Диссертация (1145377), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî ïåðåìåííûì ⃗q è Ω: ⃗q = (qx , qy ),2π2π2πqx =nx , q y =ny è Ω =n, ãäå nx , ny è n ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0, ±1, ±2, . . . .LLT136Ãëàâà 5Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå èìåþò âèä:[]†′ ′Bn (⃗ρ, t), Bn′ (⃗ρ , t ) = δn,n′ δ(⃗ρ − ρ⃗ ′ ) δ(t − t′ ),[]bn (⃗q, Ω), b†n′ (⃗q ′ , Ω′ ) = δn,n′ δq⃗,⃗q ′ δΩ,Ω′ .(5.4)Âåëè÷èíà Bn† (⃗ρ, t)Bn (⃗ρ, t) îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå îñâåùåííîñòè (â ôîòîíàõ íà ñì2 ·ñåê),à b†n (⃗q, Ω)bn (⃗q, Ω) õàðàêòåðèçóåò ÷èñëî ôîòîíîâ â ïîëåâîé ìîäå (⃗q, Ω), ëîêàëèçîâàííîéâ îáúåìå êâàíòîâàíèÿ L2 cT .
Íàáëþäàåìûå ïëîòíîñòè ôîòîòîêà ðàññìàòðèâàþòñÿ âýòîì ðàçäåëå êàê íåïðåðûâíûå â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè ïåðåìåííûå, òî åñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äåòåêòîðû îáëàäàþò ïðîèçâîëüíî âûñîêîé ñòåïåíüþ ðàçðåøåíèÿ èâëèÿíèå êîíå÷íîãî ðàçìåðà ïèêñåëà ìàòðèöû CCD-êàìåðû íà èíôîðìàöèîííóþ ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü íå ðàññìàòðèâàåòñÿ. Îïåðàòîðû èçìåðÿåìûõ ïëîòíîñòåé ôîòîòîêîâ îïðåäåëÿþòñÿ êàê[]I1 (⃗ρ, t) = B0 B1 (⃗ρ, t) + B1† (⃗ρ, t) ,]1[ρ, t) ,I2 (⃗ρ, t) = B0 B2 (⃗ρ, t) − B2† (⃗i(5.5)à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôóðüå-àìïëèòóäû èìåþò âèä:[]i1 (⃗q, Ω) = B0 b1 (⃗q, Ω) + b†1 (−⃗q, −Ω) ,]1[i2 (⃗q, Ω) = B0 b2 (⃗q, Ω) − b†2 (−⃗q, −Ω) ,i(5.6)ãäå B0 (âûáèðàåìàÿ äëÿ ïðîñòîòû âåùåñòâåííîé) è iB0 - àìïëèòóäû ëîêàëüíûõ îñöèëëÿòîðîâ, èñïîëüçóåìûõ â ñõåìå ãîìîäèííîãî ïðèåìà (ñì.
îáñóæäåíèå â ðàçäåëå5.2.2). Çäåñü è äàëåå â ýòîé ãëàâå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ôóðüå-àìïëèòóäû ïîëåé èïëîòíîñòåé ôîòîòîêîâ ñòðî÷íûìè ñèìâîëàìè, à ñàìè ïîëÿ è ïëîòíîñòè ôîòîòîêîâ (âïðÿìîì ïðîñòðàíñòâå) - çàãëàâíûìè.Äëÿ äàëüíåéøåé êîíêðåòèçàöèè ñõåìû íàì íåîáõîäèìî îïèñàòü ñæàòûé ñâåò íàÏëîòíîå êîäèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé137âõîäå èíòåðôåðîìåòðà Ìàõà-Öåíäåðà. Ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî òàêîé ñâåò ãåíåðèðóåòñÿ îïòè÷åñêèì ïàðàìåòðè÷åñêèì óñèëèòåëåì (ÎÏÓ).5.1.3 Ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâåííî-ìíîãîìîäîâîãî ñæàòîãî ñâåòàÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî ïðîñòðàíñòâåííî-ìíîãîìîäîâîìó ñæàòèþ ìîæíî íàéòè âðàáîòå [134]. Ïðåîáðàçîâàíèå ñæàòèÿ, ðåàëèçóåìîå îïòè÷åñêèìè ïàðàìåòðè÷åñêèìèóñèëèòåëÿìè, îñâåùàþùèìè äâà âõîäà èíòåðôåðîìåòðà Ìàõà-Öåíäåðà, çàïèñûâàåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:sn (⃗q, Ω) = un (⃗q, Ω)cn (⃗q, Ω) + vn (⃗q, Ω)c†n (−⃗q, −Ω).(5.7)Çäåñü îïåðàòîðû cn (⃗q, Ω) îïèñûâàþò âõîäíûå ìîäû ÎÏÓ; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ïîëÿ íàõîäÿòñÿ â âàêóóìíîì ñîñòîÿíèè.
