Диссертация (1149156), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Âíå ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ êîíòóð ëèíèè ðåçîíàíñà è øèðèíà íà÷èíàþò çàâèñåòü îòäåòàëåé ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ.1.1Ìåòîä êîíòóðà ëèíèè äëÿ îäíîýëåêòðîííûõ ñèñòåì ìåòîäå êîíòóðà ëèíèè èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíàÿ ÊÝÄ òåîðèÿ äëÿ Sìàòðèöû [3]. Ïðèìåíÿåòñÿ êàðòèíà Ôàððè [9]. Óðàâíåíèå Äèðàêà äëÿ ýëåêòðîíà â àòîìå èìååò âèä(bp − γ0 V nuc − me )ψ = 0(1.1)Çäåñü pµ - êîìïîíåíòû 4-âåêòîðà èìïóëüñà, γ µ = (γ 0 , γ), γ 0 = β ,γ = βα ìàòðèöû Äèðàêà:αi = 0 σi ,β = σi 0I00 −Iãäå σi - ìàòðèöû Ïàóëè, I - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà:I=1 00 1 , σ1 = 0 1 , σ2 = 1 00 −ii0,(1.2) , σ3 = 100 −1 , (1.3)me -ìàññà ýëåêòðîíà, V nuc - êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë ÿäðà.
 äèññðåòàöèè áóäóò èñïîëüçîâàíû ðåëÿòèâèñòñêèå åäèíèöû ~ = c = m = 1 âåçäå, ãäå ýòî íåáóäåò îãîâîðåíî äîïîëíèòåëüíî.  äèññåðòàöèè èñïîëüçóåòñÿ ïñåâäîýâêëèäîâà ìåòðèêà ñ ìåòðè÷åñêèì èåíçîðîì gµν = (1, −1, −1, −1).Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé - ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ôîòîíàíà îäíîýëåêòðîííîì èîíå, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ äèàãðàììîé Ôåéíìàíà íà12a0k', λ'k, λna0Ðèñ. 1.1: Äèàãðàììà Ôåéíìàíà, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà ýëåêòðîíå â êàðòèíå Ôàððè. Âîëíèñòûå ëèíèè ñî ñòðåëêîé ñîîòâåòâóþò èçëó÷åíèþ è ïîãëîùåíèþ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè k, k' è ïîëÿðèçàöèÿìè λ, λ'.
Äâîéíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòâóåòýëåêòðîíó â àòîìå, a0 ñîîòâåòâóåò îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ.Ðèñ. 1.1. Ñîãëàñíî ñòàíäàðòíûì ïðàâèëàì Ôåéíìàíà [3], ìàòðè÷íûé ýëåìåíòS-ìàòðèöû áóäåò çàïèñûâàòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì∫Sa202= (−ie)d4 xu d4 xd ψ a0 (xu )γ µu S(xu , xd )γ µd ψa0 (xd )′(1.4)′,λ )A∗(k(xu )A(k,λ)µuµd (xu )ãäå x = (r, t) îïèñûâàåò êîîðäèíàòó â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå,ψa0 (x) = ψa0 (r)e−iεa0 t - îäíîýëåêòðîííàÿ äèðàêîâñêàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ.(k,λ)ψ = ψ + β - äèðàêîâñêîå ñîïðÿæåíèå, Aµ(k,λ)(x) = Aµ(r)e−iωt - 4-õ âåêòîð ïî-òåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ôîòîííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ), k, λ - âîëíîâîé âåêòîð è ïîëÿðèçàöèÿ.
