Диссертация (1149162), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Хорошо известно, что вторая производная функции f (x)может быть приближенно записана в видеd2 f (x) f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)≈dx2h2(4.17)с хорошей точностью, в случае когда f (x) не меняется значительно на расстоянии h. Таким образом уравнения (4.16) могут быть представлены вдифференциальном виде в непрерывном пределе в следующем виде:(J122∂ ρ(r) ∂ ρ(r)+∂x2∂y 2)2+ J0∂ ρ(r)= udm∂z 2√S(δ(r) − δ(r − r0 )),2(4.18)где δ(r) и δ(r − r0 ) - дельта функции, определяемые позициями спиновна дефектной связи (r0 = (0, 0, 1)). Можно ожидать, что решение уравнения (4.18) хорошо описывает решение системы уравнений (4.16) не слишкомблизко к дефектной связи, в окрестности которой ρ(r) быстро изменяется.После перемасштабирования в xy плоскостях√x̃ =J0x и ỹ =J1√J0y,J1(4.19)уравнение (4.18) переходит в уравнение Пуассонаudm˜∆ρ(r)=J1√S(δ(r) − δ(r − r0 )),2102(4.20)4(a)(b)z0.04y’0,250,320.2(c)0,210,100,15zri10,200x’0,10-10n0,300,0-0.2-0,10,05-2-0,2-0.040,00-8-6-4-20i2468-0,3-8-4-4-20x24-6-4-202468nРис.
4.2: (b) Плоскость xz, содержащая дефектную связь, которая показана жирной линией. Узлы решетки изображены синими кругами. Контурным графиком показана функция ρ(r), определяемая выражением (4.21),разделенная на Q/J0 (параметр J1 = J0 /4). (a) и (c) Графики ρ(r) вдольштриховых линий, показанных на графике (b). Квадратами показаны результаты численного решения системы уравнений (4.16) для кластеров с24 × 24 × 24 узлами.
Видно, что аналитический результат (4.21)–(4.23) начинает хорошо описывать решение с узлов, соседних к дефектной связи.Вставка на графике (a) иллюстрирует смысл “плотности конденсата” ρin(также как и соответствующей ей в непрерывном пределе величины ρ(r))в данном рассмотрении. Появление ρin ̸= 0 √на узле in означает поворотмагнитного момента на этом узле на угол ρin 2/S в плоскости xy.˜ = ∂ 2 /∂ x̃2 + ∂ 2 /∂ ỹ 2 + ∂ 2 /∂z 2 . Уравнение (4.20) описывает электростагде ∆тическое поле диполя()1Q1ρ(r) =−,(4.21)4πJ1 |r̃ − r0 | r̃√SQ = udm,(4.22)21 Qd =ez ,(4.23)4π J1где r̃ = (x̃, ỹ, z) и d - дипольный момент. Следовательно, искажение магнитного порядка одной дефектной связью является дальнодействующим:оно убывает с расстоянием r как 1/r2 .
Также при численном решении системы уравнений (4.16) обнаружено, что решение (4.21) начинает хорошоработать сразу с соседних с дефектной связью узлов в широком диапазонепараметров (см. Рис. 4.2).Соответствие между электростатической картиной и спиральным магнетиком (4.1) проиллюстрировано на Рис. 4.3.103Рис. 4.3: Иллюстрация соответствия между электростатической картиной,предложенной в тексте, и спиральным магнетиком.
Горизонтальная пунктирная линия обозначает плоскость, перпендикулярную к дефектной связии к дипольному моменту (4.23). Плотность конденсата ρ(r), определяемаяформулой (4.21) (поле диполя), имеет противоположный знак выше и нижеплоскости. Это означает, что спины лежащие выше и ниже этой плоскостидополнительно поворачиваются в противоположных направлениях, которые изображены синими стрелками, а их значения определяются |ρ(r)|,как это объяснено в тексте (см.
также вставку на графике 4.2(a)).Искажение ФМ упорядочения в спиновой системе (4.4) с конечной концентрацией c ≪ 1 случайно распределенных дефектов такого типа, можноописать как электрическое поле от случайно распределенных диполей содинаковым дипольным моментом d, определяемым выражением (4.23).Усредняя по объему системы, для “электрической поляризации” получаетсяcP = d,(4.24)ṽ0где ṽ0 = J0 /J1 - объем элементарной ячейки после перемасштабирования(4.19).