Êîýôôèöèåíòû un (⃗q, Ω) è vn (⃗q, Ω) äëÿ êàæäîãîÎÏÓ çàâèñÿò îò àìïëèòóäû ïîëÿ íàêà÷êè ÎÏÓ, íåëèíåéíîé âîñïðèèì÷èâîñòè êðèñòàëëà è óñëîâèé ôàçîâîãî ñèíõðîíèçìà. Ýòè êîýôôèöèåíòû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòüñîîòíîøåíèÿì|un (⃗q, Ω)|2 − |vn (⃗q, Ω)|2 = 1,(5.8)un (⃗q, Ω)vn (−⃗q, −Ω) = un (−⃗q, −Ω)vn (⃗q, Ω).Âûïîëíåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ñîõðàíåíèÿ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (5.4).  ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ñæàòèÿ âàêóóìíûõ âõîäíûõ ïîëåé (à òîëüêî òàêîé ñëó÷àé íàñ è áóäåòèíòåðåñîâàòü), ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå ñâîéñòâà ñæàòûõ ïîëåé ñóùåñòâåííîçàâèñÿò îò äâóõ ïàðàìåòðîâ: îò óãëîâ ψn (⃗q, Ω) îðèåíòàöèè ãëàâíûõ îñåé ýëëèïñîâñæàòèÿ,ψn (⃗q, Ω) =1arg {un (⃗q, Ω)vn (−⃗q, −Ω)} ,2(5.9)è îò ñòåïåíè ñæàòèÿ rn (⃗q, Ω),e±rn (⃗q,Ω) = |un (⃗q, Ω)| ± |vn (⃗q, Ω)|.(5.10)138Ãëàâà 5Åñëè ãîâîðèòü î ñîçäàíèè ïåðåïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ñâåòà íà îñíîâå ñæàòûõ ñîñòîÿíèé, òî àíàëîãè÷íî îäíîìîäîâîìó ïåðåïóòûâàíèþ, ìíîãîìîäîâûå ÝÏÐ-ëó÷è îáðàçóþòñÿ åñëè ñæàòèå ñâåò äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî â îáîèõ êàíàëàõ, à ýëëèïñû ñæàòèÿîðèåíòèðîâàíû âî âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ñëó÷àå îäíîïðîõîäíûõ ÎÏÓ ñ ôàçîâûì ñèíõðîíèçìîì ïåðâîãî òèïà1 êîýôôèöèåíòû u(⃗q, Ω) è v(⃗q, Ω) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè{[]}u(⃗q, Ω) = exp i (kz (⃗q, Ω) − k)l − δ(⃗q, Ω)/2 ×[]iδ(⃗q, Ω)× cosh Γ(⃗q, Ω) +sinh Γ(⃗q, Ω) ,2Γ(⃗q, Ω){[]} gv(⃗q, Ω) = exp i (kz (⃗q, Ω) − k)l − δ(⃗q, Ω)/2sinh Γ(⃗q, Ω).Γ(⃗q, Ω)(5.11)Çäåñü l - ýòî äëèíà íåëèíåéíîãî êðèñòàëëà, kz (⃗q, Ω) - ïðîäîëüíàÿ êîìïîíåíòà âîëíîâîãî âåêòîðà ⃗k(⃗q, Ω) âîëíû ñ ÷àñòîòîé ω +Ω è ïîïåðå÷íîé êîìïîíåíòîé ⃗q.
