Диссертация (1145371), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Наконец, cj = lj (u) = 0, так как функционалы lj — линейные.Обратно, из (3.4.5) следует, что любое решение уравнения u = Ku предdPставимо в виде u =cm wm , где cm = lm (u). Значит, коэффиценты cm удовлеm=1творяют однородной системе (3.4.6) и, следовательно, равны нулю.Если оператор K является интегральным оператором и K1 — его главная часть, то для элементов матрицы полученной системы и ее правой частиможно построить несмещенные оценки. Разумеется, не всякий конечномерныйоператор K1 , для которого спектральный радиус ρ(K − K1 ) < 1, будет главнойчастью K. Однако, для интегрального оператора, действующего в пространстве непрерывных функций на метрическом компакте, и для оператора с ядромГильберта-Шмидта, конечномерный интегральный оператор K1 , удовлетворяющий условию ρ(K − K1 ) < 1, очевидно, будет главной частью оператора K.Для решения системы уравнений (3.4.6) естественно применить процедуру стохастической аппроксимации.
Опишем ее, следуя работе [1] и монографии[40]. Рассмотрим систему линейных уравнений с d неизвестнымиAX = B(3.4.7)с симметричной положительно определенной квадратной матрицей A. ПустьX 0 — решение системы, а λ — минимальное собственное число матрицы A.Пусть (Ai , Bi ) — последовательность независимых, одинаково распределенных несмещенных оценок элементов пары (A, B). Будем предполагать, что198все компоненты матрицы Ai и вектора Bi имеют конечные дисперсии.
Тогдаслучайная величина Bi0 Bi и компоненты матриц A0i Bi , A0i Ai также имеют конечные дисперсии.Рассмотрим процедуру стохастической аппроксимацииaXi+1 = Xi + (Bi+1 − Ai+1 Xi ),i(3.4.8)где X1 — фиксированное постоянное начальное приближение, и 2aλ > 1. Простым следствием Леммы 2.1 из [40, глава 6, §2] является следующая теорема.Теорема 3.4.1 При выполнении перечисленных выше условий Xi → X 0 почтинаверное и E|Xi − X 0 |2 = O(1/i).Доказательство.
Запишем формулу (3.4.8) в видеXi+1ae= Xi +−A(Xi − X) + Gi+1 (Xi ) ,i(3.4.9)гдеGi+1 (X) = (A − Ai+1 )X − (B − Bi+1 ).(3.4.10)Теперь итерационная последовательность 3.4.9 имеет стандартную форму и длязавершения доказательства теоремы достаточно проверить условия ([40, глава6, §2]):1) −A(X − X 0 ), (X − X 0 ) 6 −λ |X − X 0 |2 ,2) |A(X − X 0 )|2 + E|Gi (X)|2 6 c(1 + |X|2 ),0 < c < ∞.Условие 1) следует из ограничений на матрицу A, условие 2) следует из существования дисперсий для элементов матриц Ai и Bi .При более строгих ограничениях на оценки Ai и Bi справедлива центральная предельная теорема для последовательности Xi .
Она также являетсяследствием соответствующего результата из [40].199Теорема 3.4.2 Пусть выполнены условия Теоремы 3.4.1 , тогда распределе√ние случайного вектора i(Xi −X 0 ) слабо сходится при i → ∞ к нормальномураспределению со средним 0 и матрицей ковариацийZ∞0S = a2 eDt S0 eD t dt,0где D = −aA + 0.5I, а матрица0S0 = EG1 (X 0 ) G1 (X 0 ) = E(B1 − A1 X 0 )(B1 − A1 X 0 )0 .Доказательство. В соответствии с теоремой 6.1 ([40, глава 6]), достаточно проверить условия:1) Xi → X 0 почти наверное,2) Все собственные числа матрицы D отрицательны,3) Для некоторого θ > 0ZlimsupsupR→∞ |X−X 0 |<θ i>1|Gi (X)|2 dP = 0.|Gi (X)|>RПервое из этих условий доказано в предшествующей теореме, второе условиеявляется очевидным следствием ограничения 2aλ > 1 на параметр a.Для проверки последнего условия воспользуемся неравенствами|Gi (X)|2 6 2|(A − Ai )X|2 + 2|B − Bi |2 6 2kA − Ai k2 |X|2 + 2|B − Bi |2 66 2kA − Ai k2 (2|X 0 |2 + 2θ2 ) + 2|B − Bi |2 = Zi2 .При |X − X 0 | < θ получаем неравенствоZZ2|Gi (X)| dP 6{|Gi (X)|>R}{|Gi (X)|>R}(Zi2 )dPZZi dP.6{Zi >R}Случайная величина Zi имеет распределение, не зависящее от индекса i, и конечное математическое ожидание.
