Диссертация (1149162), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.4(c) и 2.4(d)). Несмотря на то,что такое поведение отличается от обычных распространяющихся возбуждений (1/Ld ), длина локализации ξ ∝ Lα бесконечна в термодинамическомпределе для рассматриваемых 2D систем.Влияние дефектов на плотность состояний описывается формулами (2.24) и (2.25), которые в 2D системах сложно исследовать аналитически. Как и в 1D системах, уравнение (2.25) имеет решение, лежащее запределами зоны, для любого конечного u. Таким образом изолированныйпримесный уровень появляется выше или ниже зоны для положительныхи отрицательных u соответственно. Наибольшие поправки к плотности состояний внутри зоны возникают у дна, по центру и у верха зоны, по причине сингулярных производных в числителе второго слагаемого в формуле (2.24).
Из-за этих больших поправок приближение T -матрицы не работает в этих областях. Этот результат проиллюстрирован на Рис. 2.7. Онпоказывает, в частности, что, в отличии от одномерных систем, аномалий впоправках к спектру и плотности состояний, связанных с процессами многократного рассеяния на дефектах, не наблюдается (можно сравнить его сРис.
2.3(b)). Численный анализ волновых функций показывает, что состояний вокруг аномалии по центру зоны остаются распространяющимися.Добавляя в рассмотрение также беспорядок Jij и производя вычисле61!"#$%&'()*(#(*!+%,!-%'.!"#$%&'()*+,+-./.!"#$%&'()*+,+-./.!"#$%&!"#$%&'()(*+,-./.!"#$%&'()(*+*,-.-!"#$%&'()*+(*,-.-!"#$%&'()*++,-./.!"#$%&'()(*+,-./.!"#$%&'()**+,-./.1.00.50.0Рис. 2.6: (a) Пространственное распределение дефектов с c = 0.1, u = 3a|J|и u1 = 0 в 2D системе размера 120×120 элементарных ячеек. (b)-(j) Численно полученные графики амплитуд волновых функций для гамильтонианасистемы с беспорядком, которые соответствуют показанным собственнымзначениям E.
Графики (b)-(e) показывают волновые функции для энергийвблизи дна зоны, (f)-(h) - вблизи потолка, (i) и (j) - примесную зону, соответствующую локализованным уровням в первом порядке по c (также см.Рис. 2.7, где показана плотность состояний полученная для тех же параметров). Все состояния в примесной зоне локализованы. ∆ - значение щелидля конкретной реализации беспорядка.62129!"#$%&'()'#%*%!#'+,-*./.0128=>12,?'@-*./.>4'"@A!B$=*C'B!#@C%')(B'D>,11'EFA*%B$G'H@B!'#&#%!A12712612512412312,1<3<,1,:;-*./.345Рис.
2.7: Плотность состояний 2D систем с беспорядком только в J илиD, где δE = E − ∆ − 2a|J|, c = 0.1, u = 3a|J| и u1 = 0 (здесь, в отличииот графика для 1D систем, Рис. 2.3, аномалий нет). Численные результатыполучены для размера системы 100 × 100 элементарных ячеек.ния, аналогичные представленным в Приложении А для 1D систем, получаются поправки к спектру квазичастиц и их затухание, которые оказываются очень громоздкими для произвольных k. Однако, они оказываютсянесложными модификациями выражений (2.42) в окрестности минимумаспектра (κ = |k − k0 | ≪ 1):a|J| 2κ(2.45)2())(J′′′′πa|J|u πa|J| − u ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 u,+ c())2(π 2 ′2J′′′+ 4uπa|J| − u ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 uEk = ∆ +γkπ2a|J|u′2= c (())22J′′′πa|J| − u ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 u+63,π 2 ′24uгде u′ = u − 4au1 J/|J| − b22 au21 /|J|, u′′ = au21 /|J|,b22 = (5C20 − 2C211 − C22 − 8C21 )/π = 1.44,b23 = C20 − C21 = 1.57,(2.46)22b24 = C20 b22 − (C20− 2C211 C20 − C22 C20 − 4C21)/π = 4.79,где C21 , C22 , C211 - зависящие от модели коэффициенты (как и (2.41)),C21C22C211()∫ 2d k cos kx1= πa|J| lim −+ ln k1 ,k1 →k0(2π)2 Ω εk − εk1)(∫ 2d k cos 2kx1= −πa|J| lim+ ln k1 ,k1 →k0 (2π)2 Ω εk − εk1)(∫ 2d k cos kx cos ky1+ ln k1 .= −πa|J| limk1 →k0 (2π)2 Ωε k − ε k1(2.47)Вблизи верха зоны получаются следующие выражения, которые похожи навыражения (2.43):a|J| 2Ek = ∆ + 4a|J| −κ(2.48)2(())J′′′′πa|J|u πa|J| + u ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 u+ c(,())22πJ+ 4 u′2πa|J| + u′ ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 u′′γk = cπ2(2a|J|u′2())2J′′′πa|J| + u ln(κ/b21 ) + b23 a |J| u1 + b24 u+,π 2 ′24uгде в данном случае u′ = u + 4au1 J/|J| + b22 au21 /|J| и u′′ = au21 /|J|.Слабая зависимость поправок к спектру от импульса остается и в случаедвух типов беспорядка.