Áåçðàçìåðíàÿôóíêöèÿ ôàçîâîé ðàññòðîéêè δ(⃗q, Ω) èìååò âèä()δ(⃗q, Ω) = kz (⃗q, Ω) + kz (−⃗q, −Ω) − kp l ≈ (2k − kp )l + kΩ′′ lΩ2 − q 2 l/k,(5.12)ãäå kp - âîëíîâîå ÷èñëî âîëíû íàêà÷êè; â âûðîæäåííîì ñëó÷àå kp − 2k = 0. Çäåñüïðèíÿòî ïàðàêñèàëüíîå ïðèáëèæåíèå. Ïàðàìåòð Γ(⃗q, Ω) îïðåäåëåí êàêΓ(⃗q, Ω) =√g 2 − δ 2 (⃗q, Ω)/4,(5.13)ãäå g - áåçðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè íåëèíåéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, âûáðàííàÿ äëÿïðîñòîòû âåùåñòâåííîé. Îíà ïðîïîðöèîíàëüíà íåëèíåéíîé âîñïðèèì÷èâîñòè, äëèíåêðèñòàëëà è àìïëèòóäå ïîëÿ íàêà÷êè.1Âòð¼õ÷àñòîòíûõ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ðàçëè÷àþò äâà òèïà ôàçîâîãî ñèíõðîíèçìà. îòðèöàòåëüíûõ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ ïðè ñèíõðîíèçìå ïåðâîãî òèïà âîëíà íàêà÷êèñîîòâåòñòâóåò íåîáûêíîâåííîé âîëíå, à ñèãíàëüíàÿ è õîëîñòàÿ âîëíû - îáûêíîâåííûå.
Ïðè ñèõðîíèçìå âòîðîãî òèïà îäíà èç óñèëèâàåìûõ âîëí - íåîáûêíîâåííàÿ.Ïëîòíîå êîäèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé1395.1.4 Ïëîòíîñòè ôîòîòîêîâÏðîâåäÿ íåêîòîðûå âû÷èñëåíèÿ, ïîëó÷èì äëÿ ôóðüå-àìïëèòóä ïëîòíîñòåé ôîòîòîêîâ:in (⃗q, Ω) = B0 {fn (⃗q, Ω) + an (⃗q, Ω)} ,ãäå(5.14)[]f1 (⃗q, Ω) = er1 (⃗q,Ω) cos ψ1 (⃗q, Ω) + ie−r1 (⃗q,Ω) sin ψ1 (⃗q, Ω) c1 (⃗q, Ω) +[]ý.c., (⃗q, Ω) → (−⃗q, −Ω) ,è(5.15)[]f2 (⃗q, Ω) = e−r2 (⃗q,Ω) cos ψ2 (⃗q, Ω) + ier2 (⃗q,Ω) sin ψ2 (⃗q, Ω) c2 (⃗q, Ω) +[]ý.c., (⃗q, Ω) → (−⃗q, −Ω) ,(5.16)- ïðåäñòàâëÿþò êâàíòîâûå ôëóêòóàöèè ïîëåé íà îáîèõ ôîòîäåòåêòîðàõ, à]1 [√ a(⃗q, Ω) + a∗ (−⃗q, −Ω) ,2]1 [a2 (⃗q, Ω) = √ a(⃗q, Ω) − a∗ (−⃗q, −Ω) ,i 2a1 (⃗q, Ω) =(5.17)- ýòî êîìïîíåíòû ñèãíàëüíîãî èçîáðàæåíèÿ Àëèñû, èçìåðÿåìûå Áîáîì.
