Диссертация (1145371), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Согласно [58], имеют место соотношения:q1 = C11 ϕ1 + C12 ϕ2 + . . . + C1n ϕn ,q2 = C21 ϕ1 + C22 ϕ2 + . . . + C2n ϕn ,(3.3.20)...qn = Cn1 ϕ1 + Cn2 ϕ2 + . . . + Cnn ϕn ,где qi и ϕi — соответственно заряд и потенциал i-го проводника, Cij — взаимная ёмкость или ёмкостной коэффициент i-го проводника по отношению кj-му (величина Cii также называется собственным ёмкостным коэффициентом).Взаимная ёмкость определяется как тот заряд, который должен бытьсообщён i-му проводнику для того, чтобы все проводники кроме j-го, имелинулевой потенциал, а j-й проводник — потенциал 1. Соответственно, собственный ёмкостной коэффициент определяется как отношение заряда к потенциалуна этом проводнике при условии, что все остальные проводники заземлены. Таккак знаки потенциалов и зарядов совпадают, коэффициент Cii всегда положительный. В случае же взаимных ёмкостей, знаки индуцирующего и индуцированного зарядов различны, поэтому коэффициент Cij при i 6= j отрицателенили равен нулю.179Известно [60], что матрица коэффициентов Cij является симметричной,т.
е. Cij = Cji .Для вложенных проводников характерно явление электростатическойэкранировки [58]. Пусть проводник 1 находится внутри проводника 2, тогдаC13 = C14 = . . . = C1n = 0;C11 = −C12 .После нахождения взаимных ёмкостей, данная система может быть решена любым удобным способом.Нахождение ёмкостиСначала рассмотрим алгоритм нахождения ёмкости одиночного трёхмерного объекта. Рассмотрим задачу в обратной постановке (3.3.17). Благодарятому, что функция ϕ гармонична вне области D, ограниченной поверхностьюΓ, интеграл (3.3.19) можно вычислять по любой поверхности Γ1 , являющейсяграницей D1 ⊃ D.Действительно, две функции P и Q, гармонические вне D. Тогда, поформуле Грина,ZZ Z ∂Q∂P∂Q∂P0=(P ∆Q − Q∆P ) dV =P−QdS −P−QdS,∂n∂n∂n∂nΓ1D1 \DΓОткуда при Q ≡ 1, P = ϕ получим получим искомое равенствоZZ∂ϕ∂ϕdS =dS.∂n∂nΓ1ΓДля вычисления ёмкости по формуле (3.3.19), выберем в качестве Γ1поверхность сферы с центром в нуле, имеющей радиус ρ1 .
Пусть при некоторомρ < ρ1 шар Kρ , с центром в нуле, также содержит D, тогда для x ∈ Sρ1 по180формуле ПуассонаZ1ϕ(x) =4πρ|x|2 − ρ2ϕ(y) dy S.|x − y|3SρДля получения нормальной производной функции ϕ(x) продифференцируем формулу Пуассона:1∂ϕ(x) =∂n4πρZ X3∂ |x|2 − ρ23 ni ϕ(y) dy S =∂x|x−y|ii=1SρZ X31=4πρi=1222xi3(|x| − ρ )(xi − yi )−|x − y|3|x − y|5!ni ϕ(y) dy S. (3.3.21)SρУчитывая то, что центры сфер находятся в нуле, подынтегральный множитель можно преобразовать следующим образом:!3X2xi |x − y|2 − 3(|x|2 − ρ2 )(xi − yi ) xi=5|x||x−y|i=1(x, y)2222ρ1 |x − y| − 3(ρ1 − ρ ) ρ1 − ρ1==|x − y|52ρ2 (ρ2 + ρ2 − 2 (x, y)) − 3(ρ21 − ρ2 )(ρ21 − (x, y))= 1 1=ρ1 |x − y|5ρ2 (5ρ2 − ρ21 ) − (x, y) (ρ21 + 3ρ2 )= 1.ρ1 |x − y|5При ρ1 = 2ρ выражение упрощается до4ρ3 − 7 (x, y) ρ.2 |x − y|5Таким образом, окончательная формула для ёмкости имеет вид:ZZ2114 7 (x, y) − 4ρC=2ρϕ(y) dy S dx S.(3.3.22)4π(2ρ)24πρ2|x − y|5S2ρSρНесмещенной оценкой емкости C будет величина2ρY ) − 4ρ2ηi ϕ(xi ),|X − Y |54 7 (X,181где точка X распределена равномерно на сфере радиуса 2ρ, точка Y распределена равномерно на сфере радиуса ρ, а величина ηi и точка xi определенысоответствующими формулами § 3.3.2 для блуждания по сферам, стартующегоиз точки Y .Вычисление значений полученной оценки проводится по следующему алгоритму.1.