×àñòîòû èñïóùåííîãî è ïîãëîùåííîãî ôîòîíàω = |k|, ω ′ = |k′ |.Ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð èìååò ñëåäóþùèé âèä [3]:iS(x1 , x2 ) =2π∫∞−∞−iωn (t1 −t2 )dωn e∑ ψn (r1 )ψ (r)n,ω−ε(1−i0)nnn(1.5)ãäå ñóììèðîâàíèå ïî n îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî ïîëíîìó ñïåêòðó óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà è13âîëíîâûõ ôóíêöèé â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò S-ìàòðèöû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:∫Sa20′eitu (εa0 +ω ) e−iωn (tu −td ) ×2= (−ie)′′,λ )dtu d3 ru dtd d3 rd dωn ψ a0 (ru )γ µu A∗(k(ru(1.6))µui ∑ ψn (rn )ψ n (rn ) −itd (εa +ω) µd (k,λ)0eγ Aµd (rd )ψa0 (rd )2π n ωn − εn (1 − i0)Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè è ÷àñòîòå (tu , td , ωn ) ïîëó÷èì∫Sa20 = (−ie)2 (2π)2′′,λ )d3 ru d3 rd dωn ψ a0 (ru )γ µu A∗(k(ru )δ(ωn − ω ′ − εa0 )µui ∑ ψn (ru )ψ n (rd )δ(ω + εa0 − ωn )γ µd A(k,λ)µd (rd )ψa0 (rd )2π n ωn − εn (1 − i0)∑ (eA∗(k′ ,λ′ ) )a n (eA(k,λ) )na00′= (−2πi)δ(ω − ω )(1.7)ω+ε−εan0nÇäåñü ââåäåíî ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå∫(F )ab =d3 rψ a (r)γ µ Fbµ (r)ψb (r)(1.8)Àìïëèòóäà ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ ôîòîíà ñâÿçàíà ñ S-ìàòðèöåé ñëåäóþùèìîáðàçîì [3]S = −2πiδ(ω − ω ′ )U(1.9)Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòîòå ωn è èñïîëüçóÿ óñëîâèå ω = ω ′ çàïèøåòñÿ âñëåäóþùåé ôîðìåUsc,(2)∑ (U ∗ )a n (Uω )naω 00=ω + εa0 − εnn(1.10)Çäåñü áûëî èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå(Uω )ab ≡ (eA(k,λ) )ab .(1.11)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòîòà ôîòîíà ω áëèçêà ê ÷àñòîòåðåçîíàíñà ω ≈ εa − εa0 .
 ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè ìû äîëæíû îñòàâèòü14a0k', λ'k, λa0Ðèñ. 1.2: Äèàãðàììà Ôåéíìàíà, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà ýëåêòðîíå â êàðòèíå Ôàððè ñî âñòàâêîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ ëèíèþ. Çàìêíóòàÿ âîëíèñòàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòâóåò ôîòîííîìó ïðîïàãàòîðó, âîëíèñòûå ëèíèè ñî ñòðåëêîéñîîòâåòâóþò èçëó÷åíèþ è ïîãëîùåíèþ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè k, k' è ïîëÿðèçàöèÿìè λ, λ'.Âíóòðåííÿÿ äâîéíàÿ ëèíèÿ îïèñûâàåò ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð, âíåøíÿÿ äâîéíàÿ ëèíèÿa0 ñîîòâåòâóåò íà÷àëüíîìó è êîíå÷íîìó ñîñòîÿíèþ.òîëüêî îäèí ÷ëåí â ñóììå ïî n â (1.10):Usc,(2),res(Uω∗ )a0 a (Uω )aa0=.ω + εa0 − εa(1.12)Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü Ëîðåíòöåâñêèé êîíòóð, íåîáõîäèìî ó÷åñòü âêëàäñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà, äëÿ ýòîãî íóæíî âñòàâèòü ñîáñòâåííóþ ýíåðãèþ âî âíóòðåííþþ ýëåêòðîííóþ ëèíèþ ãðàôèêà íà Ðèñ.
1.1. Âêëàäîì ãðàôèêà âàêóóìíîé ïîëÿðèçàöèè ìû ïðèíåáðåãàåì äëÿ óïðîùåíèÿ (îí íå äàåòâêëàäà â øèðèíó óðîâíÿ).  íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé âñòàâêàñîáñòâåííîé ýíåðãèè ïðåäñòàâëåíà íà Ðèñ. 1.2.Ñîîòâåòâóþùèé ýëåìåíò S-ìàòðèöû âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∫Sa(4)= (−ie)40d4 xu d4 x1 d4 x2 d4 xd ψ a0 (xu )γ µu S(xu , x1 )γ µ1 S(x1 , x2 )′′,λ )γ µ2 S(x2 , xd )γ µd ψa0 (xd )A∗(k(xu )Dµ1 µd (x1 , x2 )A(k,λ)µuµd (xu )(1.13)ãäå Dµ1 µd (x1 , x2 ) ôîòîííûé ïðîïàãàòîð, êîòîðûé â Ôåéíìàíîâñêîé êàëèá-15ðîâêå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [3]:iDµ1 µd (x1 , x2 ) =2π∫∞−∞dΩIµ1 µ2 (|Ω|, r12 )e−iΩ(t1 −t2 ) ,(1.14)1 iΩr12er12(1.15)Iµ1 µ2 (|Ω|, r12 ) = gµ1 ,µ2ãäå r12 = |r1 −r2 |, gµ1 ,µ2 = (1, −1, −1, −1) - ìåòðè÷åñêèé òåíçîð.