Çäåñü a(⃗q, Ω)- ôóðüå-àìïëèòóäà êëàññè÷åñêîãî ïîëÿ A(⃗ρ, t), îïðåäåëåííàÿ àíàëîãè÷íî (5.3).5.2Ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü êàíàëà ñâÿçè5.2.1 Ñòåïåíè ñâîáîäû â øóìîâîì è ñèãíàëüíîì ïîëÿõ×òîáû îöåíèòü ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü êàíàëà íàäî îïðåäåëèòü ñòåïåíè ñâîáîäûøóìà è ñèãíàëà â íàøåé ïðîñòðàíñòâåííî ìíîãîìîäîâîé ñõåìå.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ýëåìåíòû â ñõåìå - íåëèíåéíûå êðèñòàëëû ÎÏÓ,ñâåòîäåëèòåëè, ìîäóëÿòîð, CCD-ìàòðèöû äåòåêòîðîâ - èìåþò áîëüøèå ïîïåðå÷íûåðàçìåðû. Ìåäëåííûå àìïëèòóäû ñæàòûõ ñâåòîâûõ ïîëåé ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè140Ãëàâà 5âî âðåìåíè è îäíîðîäíûìè â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïó÷êîâ ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè,òî åñòü âñå èõ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îáëàäàþò òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòüþâ ïðîñòðàíñòâå ρ⃗, t.
Äëÿ íàáëþäàåìûõ ïëîòíîñòåé ôîòîòîêà ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáàÿïàðà ôóðüå-àìïëèòóä øóìà (5.15) è (5.16) äëÿ äàííûõ (⃗q, Ω) è (−⃗q, −Ω) ÿâëÿåòñÿðåçóëüòàòîì ñæàòèÿ âõîäíûõ ïîëåé c(⃗q, Ω) è c(−⃗q, −Ω) è, ñëåäîâàòåëüíî, íå çàâèñèòîò äðóãèõ ïàð.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó íàáëþäàåìûå ïëîòíîñòè ôîòîòîêîâ âåùåñòâåííû,ôóðüå-àìïëèòóäû in (⃗q, Ω) è i†n (−⃗q, −Ω) íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, èin (⃗q, Ω) = i†n (−⃗q, −Ω).(5.18)Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû ðàññìàòðèâàåì êàê íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå òîëüêîøóìîâûå ÷ëåíû â ôóðüå-àìïëèòóäàõ in (⃗q, Ω) ïðè Ω > 0.
Äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ÷àñòè êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä in (⃗q, Ω) ïðè Ω > 0 ñâÿçàíû ñ àìïëèòóäàìè äåéñòâèòåëüíûõ ãàðìîíèê øóìà ôîòîòîêà ∼ cos(⃗q · ρ⃗ − Ωt) è ∼ sin(⃗q · ρ⃗ − Ωt), íåïîñðåäñòâåííîâîññòàíàâëèâàåìûõ Áîáîì èç åãî èçìåðåíèé.Ôóðüå-àìïëèòóäû ïëîòíîñòåé ôîòîòîêà (5.14) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (5.18)è, ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî ó÷èòûâàòü ïðè ðàññìîòðåíèè òîëüêî Ω > 0. Ïîëàãàåì,÷òî ñëó÷àéíûé ñèãíàë, ïîñûëàåìûé Àëèñîé, ñòàöèîíàðåí è îäíîðîäåí â ïîïåðå÷íîìñå÷åíèè ïó÷êà. Àìïëèòóäû an (⃗q, Ω) ïðè Ω > 0, n = 1, 2, ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå êîìïëåêñíûå ãàóññîâñêèå ïåðåìåííûå ñ äèñïåðñèåé σ A (⃗q, Ω), çàâèñÿùåé îò(⃗q, Ω).
Òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå (5.17) - óíèòàðíîå, ñëåäîâàòåëüíî êëàññè÷åñêèå ôóðüåàìïëèòóäû a(⃗q, Ω) äëÿ ëþáûõ (⃗q, Ω) òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè,è âåëè÷èíàσ A (⃗q, Ω) = ⟨|a(⃗q, Ω)|2 ⟩,(5.19)èìååò ñìûñë ñðåäíåãî ÷èñëà ôîòîíîâ â ñèãíàëüíîé âîëíå Àëèñû (⃗q, Ω) â îáúåìå êâàíòîâàíèÿ, ãäå σ A (⃗q, Ω) = σ A (−⃗q, −Ω). Çäåñü ñòàòèñòè÷åñêîå óñðåäíåíèå ïî ãàóññîâñêî-Ïëîòíîå êîäèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé141ìó àíñàìáëþ ñèãíàëîâ Àëèñû âûïîëíåíî ñ êîìïëåêñíîé âåñîâîé ôóíêöèåéPq⃗A,Ω (a(⃗q, Ω)){}|a(⃗q, Ω)|21=exp − A.πσ A (⃗q, Ω)σ (⃗q, Ω)(5.20) äàëüíåéøåì ìû ïîëàãàåì, ÷òî àíñàìáëü âõîäíûõ èçîáðàæåíèé â îáëàñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò îáëàäàåò ãàóññîâñêèì ñïåêòðàëüíûì ïðîôèëåì ñ øèðèíîé qA :( 2)qx + qy2Pσ (⃗q, Ω) = (2π)exp −Π(Ω),π(qA /2)2(qA /2)2A3{Π(Ω) =(5.21)1/ΩA |Ω| ≤ ΩA /2,0|Ω| > ΩA /2,è, äëÿ óïðîùåíèÿ, â îáëàñòè âðåìåííûõ ÷àñòîò õàðàêòåðèçóåòñÿ óçêèì ïðÿìîóãîëüíûì ñïåêòðàëüíûì ïðîôèëåì Π(Ω) ñ øèðèíîé ΩA è âûñîòîé 1/ΩA .
Ïîñêîëüêó∑σA (⃗q, Ω) = L2 T P,(5.22)q⃗,Ωòî ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ïîòîêà ôîòîíîâ â ïîëå èçîáðàæåíèÿ ÷åðåç ñì2 çà ñåêóíäó ðàâíà P .  ðåçóëüòàòå, äèñïåðñèè íàáëþäàåìûõ in (⃗q, Ω) ïðèíèìàþò âèä:⟨}[]1{in (⃗q, Ω), i†n (⃗q, Ω) + ⟩ = B02 σnBA (⃗q, Ω) + σ A (⃗q, Ω) ,2(5.23)ãäå { , }+ îçíà÷àåò àíòèêîììóòàòîð. Äèñïåðñèè êâàíòîâîãî øóìà â îáîèõ êàíàëàõäåòåêòèðîâàíèÿ çàïèñûâàþòñÿ êàê:σnBA (⃗q, Ω) = ⟨}1{fn (⃗q, Ω), fn† (⃗q, Ω) + ⟩,2(5.24)σ1BA (⃗q, Ω) = e2r1 (⃗q, Ω) cos2 ψ1 (⃗q, Ω) + e−2r1 (⃗q, Ω) sin2 ψ1 (⃗q, Ω),(5.25)σ2BA (⃗q, Ω) = e−2r2 (⃗q, Ω) cos2 ψ2 (⃗q, Ω) + e2r2 (⃗q, Ω) sin2 ψ2 (⃗q, Ω).(5.26)Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ìîæíî îöåíèòü âçàèìíóþ èíôîðìàöèþ Øåííîíàäëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìû ïëîòíîãî êîäèðîâàíèÿ.142Ãëàâà 55.2.2 Âçàèìíàÿ èíôîðìàöèÿ Øåííîíà è ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ïðîñòðàíñòâåííî-ìíîãîìîäîâîãî êàíàëà ïëîòíîãîêîäèðîâàíèÿÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â îäíîìîäîâîì ñæàòîì ñâåòîâîì ïîëå ñòàòèñòèêà êâàäðàòóðíûõ àìïëèòóä - ãàóññîâñêàÿ, è, íàïðèìåð, â ïðåäñòàâëåíèè Âèãíåðà åå ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ãàóññîâñêîé âåñîâîé ôóíêöèåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