Таким образом, при R → ∞ZZZi dP =Z1 dP → 0.{Zi >R}{Z1 >R}200Система уравнений (3.4.6) имеет несимметричную матрицу L с элементами ljm = lj (wm ). Если она невырожденная, то можно вместо системы LX = Fрассматривать систему AX = B с невырожденной симметричной матрицейA = L0 L и матрицей B = L0 F.Пусть Li , L̃i , Fi (i = 1, 2, . . .) — независимые в совокупности несмещенные оценки с конечными вторыми моментами для матриц L, L0 , F , соответственно. Тогда можно применять процедуру стохастической аппроксимации,используя L̃i Li как оценку для A и L̃i Fi — как оценку для B. Несмещенныеоценки элементов матрицы L и правой части F можно получить, используясхему Неймана-Улама.3.4.1Выделение главной части оператора для уравнений теориипотенциалаБудем решать внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласаx ∈ D,∆u(x) = 0,u(x) = g(x),x ∈ Γ,(3.4.11)в ограниченной выпуклой области D в Rn , граница которой Γ является поверхностью Ляпунова.Гармоническая функция u(x) может быть представлена потенциаломдвойного слояZu(x) =(y − x, νy )σ(y)dy S,|x − y|nx ∈ D,(3.4.12)Γгде νy — внешняя нормаль к Γ в точке y, а σ(y) — плотность потенциала, удовлетворяющая интегральному уравнениюZ2(y − x, νy )σ(y)2g(x)σ(x) = −dS−,y(n − 2)σn|x − y|n(n − 2)σnΓx ∈ Γ.(3.4.13)201Определим оператор K1 равенствомZ(y − x, νy )σ(y)2dy S,K1 σ(x) = −(n − 2)σndnx ∈ Γ,(3.4.14)Γгде постоянная d > sup{|x − y| | x, y ∈ Γ}.Оператор K1 является вырожденным,K1 σ(x) =nXli (σ)vi (x) =nXi=0ci vi (x),i=0где v0 (x) = 1, а v1 (x), v2 (x), .
. . , vn (x) являются координатными функциями.Функционалы li (σ) имеют вид2l0 (σ) = −(n − 2)σn dnZ(y, νy )σ(y)dy,Γli (σ) =2(n − 2)σn dnZ(νy )i σ(y)dy,(i = 1, 2, . . . , n)ΓПо формуле Грина находимZZ2(y − x, νy )dy S = ∆|y − x|2 dy = 2nV (D),(3.4.15)DΓгде V (D) — мера Лебега области D. Следовательно, операторZ(y − x, νy )σ(y)|x − y|n2K2 σ(x) = −1−dy S(n − 2)σn|x − y|ndn(3.4.16)Γсовпадает с K2 и имеет в C(Γ) нормуkK2 k = 1 −2nV (D)= q < 1.(n − 2)σn dnЗначит, K1 — главная часть оператора K.
Ядро оператора K2 субстохастическоеи легко моделируется. Очевидно, что w0 = 1/(1 + q), l0 (1) = −(1 − q), поэтомуl00 = l0 (w0 ) = −(1−q)/(1+q). Используя формулу (3.4.15), видим, что li (w0 ) = 0при i = 1, 2, . . . , n. Коэффициент c0 находим из системы уравнений (3.4.6):c0 = −(1 + q)l0 (Rg).(n − 2)σn202Остальные коэффициенты можно найти методом стохастической аппроксимации, либо решая систему (3.4.6) после предварительной оценки элементов еематрицы и правой части по выборке достаточно большого объема.Отметим, что указанный способ выделения главной части оператора применим и к интегральному уравнению (3.3.39) для внешней задачи Неймана.203Приложение AАлгоритмы моделирования некоторыхраспределенийВ данном приложении собраны алгоритмы моделирования распределений случайных величин и векторов, которые используются при моделированиимарковских цепей и статистических оценок на их траекториях в данной работе.При этом мы не претендуем на оптимальность предложенных процедур моделирования.