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýëåêòðîííîãî è ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðîâ, èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíèè ÷àñòîòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ S-ìàòðèöû:′= (−2πi)δ(ω − ω )Sa(4)0∑ (eA∗(k′ ,λ′ ) )aud0uω + εa0 − εu(1.16)∑ i ∫(I(|Ω|))unnd(eA(k,λ) )da02dΩ][e2πω+ε−Ω−ε(1−i0)ω + εa0 − εdan0nãäå (I(|Ω|))unnd(I(|Ω|))1234 ≡∑∫d3 r1 d3 r2 ψ 1 (r1 )ψ 2 (r2 )γ1µ1 γ2µ2 Iµ1 µ2 (Ω, r12 )ψ3 (r1 )ψ4 (r2 )(1.17)µ1 µ2×ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (1.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðè÷íûé ýëåìåíòñîáñòâåííîé ýíåðãèèb(Σ(ξ))ud∑ i ∫(I(|Ω|))unnddΩ.≡e2πξ−Ω−ε(1−i0)nn(1.18)∑ (U ∗ )a u (Σ(ωb + εa ))ud (Uω )daω 000=(ω + εa0 − εu )(ω + εa0 − εd )(1.19)2ÒîãäàUasc,(4)0udÁóäåì ó÷èòûâàòü òîëüêî ñëó÷àé u = d = a (â ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè) èñ ó÷¼òîì (1.12) àìïëèòóäà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Uasc,(4),res0b n (ω + εa ))aa (Uω )aa(Uω∗ )a0 a (Σ00=ω + εa0 − εaω + εa0 − εa(1.20)Ïîñëå äàëüíåéùèõ âñòàâîê ñîáñòâåíîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ ëèíèþ ïîëó÷àåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ,Uasc,(2+2l),res= (Uω∗ )a0 a01ω + εa0 − εa16[∑bl (Σ(ω + εa0 ))aaω + εa0 − εa]l(Uω )aa0(1.21)Òàì ãäå, ìîäóëü ÷ëåíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â âûðàæåíèè (1.21) ìåíüøå 1,ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ñõîäÿùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.Äëÿ îáëàñòè ω , ãäå ìîäóëü ÷ëåíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ áîëüøå 1 áóäåìèñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå.
 èòîãå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿñóììèðîâàíèÿ ñõîäÿùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ïîëó÷àåìUasc,res0(Uω∗′ )a0 a (Uω )aa0=ω + εa0 − Va(1.22)ãäåVa = Va(0) + ∆Va(1.23)Va(0) = εa(1.24)b + εa ))aa∆Va = (Σ(ω0(1.25) ðàìêàõ ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìû ìîæåì çàìåíèòü ω+εa0 íà εa , òîãäàb a ))aa ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñäâèã ýíåðãèè â íèçøåì ïîðÿäêå îò∆Va = (Σ(εïîïðàâêè ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà. Ïðèíÿòî ïðåäñòàâëÿòü ìàòðè÷íûéýëåìåíò ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â âèäå âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòè:b a ))aa = La − i Γa ,(Σ(ε2(1.26)ãäå La - âêëàä â ëýìáîâñêèé ñäâèã, Γa - øèðèíà ýòîãî óðîâíÿ. Ïîëþñ ñìåùàåòñÿ â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü.
Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïîçèöèè ðåçîíàíñà âíóëåâîì è ïåðâîì ïîðÿäêå ïî òåîðèè âîçìóùåíèé äàåòñÿ âûðàæåíèÿìèω res,(0) = −εa0 + εa ,(1.27)ω res,(0+1) = −εa0 + εa + La(1.28)Âû÷èñëÿÿ àìïëèòóäó ïî ìîäóëþ â êâàäðàòå, èíòåãðèðóÿ ïî íàïðàâëåíèþèìïóëüñà ôîòîíà è ñóììèðóÿ ïî ïîëÿðèçàöèÿì ôîòîíà, ìû ïîëó÷àåì âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà îäíîýëåêòðîííîì àòîìå èëè èîíå.17Òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü âåðîÿòíîñòü èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ôîòîíà. Òàêèìîáðàçîì â ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ îïèñûâàåòñÿêîíòóðîì Ëîðåíòöàℜ(ω res ) =Γaa0(ω − ω res )2 + 41 Γ2a(1.29)ãäå Γa - øèðèíà óðîâíÿ a, Γaa0 - ïàðöèàëüíàÿ øèðèíà, êîòîðàÿ îòâå÷àåòïåðåõîäó a −→ a0 .Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîáëåìà, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè âñòàâêå ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âî âíåøíèå ëèíèè, òàê êàê ñîîòâåòñâóþùèé ýëåìåíòS-ìàòðèöû ðàñõîäèòñÿ.
