Диссертация (1149162), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для компонент спина SRиспользуется представление Голштейна-Примакова (4.5) со следующим соответствием между осями: x′ ↔ ζ, y ′ ↔ η и z ↔ ξ.Энергия основного состояния на одну ячейку имеет следующий вид приq ≪ 1:()q232Ecl = −JS 3 −− DS 2 (q · c) + S 2 F I,(4.68)22∑где I = ν qν2 (a2ν + b2ν ). Очевидно, что Ecl минимальна при q∥c, то есть,спины вращаются в плоскости, перпендикулярной q.
Направление q относительно решетки определяется последним слагаемым в выражении (4.68).Для F > 0, вектор q должен быть направлен вдоль ребра куба, для минимизации кубического инварианта I. При F < 0, вектор спирали ориентирован вдоль одной из пространственных диагоналей куба и I = 2q 2 /3.
Вобоих случаяхDq = c.(4.69)JОсновная роль АОВ - определение направления q, в остальных вычисле116ниях по причине его малости им можно пренебречь. Так как во многихB20-магнетиках, включая MnSi, F < 0, этот случай и вляется предметомпоследующего обсуждения. Всюду ниже c направлен вдоль одной из пространственных диагоналей куба.Бозонные аналоги спинового гамильтониана (4.61) не имеют членов, линейных по Бозе-операторам. Для билинейной части получается следующеевыражение:(2)Hex(2)Hdm∑[)(2qqν2ν+++ += JS(aR aR + aR+eν aR+eν ) 1 −+ (aR aR+eν + aR aR+eν )24R,ν()]qν2++− (aR aR+eν + aR aR+eν ) 1 −,(4.70)4∑[1+= DSq(a+R aR + aR+eν aR+eν )3R,ν]1+++ +(4.71)− (aR aR+eν + aR aR+eν + aR aR+eν + aR aR+eν ) ,2где ν = x, y, z и eν - базисные вектора кубической решетки.4.3.2.
Возмущение магнитного порядка дефектамиРассмотрим дефектную связь между, для определенности, узлами R0 =(0, 0, 0) и R1 = ez = (0, 0, 1). Такое возмущение в гамильтониане имеетследующий вид:V = Vdm + Vex = −udm (ez · [SR0 × SR1 ]) − uex SR0 · SR1 .117(4.72)Не учитывая слагаемые, содержащие более двух Бозе-операторов, для Vdmи Vex можно получитьVdmVex[]11+++ +++= Sudm q a0 a0 + a1 a1 − (a0 a1 + a0 a1 + a0 a1 + a1 a0 )32√Sudm S++ √(a0 + a+(4.73)0 − a1 − a1 ),23)([22qz++ + qz= Suex (a+a+a+(aa+a(4.74)a)1−a)0 10 01 10 124√)(]2qSz+++++ qz(a1 + a1 − a0 − a0 ) ,− (a0 a1 + a1 a0 ) 1 −42где индексы 0 и 1 обозначают R0 и R1 соответственно.