Выбираем ρ так, чтобы шар радиуса ρ с центром в нуле содержал проводник Γ.def2. Полагаем ρ1 = 2ρ .3. Выбираем точки X и Y , равномерно распределённые на сферах с центромв нуле радиуса ρ1 и ρ, соответственно. Задаём начальное значение оценкиξ по формулеY ) − 4ρ2ξ := 2ρ.|X − Y |54. Полагая x0 := Y и i := 0, начинаем процесс “блуждания по сферам” из точки4 7 (X,Y.5. Если после i шагов xi ∈/ K ρ1 , то выбираем xi+1 распределённым на сфереSρ c плотностью|x|2 − ρ2 |x|p(x, y) =,|x − y|3 4πρ2(3.3.23)изменяем величину ξ по формуле ξ := ξρ/ρ1 и переходим к шагу 7. В противном случае, переходим к шагу 6.6.
Выбираем точку xi+1 распределённой равномерно на сфере Sri (xi ) с центром в xi , где ri = dist(xi , Γ), а величину ξ не изменяем.7. Если точка xi+1 находится в δ-окрестности границы Γ, то завершаем блуждание. В этот момент оценка ξ является малосмещённой, так как ϕ(xi+1 ) ≈1. В противном случае, полагаем i := i + 1 и переходим к шагу 5.182Экспериментальные данныеДля проверки разработанного алгоритма было проведено вычисление ёмкостей уединённых объектов, для которых известно аналитическое решение.Результаты расчётов приведены в системе СГСЭ.
Вычисления проводились спомощью реализации алгоритма для MPI-кластера с использованием 50 вычислительных и 1-го распределяющего процесса на 13 узлах с процессором Intel(R)Core(TM)2 Quad CPU Q8400 @ 2,66GHz, под управлением ОС Windows XP. Длякомпиляции исходного кода использовался Microsoft Visual C++ Express 2010SP1.
Погрешность вычислений ∆ определялась как утроенный корень из отношения выборочной дисперсии к количеству траекторий.Проводящий шарАналитическое решение для этой задачи C = r приведено в [60]. Параметры программы:радиус сферы: 5;центр фигуры: (1, 2, 3);ρ:8.741 657;10−8 .δ:Результаты:nCрешение 5∆–1075.004 06 1.734 52 · 10−21085.001 67 5.481 07 · 10−31095.000 16 1.733 19 · 10−3183Проводящий эллипсоидАналитическое решение для этой задачи приведено в [29]: √ 2a − c2, a = b > c;arccos(c/a)√C=a2 − b 2,a > b = c.arch(a/b)(3.3.24)Параметры программы:полуось a:10;полуось b:10;полуось c:5;центр фигуры: (1, 2, 3);ρ:15.115 823;10−8 .δ:Результаты:nC∆решение8.269 93 –1078.274 352.794 12 · 10−21088.270 318.833 98 · 10−31098.269 442.793 70 · 10−3Нахождение взаимных ёмкостейВзаимные ёмкости проводников находим исходя из физического смысла,ei — поверхность, содержащая внутрирешая внешнюю задачу Дирихле.
Пусть Γсебя проводник i и отделяющая его от других. Как и в случае с уединённым проводником для нахождения ёмкости Cij будем использовать формулу (3.3.19), вei , ϕ(x) = ϕj (x). Функция ϕj (x) является гармонической в областикоторой Γ = ΓD1 , являющейся дополнением проводников, обращается в ноль на проводниках184ej . Для x ∈ Γei положим r = dist(x, ∂D1 ).(k 6= j) и равна 1 на проводнике ΓΓk ,При |z| < r значение функции ϕ(x + z) можно найти по формуле ПуассонаZ1r2 − |z|2ϕ(x + z) =ϕ(y) dy S.(3.3.25)4πr|x + z − y|3Sr (x)Аналогично (3.3.21) получаем, чтоZ33∂ϕ(x) =(y−x,n)ϕ(y)dS=E (Ω, n) ϕ(x + rΩ),y∂n4πr4rSr (x)где Ω — изотропный вектор в R3 .Таким образом, окончательная формула для взаимной ёмкости имеетвид:ZCij = −3E (Ω, n(x)) ϕj (x + rΩ) dx S.4πr(x)eiΓei распределение Pi с плотностью pi (x) = ∂Pi /∂S.
Пусть X —Зададим на Γслучайный элемент с распределением Pi , тогдаCij = −E3(Ω, n(X)) ϕj X + r(X)Ω .4πr(X)pi (X)В частности, если проводник Γi можно отделить от других сферой радиуса Ri с центром в точке xei , формула для взаимной емкости приобретает вид:3Ri2Cij = −E(Ω, Ω1 ) ϕj xei + Ri Ω1 + r(exi + Ri Ω1 )Ω ,r(exi + Ri Ω1 )где Ω1 — изотропный вектор в R3 , независимый от Ω.(3.3.26)Статистические оценки взаимных ёмкостейОпишем процесс блуждания для вычисления взаимных ёмкостей Cmj прификсированном m и j = 1, 2, . .
