Диссертация (1149162), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Другая особенность рассматриваемой задачи - отрицательный знак зеемановского слагаемого, делающий магнитное поле Hуправляющим параметром для ожидаемого сверхтекучего перехода.3.2. Самосогласованный метод Т-матрицыВ этом разделе представлен формализм SCTMA и его применение для исследования (возможных) фазовых переходов из MI в BG фазу, а также изBG в SF фазу, в бозонной модели с беспорядком, описываемой гамильтонианом (3.2). В данном исследовании полностью пренебрегается эффектомотталкивания квазичастиц в этих переходах, то есть предполагается, чтоконстанта взаимодействия - наименьший энергетический масштаб в задаче.С другой стороны, даже относительно сильное (но все еще более слабое,чем беспорядок) взаимодействие может сохранить эту картину в случаебинарного беспорядка, при этом взаимодействие будет просто сдвигать отдельные переходы для каждой “чистой” части разупорядоченной бозоннойцепочки.
Такой сценарий можно противопоставить картине Фишера [16] сравномерно распределенным беспорядком, где MI фаза может полностьюисчезнуть при достаточно слабом взаимодействии.Ниже будет использоваться стандартное приближение Т-матрицы, часто используемое для аналитического описания квазичастиц в системах спроизвольным беспорядком (см., например, ссылки [41, 42, 44, 46, 47, 49]).763.2.1.
Формализм. Общие формулы.Введем одночастичную бозонную функцию Грина в присутствии беспорядка()−1R(A)R(A)G(k, E, H) = E± − E(k) − Σ(E± ),(3.3)где E± = E ± i0, знаки "±"относятся к запаздывающей (опережающей)функции Грина, E(k) = ∆ − gµH + J k 2 - спектр квазичастиц, и ΣR(A) собственно-энергетические части квазичастиц от взаимодействия с беспорядком. Удобно использовать функцию Грина (3.3) в безразмерных единицах()g −1 (k, ε, h) = J −1 G(k, E, H) = − k 2 + κ 2 ,(3.4)гдеκ 2 (ε, h) = κ02 − ε + σ(ε, h),(3.5)и ε = E /J, κ02 = h0 − h, h0 = ∆ /J - критическое поле чистой системы,h = gµH /J, и σ = Σ /J.
Так как квадрат обратной корреляционной длиныκ 2 (h) = κ 2 (0, h) вещественный и положительный (слабые поля), возбуждения обладают щелью в спектре, и система находится в фазе MI. Безразмерная собственно-энергетическая часть σ(ε, h) определяется следующимвыражением SCTMA:σ(ε, h) =где∫g0 (ε, h) = 22 α l−1,1 − α g0 (ε, h)dksgnκ ′g (k, ε, h) = − ′.2πκ + iκ ′′(3.6)(3.7)Здесь обратной корреляционной длине разрешается быть комплексной,κ = κ ′ + iκ ′′ , l−1 = c - одномерная концентрация дефектов, и α = u/ 2J- безразмерная сила дефектов. Правая часть выражения (3.7) примениматолько в одномерном случае.По причине неаналитического характера выражения (3.7) обратная корреляционная длина κ удовлетворяет разным уравнениям SCTMA, в зави-77мости от знака κ ′ :κT2−−κ022 α l−1 κT−,+ε=−α − κT−иκT2+−κ022 α l−1 κT++ε=,α + κT+при κ ′ < 0,при κ ′ > 0.(3.8)(3.9)Унитарный предел, соответствующий бесконечной силе примесей α → ∞,представляет особый интерес.
Выражения (3.8) и (3.9) существенно упрощаются в этом случае:κU2 ∓ − κ02 + ε = ∓2 l−1 κU∓ .(3.10)Здесь "−"и "+"отвечают случаям κ ′ < 0 и κ ′ > 0, соответственно.Также удобно ввести функцию Грина в координатном представлении:∫dk i k xg(x, ε, h) =e g (k, ε, h) = − exp [− f (x, ε, h)],2πf (x, ε, h) = x |κ ′ | + i x κ ′′ sgnκ ′ + ln κ sgnκ ′ − 2 ln 2(3.11)Это выражение связано простым соотношением с одночастичной плотностью состояний (DOS), которая определяется формулойIm g (x = 0, ε, h)κ ′′ (ε, h) sgnκ ′ (ε, h)ρ (ε, h) = −=−.π4π | κ(ε, h) |2(3.12)3.2.2.
Решения уравненийВ данном разделе приведены решения уравнений, выписанных выше. Удобно начинать с простейших и предельных случаев.Для чистой бозонной системы без дефектов получается:κC2 (ε, h) = κ02 − ε = h0 − h − ε,(3.13)√κC (0, h) = ± h0 − h,(3.14)781,51,0(b)(a)1,0)-0,50,50,0-0,5-1,0-1,51,2+0,0Re(U-Re(U 1,2)0,5-1,00,81,01,20,81,01,2h/h0h/h0∓приРис. 3.2: Зависимость решений унитарного предела от поля ReU1,2l−1 = 0.3. (a) U1− и U2− , определяемые выражением (3.17) показаны штриховой и сплошной линией, соответственно. (b) U1+ и U2+ , определяемые выражением (3.20) показаны сплошной и штриховой линией, соответственно.Формула (3.14) определяет обратную корреляционную длину при h < h0 .Она исчезает в критической точке фазового перехода MI↔SF, соответствующая критическая экспонента Ландау ν = 1/2.Второй случай включает несамосогласованные вычисления.