Их выражений (2.45) и (2.48) видно, что, такжекак и в 1D системах, взаимное ослабление вкладов от двух сортов беспорядка проявляется при u|J| ≈ 4au1 J + b22 au21 около дна зоны и приu|J| ≈ −4au1 J − b22 au21 у верха.Анализ плотности состояний показывает, что, также как и в 1D системах, беспорядок в Jij приводит (при u = 0)к одному примесному уровнювыше и одном уровню ниже зоны только если u1 лежит за пределами интер64Рис. 2.8: Трехмерная димерная система со спином 21 с дефектными обменами.
Обозначения такие же как и на Рис. 2.1(a) и 2.5.вала −2 < u1 /J < 0, а при u1 лежащем в этом интервале изолированныхпримесных уровней нет.Схожим с 1D системами образом оказывается, что результаты (2.42)–(2.44) и (2.45), (2.48) могут быть получены, исходя из общей формы спектра(2.2) вблизи минимума или максимума, так как в основном малые κp вносятвклад в функцию Грина Gmn при малых κ. Зависящими от модели величинами в этих выражениях, определяющиеся конкретным спектром приκp ∼ 1, являются константы b.
Все они имеют значения порядка единицы.2.4.3. Трехмерные системыРассматриваемая 3D димерная система со спином 21 показана на Рис. 2.8.Для кубической решетки со взаимодействием между ближайшими спинамиспектр имеет видεk = ∆ + 3a|J| + aJ(cos kx + cos ky + cos kz ),65(2.49)где ∆ = 1 − 3a|J| при H = 0. Функция Грина (2.19) может быть представлены в следующем виде:1G00 (E) =π∫π(2D)dzG00 (E − a|J| − aJ cos z),(2.50)0(2D)где G00 - функция Грина (2.38) 2D системы. Выражение (2.50) имеетследующий вид при E = εk вблизи минимума спектра (κ = |k − k0 | ≪ 1):G00 (εk ) ≈ −κ1+i,b31 a|J|2πa|J|(2.51)где b31 = 1/C30 = 2, C30 - зависящий от модели коэффициент,C30a|J|=(2π)3∫d3 k.εk − εk0(2.52)Используя выражения (2.20), (2.21) и (2.51), для беспорядка только в Jили D, получается следующий спектр в окрестности его минимумаb31 a|J|ua|J| 2κ +c,Ek = ∆ +2u + b31 a|J|1 b231 a|J|u2γk = cκ.π (u + b31 a|J|)2(2.53)Из формул (2.53) видно, что энергия квазичастиц получает малую поправку, а затухание γk ∼ cκ если |u + b31 a|J|| ≫ |u|κ.
Однако, затухание сильновозрастает, γk ∼ c/κ, в случае когда |u + b31 a|J|| ≪ |u|, что означает наличие резонансного рассеяния дефектами в первом порядке по c.В окрестности максимума спектра получаются следующие результаты:|J|b31 a|J|uEk = ∆ + 6a|J| − a κ2 − c,2u − b31 a|J|1 b231 a|J|u2γk = cκ. (2.54)π (u − b31 a|J|)2Резонансное рассеяние проявляется, когда |u − b31 a|J|| ≪ |u|.
