Диссертация (1149162), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Можно показать, что слагаемые, содержащие произведения двухоператоров рождения или двух операторов уничтожения, дают пренебрежимые поправки к спектру. Вводя Фурье-преобразование1 ∑ −ik·Rinbin = √bk e,N k(Б.5)для выражения (Б.4) имеем(2)H4∑∑2 ∑ +bk1 bk2Jj eiRin ·(k1 −k2 )= −Ninjk ,k[ 1 2]1× ρ2jn − ρin ρjn − cos k2j (ρin − ρjn )2 ,2(Б.6)где k2j = k2z и k2j = k2x или k2y для соседей из разных плоскостей или изодной плоскости, соответственно.133Таким же способом получаются слагаемые из H4 (выражение (Б.3)),содержащие произведения трех бозевских операторов(3)H4∑∑∑1+ +bbbJj eiRin ·(k1 +k2 −k3 )(Б.7)k1 k2 k33/2N k ,k ,kinj1 2 3(())ik1j−ik3ji(k1j +k2j ) ρin× e (2ρjn − ρin ) − e1+e+ h.c.2= −После Фурье-преобразования возмущение (Б.1) дает следующие вклады, содержащие один оператор рождения и один уничтожения(2)Vdm[]ik1z−ik2z∑Squdm ∑ +e+e=(Б.8)bk1 bk2eiRhm ·(k1 −k2 ) 1 + ei(k1z −k2z ) −N2k1 ,k2hmИз выражения (Б.2) после преобразования Фурье получаем(3)Vdm√∑udm S/2 ∑ + +=bbbeiRhm ·(k1 +k2 −k3 )(Б.9)kk1 k2 33/2Nk1 ,k2 ,k3hm( ik1z)(e + eik2z )(1 − e−ik3z ) ei(k1z +k2z −k3z ) − 1×++ h.c.24Вычисление поправок к спектру магнонов начинается с выражения (Б.8).
Так как q|udm | ≪ J0 , J1 , главные поправки к энергии магноновδεk и затухание γk берущиеся из диаграмм, показанных на Рис. 4.5(a) и4.5(b) соответственно, которые дают(1)δεk(1)γk= Scqudm (2 − cos kz ),(Б.10)( ik) 2−ik1z 2 ∑ze+e(Squdm )1= ℑ1 + ei(kz −k1z ) −2Nεk − εk1 − i0 2k1∑×ei(Rhm −Rh′ m′ )·(k1 −k) hm,h′ m′()∫(Squdm )2k 3 (Sudm D)2 td3 k 1≈ ℑ c≈c,(2π)3εk − εk1 − i0εk J0 J1 2π(Б.11)где ℑ обозначает мнимую часть, t = 1 и 1/2 для, соответственно, k̃ ≪ D/J0134и k̃ ≫ D/J0 (см. выражения (4.51)–(4.53)), здесь и ниже линия над выражением обозначает усреднение по конфигурациям беспорядка. После соответствующего усреднения, главный вклад по концентрации дают толькочлены с h = h′ и m = m′ в двойной сумме по hm и h′ m′ .Главный вклад в перенормировку спектра от выражения (Б.9) соответствует диаграмме изображенной на Рис. 4.5(c).
После интегрирования повнутренней частоте для поправки к спектру получается(2)Σcu2dm S ∑1=8N 2εk − εk1 − εk2 − i0k1 ,k22i(k1z +k2z −kz ) ike−1 .× (e 1z + eik2z )(1 − e−ikz ) +2(Б.12)Мнимая часть этого выражения порядка cu2dm k 10 /εk . Следовательно, онабольше, чем (Б.11) только для достаточно больших импульсов, k ≫√(D/ J0 J1 )2/7 . Поправка к энергии магнонов имеет вид(2)δεkI1ku2dm≈ cI1k ,J0∫S J01 − cos(k1z + k2z )=,dk1 dk2616 (2π)εk − εk1 − εk2(Б.13)(Б.14)и она должна быть учтена наряду с поправкой (Б.10).Главный вклад в энергию магнонов из выражения (Б.6) дается диаграммой, изображенной на Рис. 4.5(a):δε =∑∑inJj (cos kj − 1)(ρin − ρjn )2 .(Б.15)jОна оказывается пренебрежимо малой, по сравнению с величиной (Б.13),будучи порядка cu2dm k 2 . Вклад в затухание от выражения (Б.6) иллюстри-135руется диаграммой на Рис.