Необходимо лишь отметить, что при распараллеливании вычисленийследует, по возможности, избегать метода отбора, так как он приводит к проблемам в синхронизации выделенных вычислительных процессов. Доказательства известных фактов не приводятся. С ними можно познакомиться в книге С.М.Ермакова и Г.А.Михайлова [11]. Всюду в данной главе α — случайнаявеличина, распределенная равномерно на отрезке [0, 1], а random — функция,которая возвращает очередное, независимое от предыдущих, значение α.A.1A.1.1Моделирование изотропного вектора в RnИзотропный вектор в пространствеИзотропным вектором называется точка Ω, равномерно распределеннаяна сфере S1 (0) радиуса 1 с центром в нуле в Rn .
Мы рассматриваем его как204одномерный массив с элементами Ω[i],i = 1, 2, . . . , n. Любую процедуру егомоделирования будем обозначать Get(Ω, n).При n = 2 он может быть найден по формулеΩ = (cos(2πα), sin(2πα)),либо промоделирован методом отбора:repeatΩ[1] := 2 ∗ random − 1;Ω[2] := 2 ∗ random − 1;r2 := (Ω[1])2 + (Ω[2])2until r2 < 1;Ω[1] := Ω[1]/r;Ω[2] := Ω[2]/r;Эффективность метода отбора равна π/4.При n = 3 проекция Ω на любое направление распределена равномернона отрезке [−1, 1], поэтому моделируем Ω с помощью процедуры:Ω[3] := 2 ∗ random − 1;pr := 1 − (Ω[3])2 ;Get(Ω, 2);Ω[1] := r ∗ Ω[1];Ω[2] := r ∗ Ω[2];Можно выполнять моделирование и методом отбора.
Эффективность равнаπ/6.При n > 3 изотропный вектор обычно моделируют по формуле Ω == Ξ/|Ξ|, где Ξ — нормальный вектор с единичной матрицей ковариаций и нулевым вектором математических ожиданий. Компоненты вектора Ξ обычномоделируют парами. Для двумерного распределения используется процедура:Get(Ω, 2);205r :=p−2 ∗ ln(random);Ξ[1] := r ∗ Ω[1];Ξ[2] := r ∗ Ω[2];A.1.2Изотропный вектор в полупространствеnПусть ν — вектор нормали к границе полупространства. Пусть R+== {x ∈ Rn | (x, ν) > 0} — полупространство. Если Ω — изотропный вектор впространстве, а Ω1 = Ω, при (Ω, ν) > 0, и Ω1 = −Ω, при (Ω, ν) < 0, то Ω1 —nизотропный вектор в пространстве R+.A.1.3Неравномерное распределение на эллипсоидеПусть A — симметричная, положительно определенная матрица (матри-ца ковариаций),S10 = ω ∈ Rn | ω T A−1 ω = 1— эллипсоид с центром в нуле,n2π 2σn = nΓ( 2 )— площадь поверхности сферы радиуса 1 в Rn .
Случайный вектор Ω1 =√AΩраспределен на S10 с плотностьюp(ω) =где√A.2σn√1,det A|A−1 ω|(A.1.1)A — треугольная матрица квадратного корня.Гамма и бета распределениеПод гамма-распределением в данной работе всегда понимается распре-деление, имеющее на полупрямой x > 0 плотность f (x) = xν−1 e−x /Γ(ν), где206ν — положительный параметр, аZ∞Γ(ν) =xν−1 e−x dx0— гамма функция. Как правило, мы обозначаем эту случайную величину γ(ν).При натуральном ν = m ее значение можно получить по формуле!mYγ(m) = − lnαi , m = 1, 2, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