Для того, чтобы избавиться от линейных по Бозе-операторам членов в гамильтониане, можносделать такой же как и (4.12) сдвиг, который удобно записать в видеaR = bR + ρ̃R = bR + ρ′R + iρ′′R ,(4.75)где ρ′R и ρ′′R вещественны. Легко показать, что следующая система уравнений должна выполняться, для того чтобы в гамильтониане не было членовлинейных по операторам bR и b+R:)∑[ (qν2 ′2′J 2ρ̃R − ρ̃R−eν − ρ̃R+eν − qν ρ̃R + (ρR+eν + ρR−eν )2ν]1+ Dq(2ρ̃R − ρ′R+eν − ρ′R−eν )3√√S=(qz uex − udm / 3)(δR,R0 − δR,R1 )(4.76)2[]qz2 ′1′− uex (ρ̃R0 − ρ̃R1 + (ρR1 − ρ̃R0 )) + udm q(ρ̃R0 − ρR1 ) δR,R023[]qz2 ′1− uex (ρ̃R1 − ρ̃R0 + (ρR0 − ρ̃R1 )) + udm q(ρ̃R1 − ρ′R0 ) δR,R1 , ∀R.23Мнимые части уравнений (4.76) образуют линейную однородную систему уравнение для ρ′′R , которая дает ρ′′R = 0. Вещественные части уравнений (4.76) дают систему уравнений для ρ′R , которая имеет похожий на118систему уравнений (4.31) вид))∑( (qν21J 1−+ Dq (2ρ′R − ρ′R−eν − ρ′R+eν )23ν[√√S= (δR,R0 − δR,R1 )(qz uex − udm / 3)+2))( (]1qz2+ udm q (ρ′R0 − ρ′R1 ) ,+ uex 1 −∀R.23(4.77)Система уравнений (4.77) может быть решена как система (4.31) с похожимна (4.21) результатом:√′ρ (R) =SQ2 4π()11−.|R − R1 | |R − R0 |(4.78)Следовательно, ρ′R дается полем диполя с дипольным моментом, имеющимвид√d = ezQ =SQ,2 4π7α,7 + tβ(4.79)(4.80)√где t = 2 − ( 2 − 9/4)/π ≈ 2.27 иudm − quexα = √,3J(1 + q 2 /6)uex + udm q/3 − uex q 2 /6.β =J(4.81)(4.82)Перейдем к системам с конечной концентрацией c ≪ 1 таких дефектов.Логично предположить, что случайно распределенные дефектные связиориентированы произвольным образом вдоль трех кубических осей, какэто показано на Рис.
4.6(a). В этом случае возникает конечная поправка квектору спирали. В электростатических терминах возникает “поляризация√системы” P = cd/ 3c, направленная вдоль диагонали куба. Соответствен-119(b)(a)Рис. 4.6: Рассматриваемые в тексте дефекты в кубических магнетиках. (a)Дефектные связи (отмечены штриховыми линиями), которые могут бытьориентированы вдоль любого ребра куба с равной вероятностью.(b) Дефекты с шестью дефектными связями, которые могут описывать смешанныевещества типа Mn1−x Fex Ge при x ≪ 1 или x ≈ 1.но, поправка к спиральному вектору q имеет видQδq = c √ .3(4.83)Необходимо отметить значительное ослабление влияния дефектов на свойства системы при udm ≈ uex q, которое следует из выражений (4.80) и (4.81).Для проверки выражений (4.80)–(4.83), были произведены численныерасчеты для выбранных конкретных значений параметров в модели.
Минимизировалась классическая энергия кластеров, содержащих до 1003 узлов, были использованы открытые граничные условия. Применялся следующий алгоритм расчеты: начиная с пробной конфигурации, все магнитныемоменты выстраивались вдоль их текущих молекулярных полей. Такаяпроцедура проводилась множество раз (∼ 106 ÷ 107 ), после которых система стабилизировалась. Далее от финальной конфигурации бралось Фурьепреобразование (спины у границ кластера игнорировались), которое имеет пик при спиральном векторе q для текущей реализации беспорядка.Усреднением по 10 ÷ 20 реализациям беспорядка, был получен спиральныйвектор. Результаты этих вычислений показаны на Рис.
4.7. Видно отлич-120!!!"!&!"!%#$%&'()"*+#(',%+./*+0-)"*+#(',%+-!"!$!"!#!!"!%!"!#!"!'!"!(!"&"Рис. 4.7: Поправка δq к спиральному вектору как функция концентрациидефектов c для J = 1, D = 0.3, uex = −0.2 и udm = −0.6. Аналитическиерезультаты даются выражениями (4.80)–(4.83). Выбранный для численного анализа метод обсуждается в тексте.ное соответствие численных результатов с выражениями (4.80)–(4.83) приc < 0.03.Другой рассматриваемый тип дефектов в B20-магнетиках изображенна Рис. 4.6(b). Он выглядит более естественным для смешанных веществMn1−x Fex Ge, недавно исследованных экспериментально: можно ожидать,что замена одного магнитного атома на другой в элементарной ячейке зонного материала меняет взаимодействия этой элементарной ячейки со всемисоседними.