Соответствующие уравнения могут быть легко получены из формул (3.8), (3.9) и(3.10), при замене κ на κ0 в правой части этих уравнений. В унитарномпределе при h < h0 получается√κu = ± κ0 (κ0 + 2l−1 ).(3.15)При произвольной силе примесей α и h < h0 имеем следующее уравнение√κt = ±κ0(κ 2 + ακ0 + 2αl−1 ).α + κ0 0(3.16)Таким образом, критическая точка остается такой же (h = h0 ), в то времякак критическая экспонента ν меняет свое значение с 1/2 на 1/4.Самосогласованные вычисления удобно начинать с унитарного предела.При κ ′ < 0 решения уравнения (3.10) определяются следующим выражением:√−−1U1,2 = −l ± κ02 + l−2 .(3.17)Очевидно, что единственное решение с отрицательной вещественной ча79стью - это U2− .
При введении нового критического поля h1 = h0 + l−2 ,физическое решение записывается в виде−1√− h1 − h,(3.18)−1√+ i h − h1 .(3.19)κU − = −lпри h < h1 и какκU − = −lпри h > h1 . Можно заметить, что общий знак κ ′ не важен, так как онавходит в физические величины только в квадрате.
Но это не так для κ ′′ . Вчастности, нужно брать ветвь квадратного корня в выражении (3.19) исходя из требования, что плотность состояний должна быть положительна.В предположении κ ′ > 0, получается+U1,2=l−1±√κ02 + l−2 ,(3.20)Похожим на случай с κ ′ < 0 образом, необходимо выбрать одно из решений,в данном случае это U1+ . Получаем:κU+ = l−1 +при h < h1 и√h1 − h,(3.21)√κU+ = l−1 − i h − h1 .(3.22)при h > h1 .Решения уравнений (3.18)–(3.19) и уравнений (3.21)–(3.22) отличаютсятолько общим знаком, следовательно они физически эквивалентны. Графики вещественных частей обоих этих решений приведены на Рис. 3.2.Когда h достигает своего критического значения h1 , вещественная частьобратной корреляционной длины κU± остается конечной, в то же времяначинает проявлять себя мнимая часть.
Легко проверить, что это однозначно определяет конечную плотность состояний при нулевой энергии (см.следующий раздел). Последнее явление обычно связывают с переходом всостояние BG [16]. Также необходимо отметить, что при h2 = h1 + l−2вещественная часть κ 2 меняет свой знак, что отражает тот факт, что неко80торая часть кусков цепочки уже находится в сверхтекучем состоянии. Придальнейшем увеличении магнитного поля корреляционная длина остаетсяпостоянной. Это означает отсутствие перехода BG↔SF в унитарном пределе. Физически это очевидное следствие бесконечных дефектных барьеров,разделяющих различные куски сверхтекучей фазы, не дающие наступитьтаким образом полной когерентности во всей цепочке.Перейдем к случаю произвольной силы примесей α.
В этом случае, естьдва различных уравнения SCTMA (3.8) и (3.9). Они могут быть преобразованы в кубические уравнения для κT∓ и решены аналитически. Сначала,−рассмотрим три решения T1,2,3уравнения (3.8):)1(α + c0 A Q−1 + c0 Q ,3)1(T2− =α + c1 A Q−1 + c2 Q ,3)1(T3− =α + c2 A Q−1 + c1 Q ,3√= −(1 ± i 3)/2, иT1− =где c0 = 1,c1,2(3.23)A = 3 (h3 − h − ε),h3 = h0 + α2 /3 + 2 α l−1 ,(√)1/323Q =B −A +B,( 2)B = α α + 9 (α l−1 + h − h0 + ε) .(3.24)(3.25)Вещественные части всех этих решений показаны на Рис.3.3(a). Единственное решение, отрицательное при полях меньше критического - это T2− .Более того, легко проверить, что только решение T2− стремится к унитарному κU − при увеличении силы примесей α. Следовательно, нужно рассматривать решение T2− как физическое:κT− (ε, h, α, l) = T2− (ε, h, α, l).(3.26)Для случая κ ′ < 0 реализуется следующий сценарий.
При критическомполе h1 (α) система переходит из MI в BG фазу, h0 < h1 (α) < h1 . Более того,812-1(a)T1(b)+T1h310-T30-10,8+T-1-T23+T1,0h/h01,221,00h/h01,25±при α = 1 иРис. 3.3: Зависимость от поля решений SCTMA ReT1,2,3−+−1l = 0.3.(a) T1,2,3 дается выражениями (3.23). (b) T1,2,3 дается выражениями (3.29).корреляционная длина остается конечной при больших полях h > h1 (α),также как и в унитарном пределе, показывая отсутствие перехода BG↔SF.С другой стороны, конечная плотность состояний при нулевой энергии появляется при h = h1 (α), что означает переход MI↔BG. В целом, картиназависимости обратной корреляционной длины от магнитного поля остаетсякачественно такой же для всех значений силы дефектов α. Напомним, чтоh1 (α → 0) = h0 ,(3.27)h1 (α → ∞) = h1 .(3.28)Эта картина выглядит несколько иначе, при рассмотрении решений Ti+(i = 1, 2, 3) уравнения SCTMA при κ ′ > 0, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