. , n.ek , отделяющую его от дру1. Для каждого проводника k выбираем оболочку Γгих. Построенная оболочка не должна касаться поверхности проводника.1852. Находим радиус сферы ρ с центром в нуле, содержащей все объекты и ихоболочки. Выберем ρ1 > ρ.3. Выбираем точку X и вектор Ω. Точка X распределена с плотностью pm (x)на поверхности оболочки, отделяющей данный проводник от других. Вектор Ω — изотропный вектор в R3 . Инициализируем оценку ξ.ξ := −3(Ω, n(X)) .4πr(X)pm (X)em — внешняя.Нормаль n к поверхности Γ4. Из точки X + r(X)Ω начинаем процесс блуждания по сферам:y0 := X + r(X)Ω,i := 0.5. Если после i шагов yi ∈/ K ρ1 , то выбираем yi+1 распределённым на сфереSρ c плотностью|x|2 − ρ2 |x|,p(x, y) =|x − y|3 4πρ2(3.3.27)полагаем ξ := ξρ/|y i | и осуществляем переход к шагу 7.В противном случае переходим к шагу 6.6.
Выбираем вектор yi+1 распределённым равномерно на сфере Sri (y i ) с центром в y i , где ri = dist (y i , ∂D1 ), а величину ξ не меняем.7. Если точка y i+1 не попала в δ-окрестность ∂D1 , полагаем i := i + 1 и переходим к шагу 5. В противном случае переходим к шагу 8.8. В накопитель проводника, на котором остановилась траектория, добавляемвес, полученный на этой траектории. В накопителях для остальных Cmjлишь увеличивается счётчик траекторий.
При этом счётчик не увеличивается в накопителях проводников, находящихся внутри m-го проводника,так как траектория, лежащая снаружи, не могла окончиться на этих проводниках.1869. В случае вложенных проводников, по окончании расчётов, ёмкость длявнешнего проводника (m) вычисляем из полученных значений какCmm −XCmj ,j: Γj ⊂Γmгде сумма берётся по номерам проводников, содержащихся в m-м.3.3.4Задача Неймана для уравнения ПуассонаРассмотрим задачу Неймана в стандартной постановке. Пусть D — одно-связная ограниченная область в пространстве Rn , n > 3, с границей Γ, котораяявляется поверхностью Ляпунова [5], ν = νx — внешняя нормаль к поверхностиΓ в точке x.Пусть функции f ∈ C(D) ∩ C 1 (D), ϕ ∈ C(Γ). Внутренняя задача Неймана состоит в определении функции u ∈ C(D) ∩ C 2 (D), удовлетворяющейуравнениям−∆u(x) = f (x),∂u(x)= ϕ(x),∂νix ∈ D,x ∈ Γ,(3.3.28)∂u( y)∂u(x)обозначает предельное значение производнойпо∂νi∂νнаправлению внешней нормали νx , когда точка y стремится к граничной точкегде выражениеx изнутри области D.Для существования решения внутренней задачи Неймана должно бытьвыполнено условие разрешимости:ZZf (x)dx + ϕ(x)dx S = 0.D(3.3.29)ΓАлгоритмы статистического моделирования для задачи Неймана дляуравнения Пуассона рассматривалась многими авторами.
Для ее решения используются оценки как на траекториях блуждания по границе области [43, 48],так и на траекториях блуждания внутри области [46].187Алгоритмы блуждания по границе основаны на известных свойствах интеграла Гаусса, позволяющих записать ньютоновский потенциал двойного слояв виде математического ожидания некоторой функции от изотропного вектора(случайного направления).Главная особенность таких алгоритмов состоит в том, что для интегральных уравнений теории потенциала, к которым они применяются, итерационныеметоды сходятся, но абсолютная сходимость отсутствует. В этой ситуации обычно оценивают частичную сумму ряда Неймана. Если ряд Неймана сходится медленно, то для улучшения скорости сходимости применяют различные методыаналитического продолжения резольвенты интегального оператора.
Для этоготребуется информация о спектре оператора. А именно, нужно знать два первыхего характеристических числа.Вторая проблема, возникающая при реализации подобных алгоритмовметодом Монте-Карло, связана с необходимостью довольно точно вычислятьзначительное число итераций оператора. Статистические оценки, которые дляэтого используются, имеют стандартное отклонение, превышающее оцениваемую величину на несколько порядков. Это приводит к значительному увеличению объема выборки. Для уравнений теории потенциала такие алгоритмыобсуждаются в монографии [43].В случае блужданий внутри области также строится смещенная оценкарешения краевой задачи. Величину смещения, как правило, оценить трудно.Обычно удается определить лишь ее порядок по отношению к некоторому малому параметру, вводимому при переходе от точных уравнений к их аппроксимации.Иногда удается заменить исходное интегральное уравнение эквивалентным уравнением с абсолютно сходящимся рядом Неймана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