4.5(b) и имеет вид((2)γk= ℑ11 ∑N2εk − εk1 − i0(Б.16)k1)(∑∑∑()×Jj Jj ′ ei(Rin −Ri′ n′ )·(k1 −k) ρ2in − ρ2jn ρ2i′ n′ − ρ2j ′ n′ .i′ n′ j,j ′inОн по порядку величины равен cu4dm k 5 /εk , следовательно им можно пренебречь.Петлевая диаграмма, изображенная на Рис. 4.5(c), с трехчастичнымивершинами (Б.7) дает следующий вклад:(3)Σ∑ Jj Jj ∑ (1 + cos (k1j + k2j ) − cos k1j − cos k2j )121111=34Nεk − εk1 − εk2 − i0j ,j1k1 ,k22×(1 + cos (k1j2 + k2j2 ) − cos k1j2 − cos k2j2 )∑ρin ρjm ei(Rin −Rjm )·(k1 +k2 ) .×(Б.17)in,jmПри использовании выражения (4.46), из (Б.17) получается следующаяважная поправка к энергии магнонов:(3)δεkI2ku2dmI2k ,(Б.18)= cJ0∑ SJj Jj 1 ∫1 − cos (k1z + k2z )12=dkdk124J0 (2π)6(εk − εk1 − εk2 )(k̃1 + k̃2 )4j ,j12×(1 + cos (k1j1 + k2j1 ) − cos k1j1 − cos k2j1 )(Б.19)×(1 + cos (k1j2 + k2j2 ) − cos k1j2 − cos k2j2 ),порядок величины которой cu2dm , как и у выражения (Б.13).
Мнимаячасть выражения (Б.17) оказывается порядка cu2dm k 8 /εk . Следовательно,она больше, чем вклад (Б.11), только для достаточно больших импульсов,√k ≫ (D/ J0 J1 )2/5 .Также необходимо учесть поправки от диаграммы, показанной на(2)(2)Рис. 4.5(b), вершины в которой соответствуют возмущениям Vdm и H4 .136Соответствующее выражение имеет вид:(4)Σ(∑1= −eiRin ·(k1 −k)2Nε−ε−i0kk1νk1{in}[]( ik)e 1z + e−ikz ∑ iRjm ·(k−k1 )i(k1z −kz )× 1+e−e×(Б.20)2jm)(22[ρ+ρjm+eνjmρ2jm+eν − ρjm ρjm+eν − ρjm−eν ρjm + e−ik1ν ρjm ρjm+eν −2()22])ρ+ρjm−eνjmik1ν+eρjm ρjm−eν −+ h.c. .2∑ Jν qudm S ∑Поправки к энергии магнонов и затуханию от этого выражения пренебрежимо малы, они порядка cu3dm D и cu3dm Dk 5 /εk , соответственно.Вторая поправка такого типа (образованная разными возмущениями)(3)дается петлевой диаграммой (Рис.
4.5(c)), содержащей обе вершины Vdm и(3)H4 . Она имеет вид(5)Σ√[∑1=eiRin ·(k−k1 −k2 )(Б.21)ω−ε−ε+i0kk12νk1 ,k2{in}( −ik1z)−ik2zikzi(kz −k1z −k2z )(e+e)(1 − e ) e− 1 iRin ·(k1 +k2 −k)×+e24) ( ik1ν)][(∑(e + eik2ν1e−ikν−ikνi(k1ν +k2ν )×−(1 + e)ρjm e−224jm[(])) ( ik1ν)]e−ikν1e + eik2νi(k1ν +k2ν )+ρjm+eν1−− (1 + e) + h.c. .224∑S2 udm JνN3∑Мнимая часть этого выражения при малых k оказывается порядкаcu2dm k 8 /εk .
Следовательно, ею можно пренебречь. Вещественная часть да-137ется следующим выражением:(4)δεkI3ku2dmI3k ,(Б.22)J1∑ SJν ∫1 + cos(k1ν + k2ν ) − cos k1ν − cos k2ν=dkdk()21262(2π)ν(εk − εk1 − εk2 ) k̃1 + k̃2= c× sin2k1z + k2z,2(Б.23)которое по порядку величины cu2dm и должно учитываться.При ненулевом uex есть также возмущение (4.11), которое имеет следующий вид после Фурье-преобразования:(2)Vex∑∑ 1()()iRin ·(k1 −k2 )ik1z−ik2z= Suexb+be1−e1−e,kN k1 2(Б.24){in} k1 ,k2где {in} обозначает дефектную связь. В общем случае нельзя считать, что|uex | ≪ J0 , J1 как это было для udm . Следовательно, чтобы найти поправкик спектру в первом порядке по c от выражения (Б.24), необходимо суммировать бесконечный ряд диаграмм, показанных на Рис. 4.5(d). В результате,знаменатель функции Грина принимает видG(ω, k)−1 = ω − εk − T (ω, k),(0)T (ω, k) = 2cSuex (1 − cos kz )(∫× 1 − 2Suexdq (1 − cos qz )(2π)3 ω − ε(0)q − i0(Б.25))−1.(Б.26)Из этого выражения получаются следующие вклады в затухание и энергиюмагноновγkδεkI4Su2ex k 6= c √,6 2π 2 D(1 + I4 uex )2Suex k 2,= c1+Iu4ex∫dq 1 − cos qz= 2S.(0)(2π)3εq138(Б.27)(Б.28)(Б.29)Эти вклады пренебрежимы, по сравнению с рассмотренными выше.