Ýòè âñòàâêè ðåãóëÿðèçóþòñÿ ñ ïîìîùüþ àäèàáàòè÷åñêîé S-ìàòðèöû ( [10]). Ñóììèðîâàíèå Ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ñî âñåâîçìîæíûìè âñòàâêàìè ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ [10]Sλa = (−2πi)δ(ω ′ − ω)U exp(b a a (εa )Σ0 00)iλa(1.30)Ýòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà (λa −→ +0). Çàâèñèìîñòü îò λa íàõîäèòñÿ âìíèìîé ýêñïîíåíòå. Çäåñü àìëèòóäà U îòëè÷àåòñÿ îò àìïëèòóäû â ôîðìóëàõb a a (εa ), ãäå Σb a a (εa ) - äèàãîíàëü(1.9), (1.10) çàìåíîé εa0 íà ϵa0 = εa0 + Σ0 000 00íûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â íèçøåì ïîðÿäêåïî òåîðèè âîçìóæåíèé. Òàê êàê äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ a0 ýòîò ìàòðè÷íûéýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì, ôàçîâûé ìíîæèòåëü íå âëèÿåò íà àìïëèòóäó â (1.9), à òàêæå íà êîíòóð ëèíèè.1.2ÌåòîäêîíòóðàëèíèèäëÿêâàçèâûðîæäåííûõóðîâíåéÐàññìîòðèì ìåòîä êîíòóðà ëèíèè äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé.
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûé ôîðìàëèçì, äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñøèðèòü ìåòîä18êîíòóðà ëèíèè íà ñëó÷àé êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé. Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèè ìû çàïèøåì óðàâíåíèå (1.22) â âèäåU = T+ãäå T = −(e)∫(k,λ)d3 rψ a γ µ Aµ1T,D(ω)(1.31)(r)ψA (r) - ìàòðèöà, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïîãëî-ùåíèå ôîòîíà ýëåêòðîíîì â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè a0 ñ âîçáóæäåíèåì ðåçîíàíñíîãî (ïðîìåæóòî÷íîãî) ñîñòîÿíèÿ a0 , ìàòðèöà T + îïèñûâàåò èñïóñêàíèå ôîòîíà â ïåðåõîäå a → a0 , äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà D(ω) îïðåäåëÿåòñÿñîãëàñíî ôîðìóëåD(ω) = ω + ϵa0 + V (0) ,(1.32)ãäå ω - ÷àñòîòà ôîòîíà.
Óñëîâíèå ðåçîíàíñàω res = −ϵa0 + εa ,(1.33)ãäå ϵa0 - ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ε - äèðàêîâñêàÿ ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ a.ϵa0 íå îáÿçàòåëüíî ðàâíà äèðàêîâñêîé ýíåðãèè, îíà ìîæåò ñîäåðæàòü ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè. Äèàãîíàëüíà ìàòðèöà â (1.32) ñîäåðæèòV (0) = εa(1.34)Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íóþ ôîðìóëèðîâêó äëÿ àìïëèòóäû (1.31) ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà îäíîýëåêòðîííîì èîíå äëÿ äàëüíåéøåãî ðàñøèðåíèÿ åå íà ñëó÷àéêâàçèâûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèé â äâóõýëåêòðîííûõ èîíàõ. Ýòîò ïðîöåññ ïðåäñòàâëåí Ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììîé íà Ðèñ.
1.3. Òåõíè÷åñêè ñâîéñòâà ñîñòîÿíèÿ a íèêàê íå çàâèñÿò îò a0 . ýòîé äèàãðàììå âçàèìîäåéñòâèå ôîòíà ñ îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì îïèñûâàåòñÿ 'êîðîáêîé', â êîòîðîé âêëþ÷åíû âñå âîçìîæíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñëåäóþùèé øàã ñîñòîèò âî âñòàâêå ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ ëèíèþ19a0k', λ'Ik, λa0Ðèñ. 1.3: Äèàãðàììà Ôåéíìàíà, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïðîöåññ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà îäíîýëåêòðîííîì èîíå. Âîëíèñòûå ëèíèè ñî ñòðåëêîé ñîîòâåòâóþò èçëó÷åíèþ èïîãëîùåíèþ ôîòîíîâ ñ èìïóëüñàìè k, k' è ïîëÿðèçàöèÿìè λ, λ'.â ðàìêàõ ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ Ðèñ. 1.4. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ àìïëèòóäàñîãëàñíî [11] îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìU = T+1 b1Σ(ω + ϵa0 )TD(ω)D(ω)(1.35)b äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ñîîòâåòâóåò ðåãóëÿðèçîâàííîìó îïåãäå Σðàòîðó ñîáñòâåííîé ýíåðãèè. Ïðè íàøåì ðàññìîòðåíèè ýòà ìàòðèöà ñâîäèòñÿê äèàãîíàëüíîìó ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó ñîáñòâåííîé ýíåðãèè äëÿ ñîñòîÿíèÿà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
