Диссертация (1149162), страница 14
Текст из файла (страница 14)
уравнение (3.9). Они могутбыть легко получены, учитывая чтоTi+ (ε, h, α, l) = Ti− (ε, h, −α, −l).(3.29)Анализ, схожий с представленным выше (см. Рис. 3.3(b)), показывает, чтофизическое решение при h < h3 этоκT+ (ε, h, α, l) = T1+ (ε, h, α, l).(3.30)Однако, при h > h3 это решение претерпевает скачок к большим отрицательным значениям, тем самым нарушая самосогласованность. Математи82чески эта разница со случаем κ ′ < 0 происходит из того факта, что приκ ′ < 0 знак перед B в выражении (3.25) противоположный, и, таким образом, выражение под кубическим корнем в формуле (3.24) для Q можетменять знак. В явном виде, следующий множитель появляется в B приh ≈ h3 :h3 − h,((h3 − h)3 )1/3что дает скачки при h = h3 , если следовать одной определенной ветви(−1)1/3 для всех значений магнитного поля.Таким образом, существуют следующие возможности при рассмотрениирешений уравнений SCTMA для κ ′ > 0.
Исходя Рис. 3.4, система можетначать следовать другому решению при h = h3 (T2+ , а не T1+ ) и, по сравнению со случаем κ ′ < 0, ничего физически нового не произойдет. Или жесистема может следовать решению T1+ все время и, в частности, при переходе через точку h = h3 , в которой одновременно вещественная и мнимаячасти κ прыгают в ноль (см. Рис. 3.3(b) и 3.4). Это будет означать переход из фазы BG в некоторую другую. Численные расчеты для невзаимодействующих бозонов, представленные в следующем разделе, показывают,что реализуется первый сценарий.
Тем не менее, можно ожидать, что естьвозможность стабилизировать решение κ ′ > 0 включением определенного бозон-бозонного взаимодействия. Оно преобразует скачок в некоторуюкритическую кривую, как это показано на Рис. 3.4 черной толстой линией,разделяющей BG и SF фазы. Эта проблема требует отдельного дополнительного исследования.На Рис.
3.5 и 3.6 изображены вещественные и мнимые части обратнойкорреляционной длины в случаях κ ′ < 0 и κ ′ > 0, соответственно, какфункции магнитного поля, для разных значений силы примесей α. Видно,что в обоих случаях качественное поведение остается схожим, при изменении α от малых значений до бесконечности. С другой стороны, критическиезначения внешнего магнитного поля, при которых решения качественно меняют свое поведение, зависят от α.83+T+1TMI2SFBG0h3+T0,82+T1,01,211,4h/h0Рис. 3.4: Решения уравнения (3.9).
Толстая черная кривая иллюстрирует,что может произойти со скачками при учете взаимодействия между бозонами.0,01,5(a)(c)Re(ϰ )-0,52Re(ϰ)1,00,50,0-0,5-1,0-1,00,0(b)(d)2Im(ϰ )Im(ϰ)1,00,5-0,3-0,60,00,81,0h/h00,81,21,01,2h/h0Рис. 3.5: a) и b) Физические решения SCTMA κT− (h) для κ ′ < 0, ε = 0,l−1 = 0.3 и различных α. Сплошная черная, штрих-пунктирная и пунктирная синяя кривые отвечают α = 0.2, α = 1 и α → ∞, соответственно. c),d) То же самое для (κT− (h))2 .841,0(a)h3(c)1,02Re(ϰ )0,5Re(ϰ)1,50,0-0,50,50,0-0,5-1,0-1,00,00,0(d)2Im(ϰ )Im(ϰ)(b)-0,5h3-0,3-0,6-1,01,01,2h/h01,41,01,21,4h/h0Рис.
3.6: То же, что и на Рис. 3.5, но для κT+ .3.3. Щель и плотность состоянийДанный раздел посвящен нескольким проблемам. Первая - изучение решений SCTMA для обобщенной комплексной обратной корреляционной длины κ(ε, h), полученной в предыдущей секции, для определения ее физического смысла, особенно в области полей, в которой “щель отрицательна”. Вторая - получение аналитических результатов, в рамках SCTMA, дляплотности одночастичных состояний бозонов в системе с дефектами. Третья - аналитическое вычисление точной плотности состояний в унитарномпределе. Наконец, для проверки аналитических приближений, приводятся численные результаты для плотности состояний невзаимодействующихбозонов.3.3.1.
“Отрицательная щель”Аналитические выражения SCTMA для κ(ε, h), полученные выше, показывают следующую общую структуру, единую для унитарного предела ислучая конечных α. При малых полях h < h1 фаза MI характеризуетсяконечной вещественной положительной щелью в спектре κ 2 . Далее, при85h = h1 (α) обратная корреляционная длина становится комплексной, чтоозначает появление фазы BG, в то время как вещественная часть κ 2 всееще положительна, но убывает. Наконец, при больших полях κ 2 меняетсвой знак на отрицательный. Логично задать вопрос: имеет ли описаниеметодом SCTMA в этом интервале полей какой-то смысл?Ответ на последний вопрос положительный и основывается на следующей качественной картине переходов в разупорядоченных бозонных цепочках с бинарным беспорядком, уже упомянутой во введении.