Система уравнений (4.76), описывающая искажение спирального порядка, вызванное одной дефектной связью, линейна. Следовательно,результат для этого типа дефектов является линейно комбинацией решений для шести дефектных связей, показанных на Рис. 4.6(b). Поэтому “поляризация” и поправка к спиральному вектору оказываются в шесть раз√больше, чем для одной дефектной связи: P = 2 3cdc и√δq = 2 3cQ.(4.84)4.3.3. Упругое рассеяние нейтроновДля модели с дефектными связями, изображенной на Рис.
4.6(a), главное отличие от слоистых магнетиков, описанных выше, заключается в том,что есть диполи с моментами направленными вдоль трех кубических осей.121Концентрация диполей, направленных вдоль каждой кубической оси, равна c/3. Учитывая этот факт, получается следующее выражение для сечения упругого рассеяния нейтронов (оно является модификацией выражения (4.47)):dσ∝dΩ(( )2 ()Qc2b1 + Qc(4.85)+N S3J0Bragg∑ ∑ 1 − cos (Qν + q ′ − τν ) 1 − cos (Qν − q ′ − τν ) νν×+,()4()4e + q′ − τ̃e − q′ − τ̃τ ν=x,y,zQQdσdΩ)где первый член дается формулой (4.44). Следовательно, в дополнение кбрэгговским пикам в B20-магнетиках возникают хвосты со степенным затуханием (см.
Рис. 4.4). В случае дефектов, изображенных на Рис. 4.6(b),последнее слагаемое в выражении (4.85) должно быть умножено на 6.4.3.4. Перенормировка спектра магнонов из-за рассеяния на дефектахХорошо известно [86, 87], что спектр магнонов в чистой системе, которыйследует из выражений (4.70) и (4.71), имеет вид(0)εk = SJqk,k ≪ D/J,(0)εkD/J ≪ k ≪ 1.2= SJk ,(4.86)В спектре также присутствует небольшая щель, которая может быть результатом магнон-магнонного и магнитоупругого взаимодействий [88]. Этащель важна для интерпретации некоторых экспериментальных данных, полученных в B20-магнетиках [87–89].Проводя вычисления, схожие с выполненными для слоистых спираль-122ных магнетиков, можно получить следующие поправки к спектру:δεk =∑ Scq (9νquex )(udm − quex )2udm −(2 − cos kν ) + cI1k (4.87)23JQ2(udm − quex )Q√I2k + cI3k ,J3Jk3 2 (quex )2 2 t= c S udm −q,εk218π+cγk(4.88)где ν = x, y, z и I1k , I2k и I3k - гладкие функции k со значениями порядкаединицы, имеющие следующий вид:I1kI2k∫S J1 − cos(k1z + k2z )=,dkdk1216 (2π)6εk − εk1 − εk2∫SJ ∑1 − cos (k1ν3 + k2ν3 )1=dkdk1212 ν ,ν ,ν (2π)6(εk − εk1 − εk2 )(k̃1 + k̃2 )4123×(1 + cos (k1ν1 + k2ν1 ) − cos k1ν1 − cos k2ν1 )I3k(4.89)(4.90)×(1 + cos (k1ν2 + k2ν2 ) − cos k1ν2 − cos k2ν2 ),∫1 + cos(k1ν1 + k2ν1 ) − cos k1ν1 − cos k2ν1SJ ∑ 1dk1 dk2=)2(66 ν ,ν (2π)(εk − εk1 − εk2 ) k̃1 + k̃21 2× sin2k1ν2 + k2ν2,2(4.91)где ν1,2,3 = x, y, z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