Усредненное поле ρ(r) в однородно поляризованной системе даетсявыражением⃗∇ρ(r)= 4πP,(4.25)которое имеет следующий явный вид в данном случае:c udm∂ρ(r)=∂zṽ0 J1√udmS=c2J0√S.2(4.26)Решение уравнения (4.26) дает усредненное решение исследуемой пробле104мы, которое имеет вид√udm Sρ(r) = zc,(4.27)J02где опущена несущественная константа, соответствующая вращению всехспинов в системе на один и тот же угол. Выражение (4.27) соответствуетследующей поправке к вектору спирали (4.3):y′y′Sin−1udmSin≪ 1.δq = x′ − x′ = cSin Sin−1J0(4.28)√Необходимо отметить, что условие |ρin | ≪ S крайне важно для вычислений, приводящих к формуле (4.27), в то время как формула (4.27)противоречит ему.
Это несоответствие может быть легко устранено поворотом (4.2) с шагом q + δq, а не с q, где q и δq даются выражениями (4.3)и (4.28), соответственно. Произведя снова соответствующие вычисленияможно получить, в частности, уравнение (4.25) с P = 0, решение которо√го ρ(r) = 0. Следовательно, не нарушая требование |ρin | ≪ S, дефектыприводят к средней поправке (4.28) к вектору спирали (4.3).После поворота (4.2) с шагом q + δq, получается следующая плотностьконденсата не слишком близко к дефектам:ρin =Nd∑j=1()d · R̃in − R̃jJ13 − 4πc d · Rin ,J0R̃in − R̃j (4.29)где d дается выражением (4.23) и j нумерует Nd дефектные связи в системе.
Первый член в выражении (4.29) - это поле всех диполей в решетке,второй появляется из-за дополнительного поворота на δq. Усреднение выражения (4.29) по всей системе дает ноль.4.2.2.2. Дефекты, изменяющие как обменное взаимодействие,так и ВДМУчитывая также изменение обменного взаимодействия (4.11) на дефектной связи, из выражений (4.7), (4.10) и (4.11) для линейной по бозевским105операторам части V можно получить(())√()S++ uex (ρ00 − ρ01 ) b+00 + b00 − b01 − b01 .2(4.30)Система уравнений (4.16) в данном случае имеет следующий видV (1) = Sudm − uexDJ0∑J1(ρin − ρjn ) + J0 (2ρin − ρin−1 − ρin+1 ) =j[(= (δin,00 − δin,01 )uexD− udmJ0)√(4.31)]S+ uex (ρ01 − ρ00 ) ,2∀in.Эти система уравнений сложнее, чем (4.16), потому что она не может бытьсразу решена в непрерывном пределе.
Как было отмечено выше, решениев непрерывном пределе не описывает решение системы уравнений рядом сдефектной связью. С другой стороны, решение системы уравнений (4.31)в непрерывном пределе определяется плотностью конденсатов на узлах сдефектной связью (это следствие того факта, что правая часть зависит отρ01 и ρ00 ). Таким образом, для решения системы уравнений (4.31) можноиспользовать следующую самосогласованную схему. Сначала полагается,чтоρ01 − ρ00 = α(4.32)в правой части системы уравнений (4.31), α считается неизвестной константой.
В результате задача сводится к рассмотренной в предыдущем разделе,решение которой дается формулой (4.21), где теперь√ ()SDQ=udm − uex− αuex .2J0106(4.33)Затем, учитываются два уравнения из (4.31) для in = 00 и in = 01:4J1 (ρ00 − ρ10 ) + J0 (2ρ00 − ρ01 − ρ0−1 ) =√ ()SDudm − uex,= −uex (ρ00 − ρ01 ) −2J04J1 (ρ01 − ρ11 ) + J0 (2ρ01 − ρ00 − ρ02 ) =√ ()SD= uex (ρ00 − ρ01 ) +udm − uex,2J0(4.34)(4.35)гдеρ10 и ρ11 - плотности конденсатов на узлах, соседних со спинами надефектной связи и лежащих в плоскостях n = 0 и n = 1, соответственно (здесь учитывается симметрия системы). Вычитая уравнение (4.34) из(4.35) имеемJ1 (4α − 8ρ11 ) + J0 (3α − 2ρ02 ) = −2αuex +√)(D,2S udm − uexJ0(4.36)где использована зеркальная симметрия системы, которой обусловлены равенства ρ02 = −ρ0−1 и ρ10 = −ρ11 .