В самом деле,этот тип беспорядка приводит к случайно распределенным по системе потенциальным барьерам одинаковой высоты, таким обозом расщепляет ее нанабор чистых кусков конечного размера. Из-за своей конечности, они испытывают одномерный конечно-размерный аналог Бозе-конденсации приразличных значениях внешнего магнитного поля: чем длиннее конкретныйкусок цепочки, тем меньшее поле требуется, чтобы перевести его в SF фазу.Таким образом, фаза BG может рассматриваться как смесь уже сконденсированных в поле длинных кусков и коротких кусков, все еще остающихсяв фазе со щелью. Получение усредненной по беспорядку двухкомпонентой одночастичной функции Грина в фазе BG является довольно сложнойзадачей.
Единственное, что про нее известно из общих соображений, чтоона должна быть бесщелевой. Тем не менее, можно рассматривать это смешанное состояние со стороны MI заметив, что условие Re(E(k)) > 0 приотрицательных значениях щели дает определенное ограничение на импульсы (а, следовательно, и на длины), которые могут быть проанализированыв данном приближении.
Эту предельную длину Lmax (h) следует интерпретировать как максимальный размер куска, который еще остается в изолирующей фазе при данном магнитном поле. Математически эта величинаопределяется следующим выражением:()−1/2Lmax (h, α, l) = π −κ 2 ′ (h, α, l).(3.31)Эта формула проиллюстрирована на Рис.
3.7 при различных значенияхпараметра α.Здесь следует отметить две проблемы. Во-первых, в зависимости Lmax8615Lmax/l10501,01,11,2h/h0Рис. 3.7: Lmax (h) для различных сил дефектов α и l−1 = 0.3. Сплошная черная, штриховая красная и штрих-пунктирная синяя кривые соответствуютα = 5, α = 1 и α = 0.2.от поля на Рис. 3.7 видна щель при низких полях, это выглядит так, какбудто в этом интервале нет сконденсированных частей. Ниже обсуждается,что это характерно для SCTMA, которое является слишком грубым приближением, чтобы воспроизвести экспоненциальные хвосты в окрестностинастоящего значения h = h0 критического магнитного поля для переходаMI↔BG.Вторая проблема заключается в возможности перехода BG↔SF. Какуже отмечалось выше, даже если все части цепочки уже локально сконденсировались, это не обязательно приводит к установлению глобальнойсверхтекучей когерентности во всей цепочке.
Эта когерентность определенно никогда не наступит в унитарном пределе, где бесконечные барьерыпримесного потенциала не позволяют передавать информацию между различными кусками цепочки при любом магнитном поле.87pure systemunitary limita=0.2a=0.2a=1a=10,4DOS0,30,20,10,00,00,51,01,5eРис. 3.8: Плотность состояний при h = h0 и l−1 = 0.3.3.3.2. Вычисление плотности состоянийПлотность состояний, получаемая методом SCTMA дается выражением (3.12). Так как все величины, входящие в это выражение известны,можно построить зависимость плотности состояний от энергии, котораяпредставлена на Рис. 3.8 для некоторых значений α.В то же время, существует более прямой и точный метод вычисленияплотности состояний в унитарном пределе. Напомним, что в этом случаесистема разбита на много частей, изолированных друг от друга. Энергетические уровни в данной цепочке длины L в безразмерных единицах определяются формулойεm (L) = κ02 + 2 − 2 cosπm.L+1(3.32)Далее, в цепочке длины N вероятность найти чистый кусок длины L можетбыть записана следующим образом:p(L) = c2 (1 − c)L = c2 e−βL ,β = − log (1 − c),(3.33)где c = l−1 - концентрация дефектов.
Число таких кусков в зависимости88от длины дается выражением:n(L) = N p(L) = c2 N e−βL .(3.34)Плотность состояний определяется выражением1 δM (ε, δε)1 ∑n(L)δLρ(ε) ==.NδεN m (∂εm (L)/∂L)δl(3.35)Здесь M (ε, δε) - число состояний в интервале энергий [ε, ε + δε]. В случае,если интересны только состояния вблизи дна зоны, только первые несколько гармоник влияют на ρ(ε), а вклады остальных экспоненциально малы.Таким образом, можно заменить верхний предел суммирования по m набесконечность. Вводя функцию L(ε, m) из выражения (3.32)L(ε, m) =πm− 1,arccos [(κ02 − ε)/2 + 1]имеем2ρ(ε) = c∞∑∂L(ε, m)m=1∂εe−βL(ε,m) .(3.36)(3.37)В явном виде:πc2√ρ(ϵ) =2 arccos2 (x) 1 − x2 (1 − c)][∞∑πm×,m exp −βarccos(x)m=1x =κ02 − ε+ 1.2(3.38)(3.39)Произведя суммирование в выражении (3.38), плотность состояний можнопереписать в следующем виде:πc2[ρ(ϵ) =8(1 − c) sinh2βπ2 arccos(x)]1arccos2 (x).√21−x(3.40)Другая полезная формула - асимптотика выражения (3.40) вблизи дна зо891,000,75n0,500,250,001,0h21,11,2h/h0Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
