подобное преобразование для теории ПС. Уравнения связидеформаций с усилиями и моментами для данной теории имеют вид:()=ℎ() ()++()ℎ() ()()+()(),44(−)()−()()=ℎ() ()()+()()()ℎ( )=6()()ℎ( )=6()=( , , )( ) =ℎ()())−()−()(),=ℎ()=() ()()ℎ+()+()+(+(()()=()()=() () ()ℎ( )2+()−=()+()−()1+(+() ()()()+() ()()+)())()(),(),−()−()+()−()(),()+()−()(),()=() () ()()1−,1+−2 ℎ( )+−()1+−(()) −ℎ( )2+()+()()(),(),(),1−2 ℎ( ),()−()+2+()3.Подставив в них уравнения для деформаций (1.4) так же перейдем кзависимости моментов и усилий от компонентов смещения , , ,и.Таким образом, для обеих теорий получены уравнения связи усилий имоментов с компонентами перемещений.
Подставляя их в уравненияравновесия цилиндрической оболочки можно получить систему из пятидифференциальных уравнений в частных производных с 5-ю неизвестнымифункциями:45()()()()++()()()()()+()()()()()+()()1ℎ( )()()−+()()+()+()()1ℎ( )()()()= 0,()= 0,+()= 0,−()+()= 0,−()+()= 0.()()+Для теории РТЧ система уравнений в общем случае имеет 14 порядок, адля теории ПС – 10 порядок.Подставляя соответствующие компоненты деформации в расчетныеформулы для перемещений, можно получить все составляющие напряженнодеформированного состояния рассматриваемых оболочек.1.5.ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ.Рассматривалась деформация нанотрубки при следующих параметрах:внутренний радиус трубки Rin=2.5 нм, внешний Rout=16 нм, длина трубкиL=500 нм, значения модуля упругости оболочки E1,2,3=1.75*1011 Па,коэффициент Пуассона= 0.3 и сравнительно малом модуле сдвига= 2.3 ∗ 10 Па.
Сила внешнего воздействия= 10 нН, площадь областиприложения нагрузки [40*40] нм2, Lv – координата приложения силы навнешнейповерхностирассматриваемойоболочки.нанотрубкиОчевидно,существенночтосоотношениепревосходитh/Rобластьприменимости теории оболочек. Если рассматривать ее как однослойную, тобудуполученынекорректныерезультаты.Поэтомудлярешенияпоставленной задачи проводится разбиение трубки на n слоев. Расчеты46показывают, что при n=100, h=0.135 нм, значение прогибов оказываетсяочень близким к результатам, полученным с использованием трехмернойтеории. полученными в ANSYS. Дальнейшее увеличение слоев к уточнениюрезультатов не приводит.В таблице 1.4 проводится сравнение результатов, полученных потеории ТР, РТЧ, ПС и результатами, получающимися при тех же параметрахМКЭ в пакете ANSYS 11.
Строки “TR1” и “Ansys1” соответствуютзначениям прогиба трубки с отверстием; строки “TR2” и “Ansys2”соответствуют прогибу сплошной трубки.LvTR1TR2RTCHPSAnsys1Ansys225060,6159,257,7957,5454,1152,3922059,758,3156,8656,6253,2652,3820058,0756,7255,2154,9751,750,1217054,1452,8751,225148,346,7715050,5249,3447,5647,3545,143,7112043,6542,6240,6240,4539,0237,8110038,1237,2235,0734,2934,0733,027028,4727,7925,4525,3425,3724,64017,2416,8214,414,3415,3714,91Таблица 1.4. Сравнение величин прогибов многослойной нанотрубки [28].1.6.ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ГЛАВЕ I.Видно, что все теории дают близкие результаты. Однако результаты,полученные с использованием неклассических теорий оболочек, ближе крезультатам трехмерной теории, что может быть объяснено более точнымучетом цилиндрической формы трубки, цилиндрической анизотропией, а также области приложения внешней нагрузки.47ГЛАВА 2.ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭФФЕКТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ.2.1.ВВЕДЕНИЕ.Устойчивость тонких пластин с отверстием, находящихся поддействием одноосного растяжения в классической постановке исследоваласьво многих работах, например, [55,31,39].
В работах [31,39] отмечается, что,по-видимому,историческипервойработойопотериустойчивостирастягиваемой пластины с отверстием была работа Седаевой Е.М.[55]. Вданной работе в том числе еще раз представлена корректная постановка ирешение классической задачи, так в разных источниках получены разныерезультаты [39,55]. Точное решение классической задачи необходимо длясравнения с последующими решениями усложненных задач, а именно, задач,в которых учитываются эффекты поверхностных натяжений, так какособенностью деформирования наноразмерных пластин и оболочек являетсяналичие поверхностного эффекта [11,34,41], который усиливается приуменьшении геометрических размеров объекта.Локальная потеря устойчивости тонких пластин с отверстием намакроуровне исследовалась в 80-е годы [39, 50].
В частности, задача олокальном выпучивании тонкого одноосно растянутого упругого листа сэллиптическим отверстием была решена вариационными методами [31,39] врамках линеаризированной системы уравнений Кармана. Решение такойзадачи сводится к решению обобщенной задачи Штурма–Лиувилля длядифференциального уравнения∆∆ ( , ) = λ++2(2.1)в котором Δ – оператор Лапласа, w – прогиб пластины, соответствующийсобственному числу λ и заданным кинематическим и статическим краевым48=условиям,,=,=–компонентытензоранапряжений в решении соответствующей плоской задачи теории упругости,, – декартова прямоугольная система координат.Перваякритическая(эйлерова)∗нагрузка, котораяотвечаетминимальному собственному числу Λ, находится в виде∗=min λ =,=((2.2))где h – толщина пластины, E – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона, R –характерный линейный размер отверстия,=(). Было показано [30],что механическая природа подобного локального выпучивания у свободныхкромок отверстия связана с образованием локальных зон сжимающихокружных напряжений при одноосном растяжении пластины.Рис.2.1.
Выпучивание пластины при растяжении [30]2.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.Рассмотрим бесконечную упругую пластинку с круговым отверстиемрадиуса R, растянутую на бесконечности одноосно при учете поверхностныхнапряжений. Растягивающее напряжение на бесконечности равно P.>Поле напряжений при( , )=21−+2+ 1−1−в этом случае имеет вид [35]:4(1 − 2+)3cos2− 1−49+4(1 −)+3(1 − 2)cos 2,( , )=21++( , )=−221+3− 1+1+2(1 − 23−cos2)−+ 1+sin2 +2)3(1 − 21+2(1 −cos 2)−,3(1 − 2(2.3))sin 2 .где==((22 −+ 2 )( +)+ 2 + )(2( + 2 )2,(1 + æ),4( + )=−),æ==5 +6,3 +2(1 + æ),2 + (3 + æ)=3−1+– остаточное поверхностное напряжение, отвечающее ненагруженномутелу,,Ламе ,- модули поверхностной упругости, аналогичные постояннымдля объемной изотропной упругости [34].Присутствие слагаемых с постояннымиуказываетнавлияниеповерхностных( = 0, 1, 2) в формулах (2.3)напряженийнанапряженно-деформированное состояние пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