Используя полученный выше результат,что решение (4.21) в непрерывном пределе хорошо работает начиная с узлов, соседних с дефектной связью в широком диапазоне параметров, можновзять значения ρ02 и ρ11 из выражений (4.21) и (4.33). Следовательно, изуравнения (4.36) можно найти α, которая дается следующей формулой:√ (α=S2udm −uex JD0)[[2+3J0 + 4J1 + uex 2 +J04πJ1J04πJ1++2π2π(√(√J1J0√)]−√)] .J1− J1 +J0J1J0J1J1 +J0(4.37)Из выражений (4.33) и (4.37) получается√ ()D3J0 + 4J1S√[(√)].udm − uexQ=J1J12J0 3J + 4J + u 2 + J0 + 201ex4πJ1πJ0 −J1 +J0(4.38)Необходимо отметить, что формула (4.37) может дать бесконечно большойрезультат при J1 < 0.1J0 и −1 < uex /J0 < 0.
Это означает, что необходимоучитывать больше уравнений (4.31) в дополнение к уравнениям (4.34) и107(4.35) для определения ρ00 и ρ01 . Соответствующий анализ в данной главене приводится. Численное решение системы уравнений (4.31) для конечных решеток показывает, что формулы (4.21) и (4.38) работают хорошо за∪пределами области J1 < 0.1J0 −1 < uex /J0 < 0, не слишком близко кдефектной связи.Для поправки к вектору спирали получается следующая формула()D3 + 4J1 /J0√[(√)] ≪ 1.δq = c udm − uexJ1J1J0 3J + 4J + u 2 + J0 + 201ex4πJ1πJ0 −J1 +J0(4.39)Значения ρin определяются выражением (4.29), где d и Q даются формулами (4.23) и (4.38), соответственно.Важно отметить, что влияния дефектов в ВДМ и обменном взаимодействии на спиральное упорядочение могут значительно ослабить друг другапри udm ≈ uex D/J0 (см.
формулы (4.38) и (4.39)).4.2.3. Упругое рассеяние нейтронов в спиральных магнетиках с дефектамиСечение упругого рассеяния нейтронов дается формулой [84]∑∑dσbχ Qbη )⟨S χ ⟩⟨S η ⟩,∝eiQ(Rin −Rjm )(δχη − QinjmdΩ in,jmχ,η(4.40)b = Q/Q, χ, η = x, y; ⟨. . . ⟩ обозначаетгде Q - переданный импульс, Qусреднение по квантовым и температурным флуктуациям,x⟨Sin⟩ ≈ S cos nq ′ −y⟨Sin⟩ ≈ S sin nq ′ +√√2Sρin sin nq ′ − ρ2in cos nq ′ ,(4.41)2Sρin cos nq ′ − ρ2in cos nq ′ ,(4.42)q ′ = q + δq,(4.43)ρin дается формулой (4.29), q и δq - формулами (4.3) и (4.39) соответственно, члены более высоких порядков, чем второй, по ρ опущены.
Члены вформулах (4.41) и (4.42), не содержащие ρ приводят к хорошо известным108результатам для чистых спиральных магнетиков (см., например, [84])(dσdΩ)∝ N 2π S32(b2z1+Q)∑(δ(Q + q′ − τ ) + δ(Q − q′ − τ )) ,τBragg(4.44)где N - число узлов решетки, q′ = q ′ ez , τ - вектора обратной решетки, адельта функция описывает магнитные брэгговские пики (сателлиты) приQ = ±q′ +τ . Члены в (4.40) линейные по ρ дают ноль после усреднения поконфигурациями беспорядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