Такжеесть поправки от диаграмм изображенных на Рис. 4.5(d), составленных изобоих выражений (Б.8) и (Б.24). Анализ показывает, что они также малы.139Литература[1] Nikuni T., Oshikawa M., Oosawa A., Tanaka H.; Bose-EinsteinCondensation of Dilute Magnons in TlCuCl3 // Phys. Rev. Lett. — 2000. —Vol. 84. — Pp. 5868–5871.[2] Matsumoto M., Normand B., Rice T. M., Sigrist M.; Magnon Dispersionin the Field-Induced Magnetically Ordered Phase of TlCuCl3 // Phys.Rev.
Lett. — 2002. — Vol. 89. — P. 077203.[3] Misguich G., Oshikawa M. Bose–Einstein Condensation of Magnons inTlCuCl3 : Phase Diagram and Specific Heat from a Self-consistent Hartree–Fock Calculation with a Realistic Dispersion Relation // Journal of thePhysical Society of Japan. — 2004. — Vol. 73, no. 12. — Pp. 3429–3434.[4] Sasago Y., Uchinokura K., Zheludev A., Shirane G.; Temperaturedependent spin gap and singlet ground state in BaCuSi2 O6 // Phys. Rev.B.
— 1997. — Apr. — Vol. 55. — Pp. 8357–8360.[5] Jaime M., Correa V. F., Harrison N. et al.; Magnetic-Field-InducedCondensation of Triplons in Han Purple Pigment BaCuSi2 O6 // Phys.Rev. Lett. — 2004. — Aug. — Vol. 93. — P. 087203.[6] Krämer S., Stern R., Horvatić M. et al.; Nuclear magnetic resonanceevidence for a strong modulation of the Bose-Einstein condensate inBaCuSi2 O6 // Phys. Rev. B. — 2007. — Sep. — Vol.
76. — P. 100406.[7] Kofu M., Kim J.-H., Ji S. et al.; Weakly Coupled s = 1/2 Quantum SpinSinglets in Ba3 Cr2 O8 // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102. — P. 037206.140[8] Kofu M., Ueda H., Nojiri H. et al.; Magnetic-Field Induced PhaseTransitions in a Weakly Coupled s = 1/2 Quantum Spin Dimer SystemBa3 Cr2 O8 // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102. — P. 177204.[9] Aczel A. A., Kohama Y., Jaime M.
et al.; Bose-Einstein condensation oftriplons in Ba3 Cr2 O8 // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 79. — P. 100409.[10] Dodds T., Yang B.-J., Kim Y. B. Theory of magnetic-field-induced BoseEinstein condensation of triplons in Ba3 Cr2 O8 // Phys. Rev. B. — 2010. —Vol. 81. — P. 054412.[11] Nakajima T., Mitamura H., Ueda Y. Singlet Ground State and MagneticInteractions in New Spin Dimer System Ba3 Cr2 O8 // Journal of thePhysical Society of Japan. — 2006.
— Vol. 75, no. 5. — P. 054706.[12] Sizanov A. V., Syromyatnikov A. V. Bosonic representation of quantummagnets with large single-ion easy-plane anisotropy // Phys. Rev. B. —2011. — Vol. 84. — P. 054445.[13] Zheludev A., Roscilde T. Dirty-boson physics with magnetic insulators //C.
R. Physique. — 2013. — Vol. 14. — Pp. 740–756.[14] Evers F., Mirlin A. D. Anderson transitions // Rev. Mod. Phys. — 2008. —Vol. 80, no. 4. — Pp. 1355–1417.[15] Hewson A. C. The Kondo Problem to Heavy Fermions. — Cambridge:Cambridge University Press, 1997.[16] Fisher M. P., Weichman P. B., Grinstein G., Fisher D. S.; Bosonlocalization and the superfluid-insulator transition // Phys.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