Если условия |u ± b31 a|J|| ≪ |u| не выполняются, то область применимости выражений (2.53) и (2.54) определяется неравенством κ ≫ c.Схожим образом с 2D системами, выражения (2.51)–(2.54) применимы ив других моделях со щелью в спектре, спектр которых отличается от (2.49),66Density of states (1/a|J|)0,30,20,10,0-3-2-101234E/a|J|Рис. 2.9: Плотность состояний 3D систем, где δE = E − ∆ − 3a|J|, c = 0.1,u = 3a|J| и u1 = 0. Сплошная и штриховая линия соответствуют чистойсистеме и системе с дефектами, соответственно.но зависит квадратично от импульса вблизи своего минимума и максимума.В этих моделях значение зависящей от модели константы b31 будет порядкаединицы.Влияние дефектов на плотность состояний проиллюстрировано наРис. 2.9.
При |u| < 2a|J| у уравнения (2.25) нет решений, и за пределами зоны нет изолированных уровней. Для достаточно больших |u| > 2a|J|в системе есть локализованный примесный уровень, выше или ниже зоныдля u > 0 и u < 0 соответственно. Большие поправки к плотности состояний внутри зоны появляются около ее верха и дна, также как и приE = ∆ + 3a|J| ± a|J| (см.
Рис. 2.9). Их причина - производные в числителевторого слагаемого в (2.24). Результаты, полученные в первом порядке поc, неприменимы вблизи этих аномалий.При учете беспорядка в Jij , получается следующий спектр у дна зоны67(являющийся небольшим усложнением формул (2.53))a|J| 2u′2′Ek = ∆ +κ + cu a|J|, γk = cκ a|J|,22π2u − 6au1 J/|J| − b32 au1 /|J|где u′ = b31,u + b31 a|J| − b33 au1 J/|J| − b34 au21 /|J|(2.55)b32 = (21C30 + 3C32 + 12C311 − 36C31 )/2 = 3,(2.56)b33 = 6C31 /C30 = 2,22b34 = 3(C30+ 4C311 C30 + C30 C32 − 6C31) = 1,где C31 , C32 , C311 - также как и (2.52) зависящие от модели коэффициенты,C31C32C311∫ 3a|J|d k cos kx=,(2π)3εk0 − εk∫ 3d k cos 2kxa|J|,=(2π)3εk − εk0∫ 3a|J|d k cos kx cos ky=.(2π)3εk − εk0(2.57)Около максимума спектра получается (усложнение формул (2.54))a|J| 2u′2′Ek = ∆ + 6a|J| −κ − cu a|J|, γk = cκ a|J|,22π2u + 6au1 J/|J| + b32 au1 /|J|.где u′ = b31u − b31 a|J| + b33 au1 J/|J| + b34 au21 /|J|(2.58)Также как и в низших размерностях, рассмотренных выше, поправки отдвух типов беспорядка могут компенсировать друг друга.
В 3D системахвсе поправки исчезают при u|J| = 6au1 J + 3au21 и u|J| = −6au1 J − 3au21 вокрестности минимума и максимума спектра соответственно.Для беспорядка только в Jij , анализ плотности состояний показывает, что также как и в 1D и 2D системах один примесный уровень надзоной и один под появляется, когда u1 лежит за пределами интервала−2.75 < u1 /J < 0.75. Этот интервал шире, чем в низших размерностях. Вслучае, когда u1 лежит внутри него изолированных примесных уровней не68возникает.2.5.
Выводы ко второй главеВ данной главе была разработана теория, основанная на приближении T матрицы, описывающая фазы со щелью одномерных, двумерных и трехмерных спиновых систем с разупорядоченными обменами и слабовзаимодействующими бозонными элементарными возбуждениями. В качествепримеров были рассмотрены парамагнитные фазы при небольших магнитных полях и полностью поляризованные фазы при больших полях в димеризованных системах со спином 12 и системы с целым спином и большойодноионной анизотропией типа легкая плоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
